用非常規(guī)方法巧解平衡問題

周 春

(江蘇省揚州中學,江蘇 揚州 225009)

1 用拉密定理巧解平衡問題

拉密定理內(nèi)容為:如果在共點的同一平面內(nèi)的三個力作用下,物體處于平衡狀態(tài),那么各力的大小分別與另兩個力夾角的正弦成正比,如圖1,其表達式為:

圖1 拉密定理圖示圖2 例1題圖

例1 用三根輕繩將質(zhì)量為m的物塊懸掛在空中,如圖2所示.已知繩ac和bc與豎直方向的夾角分別為45°和60°,則繩ac和繩bc中的拉力大小分別為( ).

答案:B.

本題也可用正弦定理、正交分解法求解,但顯然用拉密定理更為直接[1].

2 用三力匯交原理巧解平衡問題

一個物體受到三個力作用而處于平衡狀態(tài),如果三個力不平行,則這三個力的作用線一定交于一點,通常稱為三力匯交原理.遇到三力以上的平衡問題,有時也可把某幾個力先合成,再用該結(jié)論解題[2].

例2兩平行直桿豎直放置,間距為d,一質(zhì)量分布不均勻的繩子的長度大于d,兩端分別系在兩桿上,系結(jié)點位于同一水平線上,如圖3所示.已知系結(jié)處繩子與直桿之間的夾角分別為θ1和θ2,試求繩子重心到兩桿的垂直距離.

堅持早中晚三巡塘制度，尤其是臺風、暴雨、連續(xù)陰雨等極端天氣，更應全天候堅持巡塘，觀察魚池水質(zhì)變化及魚的活動情況，發(fā)現(xiàn)問題及時采取處置措施。通常采用的魚病防治方法有潑灑法、懸掛法和內(nèi)服法。堅持定期潑灑藥物，按時掛簍掛袋，間隔投喂藥餌，防治結(jié)合，嚴格管控，堅決杜絕病害發(fā)生。一般每間隔15～20d，全池潑灑氯制劑一次，魚病高發(fā)時期每間隔15d用出血寧、五黃粉等藥物拌餌或制成藥餌投喂，用量一般為投餌量的0.5%左右。同時打掃好池塘衛(wèi)生，及時清除殘餌及池中雜物，漁具使用后應放在陽光下曝曬，并藥浴消毒，保持池塘環(huán)境衛(wèi)生，消除治病因子。

圖3 例2題圖圖4 例2受力分析示意圖

3 用摩擦角巧解平衡問題

設兩接觸面間的靜摩擦因數(shù)為μ,則φ=arctanμ叫做摩擦角.如果可近似認為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,則靜摩擦因數(shù)近似等于動摩擦因數(shù).如圖5,摩擦角的幾何意義是:當兩接觸面間的靜摩擦力達到最大值時,最大靜摩擦力與支持力的合力R和接觸面法線間的夾角即為摩擦角.如圖6,設有物體A置于支撐面B上,B對A的支持力為N,B對A的摩擦力為f,顯然當N、f的合力R與法線的夾角α≤φ時,靜摩擦力不會超過最大靜摩擦力,則A、B之間不會發(fā)生相對滑動.

圖5 摩擦角圖示1圖6 摩擦角圖示2

例3 如圖7所示,長為l、質(zhì)量為m的均勻桿一端支撐在豎直墻上,另一端由輕線吊著,線長等于桿長,墻與桿之間的動摩擦因數(shù)μ=0.3,最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力.問:當角α在多大的情況下桿將處于平衡狀態(tài)?

圖7 例3題圖圖8 例3受力分析示意圖

4 用輔助圓巧解平衡問題

圓是十分對稱的數(shù)學圖形,它有很多特殊的數(shù)學規(guī)律,如果在平衡問題中隱含圓的相關規(guī)律,可以借助輔助圓,解題可能十分方便.

圖9 例4題圖

例4如圖9所示裝置,OQ桿豎直,OP桿水平,AC、BC兩根輕繩拉住一球,其中AC繩水平,現(xiàn)保持兩細繩間的夾角不變,若把整個裝置順時針緩慢轉(zhuǎn)過90°,則在轉(zhuǎn)動過程中,設AC繩的拉力為F1,BC繩的拉力為F2,下列說法中不正確的是( ).

A.F1先減小后增大

B.F1先增大后減小

C.F2逐漸減小

D.F2最終變?yōu)榱?/p>

答案:A.

5 用微元法巧解平衡問題

微元法是分析、解決物理問題的常用方法,也是從部分到整體的思維方法.用該方法可以幫助我們用熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決一些復雜的物理問題,使所求的問題簡單化.在使用微元法處理問題時,需將整體分解為眾多微小的小段,這樣,我們只需分析這些微元,然后再將微元進行必要的數(shù)學方法或物理思想處理,進而使問題求解.

6 用力矩平衡巧解平衡問題

力矩表示力對物體作用時所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動效應的物理量,力與力臂(即轉(zhuǎn)軸到力的作用線之間的距離)的乘積稱為力矩M.我們知道,共點力作用下物體的平衡條件為F合=0,而一般物體的平衡條件則為F合=0且M合=0.

例6 如圖10所示,一光滑大圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi),環(huán)上套著兩個小球A和B,A、B間由輕繩連接著,它們處于圖中所示位置時恰好都能保持靜止狀態(tài).此情況下,B球與環(huán)中心O處于同一水平面上,A、B間的細繩呈伸直狀態(tài),與水平線成30°夾角.已知B球的質(zhì)量為m,求A球的質(zhì)量是多少?

圖10 例6題圖圖11 例6受力分析示意圖

解析本題用力矩平衡解則更加簡便.對小球A、B及輕繩整體分析,受到重力mAg、mBg、大圓環(huán)對兩球的支持力NA、NB,如圖11所示.選圓心O為轉(zhuǎn)軸,由于NA、NB的力臂均為零,故二者力矩均為零,根據(jù)力矩平衡的條件M合=0,可得mAgRcos60°=mBgR,很方便地可以解得mA=2m,顯然比從F合=0角度解題簡便得多.

7 用虛功原理巧解平衡問題

在某給定瞬間,質(zhì)點或質(zhì)點系為約束所允許的無限小的位移稱為質(zhì)點或質(zhì)點系的虛位移,力在虛位移上做的功稱為虛功.一個原為靜止的質(zhì)點系,如果約束是理想雙面定常約束,則系統(tǒng)繼續(xù)保持靜止的條件是所有作用于該系統(tǒng)的主動力對作用點的虛位移所作的功的和為零,這稱為虛功原理,有的參考書上稱為“元功法”.

圖12 例7題圖

例7 如圖12,質(zhì)量為m、長度為l的均勻柔軟粗繩,穿過半徑為R的滑輪,繩的兩端吊在天花板的兩個釘子上,兩釘間距離為2R.滑輪軸上掛一重物,重物與滑輪總質(zhì)量為M,且相互間無摩擦.求繩上最低點C處的張力.

總而言之,雖然以上方法不是很常用,但在遇到用常規(guī)方法難以解決的平衡問題時,可以靈活選用合適的非常規(guī)方法求解,這對訓練學生的思維、拓寬學生的視野、加深對物理的理解也大有裨益.