輕繩連接體問題的力學規(guī)律與求解策略

鄧賢彬

以輕繩連接體為背景的物理試題往往能夠充分考查物體的受力平衡、牛頓運動定律、運動的合成與分解、動量、能量守恒和功能關(guān)系等重要力學知識（如圖1所示），以及平行四邊形定則、三角函數(shù)等數(shù)學知識，對同學們的理解能力和數(shù)學計算能力的要求較高。要想快速準確地求解輕繩連接體問題，就必須清楚輕繩的力學特性和輕繩連接的兩個物體間具有的速度關(guān)系、加速度關(guān)系、位移關(guān)系等。下面歸納整理典型的輕繩連接體問題的求解策略，供大家參考。

一、輕繩之瞬間問題

1.輕繩的定義：沒有質(zhì)量，形變量微小到可以忽略不計的繩子。

2.輕繩的力學特性：輕繩不發(fā)生顯著形變就能產(chǎn)生彈力，故形變的產(chǎn)生、恢復或改變幾乎不需要時間，其彈力可以發(fā)生突變。

例1 如圖2所示，用兩段不可伸長的輕繩懸掛質(zhì)量為m 的小球，小球處于靜止狀態(tài)時，小球左側(cè)輕繩水平，右側(cè)輕繩與豎直方向間的夾角為θ。以下說法中正確的是（ ）。

A.剪斷水平輕繩的瞬間，小球的加速度為gtan θ

B.剪斷水平輕繩的瞬間，小球的加速度為gsin θ

C.剪斷傾斜輕繩的瞬間，小球的加速度為g

D.剪斷傾斜輕繩的瞬間，小球的加速度為g/sin θ

解析：剪斷輕繩的瞬間，其彈力會發(fā)生突變。分析此時輕繩的彈力情況需要根據(jù)小球以后的運動情況，因為此時輕繩的彈力應為小球以后的運動提供力學條件。

剪斷水平輕繩的瞬間，小球開始做圓周運動。小球的受力情況如圖3所示，將重力沿繩和垂直于繩方向分解，則T=mgcos θ，F(xiàn)合=mgsin θ，因此小球的加速度a=F合/m =gsin θ，選項A錯誤，B正確。

剪斷傾斜輕繩的瞬間，小球開始做自由落體運動（水平繩無拉力），則小球的加速度a=g，選項C正確，D錯誤。

答案：BC

例2 如圖4所示，質(zhì)量為M的木塊用長為L 的輕繩懸掛于O點，處于靜止狀態(tài)。一質(zhì)量為m 的子彈以水平速度v0 高速射入木塊，子彈沒射出木塊。不考慮一切阻力，求：

（1）子彈射入木塊后，子彈和木塊的共同速度v共。

（2）子彈射入木塊時輕繩的拉力F。

（3）子彈射入木塊后，子彈和木塊上升的最大高度H 。

解析：（1）子彈射入木塊的時間很短，木塊的位置幾乎沒有變化，子彈和木塊就達到共同速度。由子彈和木塊組成的系統(tǒng)受輕繩對它豎直向上的拉力和豎直向下的重力，因而在水平方向上受到的合力為零，系統(tǒng)動量守恒，則mv0 = （m + M ）v共，解得v共=mv0/m +M 。

（2）子彈射入木塊后，由子彈和木塊組成的系統(tǒng)開始做圓周運動，系統(tǒng)的受力情況如圖5所示，根據(jù)運動學公式得F - （m +M ）g =（m +M ）（v2共/L），解得F=（m +M ）g+[m2v20/（m +M ）L]。

（3）子彈和木塊在向右運動的過程中，因為輕繩的拉力始終不做功，只有重力做功，所以由子彈和木塊組成的系統(tǒng)機械能守恒，當系統(tǒng)的速度為零時運動到最高點。根據(jù)機械能守恒定律得1/2（m +M ）v2共=（m +M ）gH ，解得H = [m2/2g（m +M ）2]v20。

二、輕繩連接之死結(jié)、活結(jié)問題

1.“死結(jié)”：可理解為把輕繩分成兩段，且不可以沿輕繩自由移動的結(jié)點。其特點是“死結(jié)”讓結(jié)兩側(cè)的兩段輕繩變成兩根獨立的輕繩，因此兩段輕繩的張力一般不相等。理論上，一根輕繩可以存在無數(shù)個“死結(jié)”下的力學平衡狀態(tài)。

2.“活結(jié)”：可理解為把輕繩分成兩段，且可以沿輕繩自由移動的結(jié)點。其特點是輕繩在結(jié)點處發(fā)生彎曲，張力方向發(fā)生變化，但輕繩仍是同一根繩，“活結(jié)”兩側(cè)的兩段輕繩的張力大小一定相等。一般情況下，處于確定的力學平衡狀態(tài)下的一根輕繩只能有一個“活結(jié)”。

例3 （2020年高考全國Ⅲ卷） 如圖6所示，懸掛物體甲的細線拴牢在一不可伸長的輕質(zhì)細繩上O 點處，細繩的一端固定在墻上A 點，另一端通過光滑定滑輪與物體乙相連。甲、乙兩物體的質(zhì)量相等。系統(tǒng)平衡時，O 點兩側(cè)細繩與豎直方向間的夾角分別為α 和β，若α=70°，則β 等于（ ）

A.45° B.55°

C.60° D.70

解析：本題是輕繩連接體的平衡問題，既有“死結(jié)”，又有“活結(jié)”。選滑輪處為研究對象，滑輪處為一“活結(jié)”，因而滑輪兩側(cè)的兩段細繩的張力大小相等，且等于物體乙的重力。設甲、乙兩物體的質(zhì)量均為m ，選O 點為研究對象，進行受力分析，如圖7所示，因為T1=T2，所以其合力T 在其角平分線上，即∠1= ∠2，根據(jù)三力平衡條件可知，TOA 和T 等大反向，則∠1=β。根據(jù)幾何關(guān)系得∠1+ ∠2+α =180°，解得∠1=55°，即β=55°。

答案：B

三、輕繩連接體之系統(tǒng)問題

例4 如圖8所示，一根輕繩跨過光滑定滑輪，兩端分別連接物體A 和B，物體A 和B 的質(zhì)量分別為m 和M ，物體A 懸掛在空中，物體B 放于水平地面上。假設輕繩的長度不發(fā)生改變，且滑輪的大小可忽略不計。在用水平變力F 拉物體B 沿水平方向向右做勻速直線運動的過程中，（ ）。

A.物體A 也做勻速直線運動

B.輕繩的拉力始終等于物體A 的重力

C.物體A 做加速運動

D.輕繩對物體A 的拉力逐漸減小

解析：根據(jù)運動的合成與分解，將物體B 在初始位置的瞬時速度分解到沿繩方向和垂直于繩方向，如圖9所示，則物體A 的速度vA =vB//=vBcos α。物體B 向右勻速運動的過程中，vB 保持不變，輕繩和水平方向間的夾角α 逐漸減小，cos α 逐漸增大，則vA 逐漸增大，即物體A做加速運動，選項A 錯誤，C正確。對物體A進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律得TA -mg=maA ，即TA >mg，選項B 錯誤。根據(jù)數(shù)學知識可知，隨著α 角的減小，cos α 的值變化減慢，物體A 的速度改變變慢，即aA 減小，故TA 逐漸減小，選項D正確。

答案：CD

問題1：輕繩連接的兩物體瞬時速度大小相等嗎？

原理分析：為了研究方便，假設物體A和物體B 開始時分別處于位置A 和位置B，令經(jīng)過一段時間Δt，物體A 和物體B 分別運動到圖10 中的A1 和B1 位置，設該段時間內(nèi)，物體A 和物體B 的位移分別為xA 和xB 。以O 點為圓心，以OB 長為半徑畫圓弧BB2 交OB1 于B2 點。

位移大小關(guān)系：輕繩不能伸長，根據(jù)幾何關(guān)系得xA =xB//，xB >xB//。

原因分析：物體A 和物體B 在相等時間內(nèi)的位移、速度大小不等的根本原因是物體B 沿垂直于輕繩方向發(fā)生了轉(zhuǎn)動。

結(jié)論1：輕繩連接的兩物體沿繩方向的瞬時速度大小一定相等，即vA//=vB//。

問題2：輕繩連接的兩物體沿繩方向的瞬時加速度大小相等嗎？

原理分析：物體A 做加速運動，對物體A 應用牛頓第二定律得TA -mg=maA ，其中aA >0。物體B 做勻速直線運動，物體B 受到重力Mg，拉力F，輕繩拉力T，地面摩擦力和支持力作用，處于平衡狀態(tài)。如圖11所示，以水平方向為x軸，豎直方向為y 軸，將輕繩的拉力T 正交分解，則F =f +Tcos α，N +Tsin α=Mg，其中f=μN 。如圖12所示，以沿繩方向為x 軸，垂直于繩方向為y 軸，設物體B沿繩方向的加速度為aB//，則（Mg-N）sin α+（F-f）cos α-T=MaB//。聯(lián)立以上各式解得aB//=0。因此aA ≠aB//。

結(jié)論2：輕繩連接的兩物體沿繩方向的瞬時加速度大小不一定相等。

問題3：什么條件下輕繩連接的兩物體沿繩方向的瞬時加速度大小一定相等？

原理分析：因為輕繩連接的物體沿垂直于繩方向有轉(zhuǎn)動造成了兩物體位移、速度大小不等，所以當輕繩連接的兩物體沿垂直于繩方向上均沒有轉(zhuǎn)動，即兩物體都只在沿繩方向上運動時，兩物體沿繩方向的位移、瞬時速度、瞬時加速度大小一定相等。

結(jié)論3：當輕繩連接的兩物體沿垂直于繩方向上沒有轉(zhuǎn)動，即兩物體都只在沿繩方向上運動時，兩物體沿繩方向的瞬時加速度大小和瞬間速度大小一定相等。

練習1：如圖13所示，一根輕繩跨過光滑輕質(zhì)定滑輪，兩端分別系在物體A、B 上，物體A的質(zhì)量M1 =2 kg，物體B 的質(zhì)量M2 =1 kg，初始狀態(tài)下物體A 離地高度H =0.5 m。將物體A 與B 由靜止開始釋放，取重力加速度g=10 m/s2，則物體A 由靜止下落0.3 m 時的速度為（ ）。

A.根號下2 m/s B.3 m/s

C.2 m/s D.1 m/s

答案：A 提示：將物體A 與B 由靜止開始釋放后，物體A 豎直下落，物體B 豎直上升，均只沿繩方向運動，因此兩物體的瞬間加速度大小、運動時間、瞬時速度大小均相等。對由兩物體組成的系統(tǒng)應用機械能守恒定律得（M1-M2）gh=1/2（M1+M2）v2，解得v=根號下2 m/s。

問題4：既然物體B 做勻速直線運動，加速度aB =0，為什么物體B 沿繩方向和垂直于繩方向的速度都在發(fā)生變化？原理分析：將物體B 在B 點和B1 點的速度vB 、vB1 沿繩方向和垂直于繩方向進行分解，并將vB1 及其分量平移到B 點，如圖14所示。從vB//矢量的末端向vB1//矢量的末端引有向線段，