輕繩連接體問題的力學(xué)規(guī)律與求解策略

■四川省資中縣教育研究室 鄧賢彬

以輕繩連接體為背景的物理試題往往能夠充分考查物體的受力平衡、牛頓運(yùn)動定律、運(yùn)動的合成與分解、動量、能量守恒和功能關(guān)系等重要力學(xué)知識(如圖1 所示)，以及平行四邊形定則、三角函數(shù)等數(shù)學(xué)知識，對同學(xué)們的理解能力和數(shù)學(xué)計算能力的要求較高。要想快速準(zhǔn)確地求解輕繩連接體問題，就必須清楚輕繩的力學(xué)特性和輕繩連接的兩個物體間具有的速度關(guān)系、加速度關(guān)系、位移關(guān)系等。下面歸納整理典型的輕繩連接體問題的求解策略，供大家參考。

圖1

一、輕繩之瞬間問題

1.輕繩的定義:沒有質(zhì)量，形變量微小到可以忽略不計的繩子。

2.輕繩的力學(xué)特性:輕繩不發(fā)生顯著形變就能產(chǎn)生彈力，故形變的產(chǎn)生、恢復(fù)或改變幾乎不需要時間，其彈力可以發(fā)生突變。

例1如圖2所示，用兩段不可伸長的輕繩懸掛質(zhì)量為m的小球，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)時，小球左側(cè)輕繩水平，右側(cè)輕繩與豎直方向間的夾角為θ。以下說法中正確的是( )。

圖2

A.剪斷水平輕繩的瞬間，小球的加速度為gtanθ

B.剪斷水平輕繩的瞬間，小球的加速度為gsinθ

C.剪斷傾斜輕繩的瞬間，小球的加速度為g

解析:剪斷輕繩的瞬間，其彈力會發(fā)生突變。分析此時輕繩的彈力情況需要根據(jù)小球以后的運(yùn)動情況，因為此時輕繩的彈力應(yīng)為小球以后的運(yùn)動提供力學(xué)條件。

剪斷水平輕繩的瞬間，小球開始做圓周運(yùn)動。小球的受力情況如圖3所示，將重力沿繩和垂直于繩方向分解，則T=mgcosθ，F(xiàn)合=mgsinθ，因此小球的加速度，選項A錯誤，B正確。

圖3

剪斷傾斜輕繩的瞬間，小球開始做自由落體運(yùn)動(水平繩無拉力)，則小球的加速度a=g，選項C正確，D 錯誤。

答案:BC

例2如圖4所示，質(zhì)量為M的木塊用長為L的輕繩懸掛于O點，處于靜止?fàn)顟B(tài)。一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0高速射入木塊，子彈沒射出木塊。不考慮一切阻力，求:

圖4

(1)子彈射入木塊后，子彈和木塊的共同速度v共。

(2)子彈射入木塊時輕繩的拉力F。

(3)子彈射入木塊后，子彈和木塊上升的最大高度H。

解析:(1)子彈射入木塊的時間很短，木塊的位置幾乎沒有變化，子彈和木塊就達(dá)到共同速度。由子彈和木塊組成的系統(tǒng)受輕繩對它豎直向上的拉力和豎直向下的重力，因而在水平方向上受到的合力為零，系統(tǒng)動量守恒，則mv0= (m+M)v共，解得。

(2)子彈射入木塊后，由子彈和木塊組成的系統(tǒng)開始做圓周運(yùn)動，系統(tǒng)的受力情況如圖5 所示，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式得，解得。

圖5

(3)子彈和木塊在向右運(yùn)動的過程中，因為輕繩的拉力始終不做功，只有重力做功，所以由子彈和木塊組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，當(dāng)系統(tǒng)的速度為零時運(yùn)動到最高點。根據(jù)機(jī)械能守恒定律得，解得。

二、輕繩連接之死結(jié)、活結(jié)問題

1.“死結(jié)”:可理解為把輕繩分成兩段，且不可以沿輕繩自由移動的結(jié)點。其特點是“死結(jié)”讓結(jié)兩側(cè)的兩段輕繩變成兩根獨(dú)立的輕繩，因此兩段輕繩的張力一般不相等。理論上，一根輕繩可以存在無數(shù)個“死結(jié)”下的力學(xué)平衡狀態(tài)。

2.“活結(jié)”:可理解為把輕繩分成兩段，且可以沿輕繩自由移動的結(jié)點。其特點是輕繩在結(jié)點處發(fā)生彎曲，張力方向發(fā)生變化，但輕繩仍是同一根繩，“活結(jié)”兩側(cè)的兩段輕繩的張力大小一定相等。一般情況下，處于確定的力學(xué)平衡狀態(tài)下的一根輕繩只能有一個“活結(jié)”。

例3(2020年高考全國Ⅲ卷) 如圖6所示，懸掛物體甲的細(xì)線拴牢在一不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩上O點處，細(xì)繩的一端固定在墻上A點，另一端通過光滑定滑輪與物體乙相連。甲、乙兩物體的質(zhì)量相等。系統(tǒng)平衡時，O點兩側(cè)細(xì)繩與豎直方向間的夾角分別為α和β，若α=70°，則β等于( )。

圖6

A.45° B.55°

C.60° D.70°

解析:本題是輕繩連接體的平衡問題，既有“死結(jié)”，又有“活結(jié)”。選滑輪處為研究對象，滑輪處為一“活結(jié)”，因而滑輪兩側(cè)的兩段細(xì)繩的張力大小相等，且等于物體乙的重力。設(shè)甲、乙兩物體的質(zhì)量均為m，選O點為研究對象，進(jìn)行受力分析，如圖7所示，因為T1=T2，所以其合力T在其角平分線上，即∠1=∠2，根據(jù)三力平衡條件可知，TOA和T等大反向，則∠1=β。根據(jù)幾何關(guān)系得∠1+∠2+α=180°，解得∠1=55°，即β=55°。

圖7

答案:B

三、輕繩連接體之系統(tǒng)問題

例4如圖8所示，一根輕繩跨過光滑定滑輪，兩端分別連接物體A和B，物體A和B的質(zhì)量分別為m和M，物體A懸掛在空中，物體B放于水平地面上。假設(shè)輕繩的長度不發(fā)生改變，且滑輪的大小可忽略不計。在用水平變力F拉物體B沿水平方向向右做勻速直線運(yùn)動的過程中，( )。

圖8

A.物體A也做勻速直線運(yùn)動

B.輕繩的拉力始終等于物體A的重力

C.物體A做加速運(yùn)動

D.輕繩對物體A的拉力逐漸減小

解析:根據(jù)運(yùn)動的合成與分解，將物體B在初始位置的瞬時速度分解到沿繩方向和垂直于繩方向，如圖9 所示，則物體A的速度vA=vB//=vBcosα。物體B向右勻速運(yùn)動的過程中，vB保持不變，輕繩和水平方向間的夾角α逐漸減小，cosα逐漸增大，則vA逐漸增大，即物體A做加速運(yùn)動，選項A 錯誤，C正確。對物體A進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律得TAmg=maA，即TA＞mg，選項B 錯誤。根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知，隨著α角的減小，cosα的值變化減慢，物體A的速度改變變慢，即aA減小，故TA逐漸減小，選項D 正確。

圖9

答案:CD

問題1:輕繩連接的兩物體瞬時速度大小相等嗎?

原理分析:為了研究方便，假設(shè)物體A和物體B開始時分別處于位置A和位置B，令經(jīng)過一段時間Δt，物體A和物體B分別運(yùn)動到圖10 中的A1和B1位置，設(shè)該段時間內(nèi)，物體A和物體B的位移分別為xA和xB。以O(shè)點為圓心，以O(shè)B長為半徑畫圓弧BB2交OB1于B2點。

圖10

位移大小關(guān)系:輕繩不能伸長，根據(jù)幾何關(guān)系得xA=xB//，xB＞xB//。

原因分析:物體A和物體B在相等時間內(nèi)的位移、速度大小不等的根本原因是物體B沿垂直于輕繩方向發(fā)生了轉(zhuǎn)動。

結(jié)論1:輕繩連接的兩物體沿繩方向的瞬時速度大小一定相等，即vA//=vB//。

問題2:輕繩連接的兩物體沿繩方向的瞬時加速度大小相等嗎?

原理分析:物體A做加速運(yùn)動，對物體A應(yīng)用牛頓第二定律得TA-mg=maA，其中aA＞0。物體B做勻速直線運(yùn)動，物體B受到重力Mg，拉力F，輕繩拉力T，地面摩擦力和支持力作用，處于平衡狀態(tài)。如圖11所示，以水平方向為x軸，豎直方向為y軸，將輕繩的拉力T正交分解，則F=f+Tcosα，N+Tsinα=Mg，其中f=μN(yùn)。如圖12所示，以沿繩方向為x軸，垂直于繩方向為y軸，設(shè)物體B沿繩方向的加速度為aB//，則(Mg-N)sinα+(F-f)cosα-T=MaB//。聯(lián)立以上各式解得aB//=0。因此aA≠aB//。

圖11

圖12

結(jié)論2:輕繩連接的兩物體沿繩方向的瞬時加速度大小不一定相等。

問題3:什么條件下輕繩連接的兩物體沿繩方向的瞬時加速度大小一定相等?

原理分析:因為輕繩連接的物體沿垂直于繩方向有轉(zhuǎn)動造成了兩物體位移、速度大小不等，所以當(dāng)輕繩連接的兩物體沿垂直于繩方向上均沒有轉(zhuǎn)動，即兩物體都只在沿繩方向上運(yùn)動時，兩物體沿繩方向的位移、瞬時速度、瞬時加速度大小一定相等。

結(jié)論3:當(dāng)輕繩連接的兩物體沿垂直于繩方向上沒有轉(zhuǎn)動，即兩物體都只在沿繩方向上運(yùn)動時，兩物體沿繩方向的瞬時加速度大小和瞬間速度大小一定相等。

練習(xí)1:如圖13 所示，一根輕繩跨過光滑輕質(zhì)定滑輪，兩端分別系在物體A、B上，物體A的質(zhì)量M1=2 kg，物體B的質(zhì)量M2=1 kg，初始狀態(tài)下物體A離地高度H=0.5 m。將物體A與B由靜止開始釋放，取重力加速度g=10 m/s2，則物體A由靜止下落0.3 m 時的速度為( )。

圖13

C.2 m/s D.1 m/s

答案:A 提示:將物體A與B由靜止開始釋放后，物體A豎直下落，物體B豎直上升，均只沿繩方向運(yùn)動，因此兩物體的瞬間加速度大小、運(yùn)動時間、瞬時速度大小均相等。對由兩物體組成的系統(tǒng)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律得，解得。

問題4:既然物體B做勻速直線運(yùn)動，加速度aB=0，為什么物體B沿繩方向和垂直于繩方向的速度都在發(fā)生變化?

原理分析:將物體B在B點和B1點的速度vB、vB1沿繩方向和垂直于繩方向進(jìn)行分解，并將vB1及其分量平移到B點，如圖14所示。從vB//矢量的末端向vB1//矢量的末端引有向線段，即ΔvB//;從vB⊥矢量的末端向vB1⊥矢量的末端引有向線段，即ΔvB⊥。利用數(shù)學(xué)知識易證ΔvB//=ΔvB⊥，方向相反。根據(jù)牛頓第二定律得，方向相反，同時其瞬時加速度也應(yīng)等大反向，其矢量和為零，即aB=0。

圖14

結(jié)論4:物體B的勻速直線運(yùn)動可以看成是這樣的兩個分運(yùn)動的合運(yùn)動，即一個為沿繩方向的加速運(yùn)動和另一個沿垂直于繩方向的減速運(yùn)動(其初速度矢量和為vB)，而且兩個分運(yùn)動的加速度始終大小相等，方向相反(但兩個分運(yùn)動的加速度方向與相應(yīng)的速度方向不在同一條直線上)。

問題5:輕繩對由其連接的兩運(yùn)動物體做功的代數(shù)和為多少? 為什么輕繩連接的兩物體組成的系統(tǒng)只有重力做功時系統(tǒng)的機(jī)械能守恒?

原理分析:將兩物體的速度分別分解在垂直于繩和平行于繩的方向上，則輕繩的拉力對每個物體做功的瞬間功率大小均為P=Tv//。因為輕繩對兩物體的拉力大小始終相等且與繩在同一條直線上，同時兩物體沿繩方向的速度大小相等，所以輕繩對兩物體做功的瞬間功率必然大小相等且互為相反數(shù)，即輕繩對兩物體做功的代數(shù)和一定為零。通過輕繩對物體做功，實現(xiàn)了機(jī)械能在物體間的轉(zhuǎn)移，故每個單一物體的機(jī)械能都不守恒。如果輕繩連接的物體系統(tǒng)外只有重力做功，那么系統(tǒng)的機(jī)械能一定守恒。

結(jié)論5:輕繩對由其連接的兩運(yùn)動物體做功的代數(shù)和一定為零。輕繩連接的兩物體組成的系統(tǒng)在只有重力做功的情況下，系統(tǒng)的機(jī)械能一定守恒。

練習(xí)2:如圖15 所示，繞過光滑輕質(zhì)定滑輪的一根輕繩兩端分別連接物塊A和B，物塊B的下面通過輕繩連接物塊C，已知物塊B和C的質(zhì)量均為m，物塊A的質(zhì)量為，物塊B和C之間的輕繩長度為L，初始時物塊C離地的高度也為L。最初物塊A鎖定在地面上，現(xiàn)解除對物塊A的鎖定，三個物塊開始運(yùn)動。假設(shè)三個物塊均可視為質(zhì)點，落地后不反彈，重力加速度大小為g。求:

圖15

(1)物塊A剛上升時的加速度大小a。

(2)物塊A上升過程中的最大速率vmax。

(3)物塊A離地的最大高度H。

答案:(1);(2);(3)。提示:(1)解除對物塊A的鎖定后，物塊A加速上升，物塊B和C加速下降，加速度大小a相等。設(shè)輕繩對物塊A和B的拉力大小為T，根據(jù)牛頓第二定律，對物塊A有，對由物塊B和C組成的系統(tǒng)有(m+m)g-T=(m+m)a，解得。(2)物塊C落地后，物塊A的重力大于物塊B的重力，物塊A減速上升，所以當(dāng)物塊C剛著地時，物塊A的速度最大。從物塊A剛開始上升到物塊C剛著地的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得，解得。(3)假設(shè)物塊C落地后物塊A繼續(xù)上升h時速度為零，此時物塊B未觸及地面，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得，解得。因為，物塊B不會觸地，假設(shè)成立，所以物塊A離地的最大高度。

總之，以輕繩為載體，可以有效地把力學(xué)主要知識點串聯(lián)在一起。同學(xué)們在復(fù)習(xí)備考過程中，將輕繩連接體問題歸納整理在一起，從宏觀視覺對知識加以把控，讓知識融會貫通，可以達(dá)到復(fù)習(xí)一類掌握全部相關(guān)知識的目的。