例談選函數(shù)圖像常用的方法

■北京市第十九中學(xué) 公衍錄(特級(jí)教師)

選擇符合題意的函數(shù)圖像一直是高考考查的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，下面結(jié)合實(shí)例介紹選函數(shù)圖像常用的幾種方法，供同學(xué)們參考。

一、根據(jù)函數(shù)表達(dá)式選擇函數(shù)圖像

先根據(jù)題意和物理規(guī)律，推導(dǎo)出圖像縱、橫坐標(biāo)軸代表的物理量滿足的關(guān)系式——函數(shù)表達(dá)式，再依據(jù)“函數(shù)表達(dá)式與函數(shù)圖像相對(duì)應(yīng)”選出符合題意的圖像。例如，若函數(shù)表達(dá)式形如y=kx+b，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像為直線;若函數(shù)表達(dá)式形如y=ax2+bx+c(a≠0)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像為拋物線。

例1在t=0時(shí)刻，將一物體(可視為質(zhì)點(diǎn))豎直向上拋出，忽略空氣阻力。以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)、豎直向上為正方向，如圖1所示的四個(gè)選項(xiàng)中能正確反映該物體的動(dòng)量p隨時(shí)間t變化、動(dòng)能Ek隨位移x變化的圖像是( )。

圖1

解析:設(shè)物體的初速度為v0，則t時(shí)刻物體的速度v=v0-gt，動(dòng)量p=mv，解得p=mv0-mgt，因此物體的動(dòng)量p與時(shí)間t是一次函數(shù)關(guān)系，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像是一條直線，且直線的斜率k=-mg，選項(xiàng)A 正確，B 錯(cuò)誤。根據(jù)速度與位移的關(guān)系式，動(dòng)能，解得，因此物體的動(dòng)能Ek與位移x是一次函數(shù)關(guān)系，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像是一條直線，且直線的斜率k=-mg，選項(xiàng)C、D 錯(cuò)誤。

答案:A

例2滑沙是人們喜愛(ài)的一項(xiàng)游樂(lè)活動(dòng)。如圖2所示為滑沙場(chǎng)地的一段，人和滑車從斜面頂端A點(diǎn)由靜止下滑，斜面的傾角為θ，取沿斜面向下為正方向，如圖3 所示的四個(gè)選項(xiàng)分別是人和滑車沿斜面向下運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的加速度a與時(shí)間t、速度v與位移x、重力的瞬時(shí)功率P重與時(shí)間t、動(dòng)能Ek與位移x的關(guān)系圖像，其中正確的是( )。

圖2

圖3

解析:選由人和滑車組成的整體為研究對(duì)象，在整體沿斜面下滑的過(guò)程中，根據(jù)牛頓第二定律得mgsinθ-f=ma，解得，因此a-t圖像是一條平行于t軸的直線，選項(xiàng)A 錯(cuò)誤。根據(jù)速度與位移的關(guān)系式v2=2ax，解得，因此v-x圖像是一條過(guò)原點(diǎn)且開口向右的拋物線的一部分，選項(xiàng)B 錯(cuò)誤。整體在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度v=at，重力的瞬時(shí)功率P重=mgvsinθ，解得P重=mgasinθ·t，因此P重-t圖像是一條過(guò)原點(diǎn)的傾斜直線，選項(xiàng)C 錯(cuò)誤。在整體沿斜面下滑位移x的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得Ek=(mgsinθ-μmgcosθ)x，因此Ek-x圖像是一條過(guò)原點(diǎn)的傾斜直線，選項(xiàng)D 正確。

答案:D

例3如圖4 所示，足夠長(zhǎng)光滑斜面傾角為θ，在沿斜面向上的恒力F作用下，物體從斜面底端由靜止開始向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體滑動(dòng)到某一高度處時(shí)撤去恒力F。以地面為零勢(shì)能面，設(shè)物體的重力勢(shì)能為Ep，機(jī)械能為E，則在物體沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，如圖5所示的Ep和E隨時(shí)間t變化的圖像正確的是( )。

圖4

圖5

圖6

解析:撤去恒力F前，設(shè)物體做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a1，末速度為v，位移為x1，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得F-mgsinθ=ma1，;撤去恒力F后，設(shè)物體做勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a2，位移為x2，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得mgsinθ=ma2，。撤去恒力F前，t時(shí)刻物體的重力勢(shì)能，其中a1為定值，因此Ep-t圖像為過(guò)原點(diǎn)且開口向上的拋物線的一部分。撤去恒力F時(shí)，設(shè)物體沿斜面方向的位移為x0，撤去恒力F后，t時(shí)刻物體的重力勢(shì)能，其中a2、v均為定值，因此Ep-t圖像為開口向下的拋物線的一部分，選項(xiàng)A 正確，B 錯(cuò)誤。根據(jù)除重力、彈力以外的其他力做功等于物體機(jī)械能的增加量可知，撤去恒力F前，物體的機(jī)械能，因此E-t圖像為過(guò)原點(diǎn)且開口向上的拋物線的一部分。撤去恒力F后，只有重力做功，物體的機(jī)械能保持不變，因此E-t圖像是一條平行于t軸的直線，選項(xiàng)C、D 錯(cuò)誤。

答案:A

二、利用圖像斜率的情況選擇函數(shù)圖像

先分析圖像斜率表示的物理量，例如v-t圖像的斜率表示加速度，x-t圖像的斜率表示速度，再利用已知條件判斷該物理量是否變化及如何變化，從而選出相應(yīng)的函數(shù)圖像。

例4“ETC”是不停車電子收費(fèi)系統(tǒng)的簡(jiǎn)稱。若某汽車以額定功率P額在平直高速公路上勻速行駛，為合理通過(guò)收費(fèi)處，司機(jī)在t1時(shí)刻使汽車功率減半，并保持該功率行駛至t2時(shí)刻又做勻速運(yùn)動(dòng);通過(guò)收費(fèi)處后，司機(jī)逐漸增大汽車功率，使汽車做勻加速運(yùn)動(dòng)直到恢復(fù)原來(lái)的額定功率，以后保持該功率行駛。設(shè)汽車所受阻力大小不變，則在該過(guò)程中，汽車的速度v隨時(shí)間t變化的圖像可能正確的是( )。

解析:0～t1時(shí)間內(nèi)，汽車以額定功率P額勻速行駛，汽車的牽引力等于阻力，則F=f，P額=Fv1，解得，因此v-t圖像是一條平行于t軸的直線。t1時(shí)刻汽車功率減半，則，f-F1=ma，解得，即t1時(shí)刻汽車的牽引力F1減半，汽車做減速運(yùn)動(dòng)。t1～t2時(shí)間內(nèi)，汽車的速度v減小，汽車保持減半的功率不變，根據(jù)，v減小，可知汽車的牽引力F增大，根據(jù)f-F=ma可知，汽車的加速度由逐漸減小，因此汽車做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，即v-t圖像斜率的絕對(duì)值逐漸減小。t2～t3時(shí)間內(nèi)，汽車做勻速運(yùn)動(dòng)，速度保持不變，因此v-t圖像是一條平行于t軸的直線。t3～t4時(shí)間內(nèi)，汽車先做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)F-f=ma可知，汽車的牽引力F不變，根據(jù)汽車的實(shí)際功率P實(shí)=Fv，v增大，可知P實(shí)增大，當(dāng)P實(shí)增大到P額時(shí)，保持P額不變，則汽車?yán)^續(xù)做加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)P額=Fv，v增大，可知汽車的牽引力F減小，根據(jù)F-f=ma可知，汽車的加速度逐漸減小至0，汽車做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，因此v-t圖像的斜率先保持不變，再逐漸減小。當(dāng)汽車的加速度減小為0時(shí)，汽車做勻速運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大值，且最大值等于v1，以后汽車以速度v1做勻速運(yùn)動(dòng)，因此v-t圖像是一條平行于t軸的直線。

答案:C

例5如圖7所示，均勻帶正電的金屬圓環(huán)豎直放置，A、B兩點(diǎn)是其軸線上關(guān)于圓心對(duì)稱的兩點(diǎn)。某時(shí)刻一個(gè)電子僅在靜電力作用下從A點(diǎn)沿軸線向右運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)，在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，電子的v-t圖像可能是( )。

圖7

圖8

解析:均勻帶正電的金屬圓環(huán)圓心處場(chǎng)強(qiáng)為0，軸線上無(wú)窮遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)也為0，故在圓心與無(wú)窮遠(yuǎn)之間軸線上某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)存在最大值。若A點(diǎn)在場(chǎng)強(qiáng)最大點(diǎn)左側(cè)，根據(jù)eE=ma可知，電子僅在靜電力作用下由A點(diǎn)沿軸線運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)的過(guò)程中，電子的加速度先增大，后減小到0，再反向增大，然后反向減小。根據(jù)v-t圖像的斜率表示加速度可知，圖像斜率先正的增大，后正的減小到0，再負(fù)的絕對(duì)值增大，然后負(fù)的絕對(duì)值減小，選項(xiàng)A正確。若A點(diǎn)在場(chǎng)強(qiáng)最大點(diǎn)右側(cè)，則電子僅在靜電力作用下由A點(diǎn)沿軸線運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)的過(guò)程中，電子的加速度先減小到0 再反向增大，因此v-t圖像的斜率先正的減小到0，后負(fù)的絕對(duì)值增大，選項(xiàng)B、C正確，D 錯(cuò)誤。

答案:ABC

三、通過(guò)分析函數(shù)圖像特殊點(diǎn)的情況選擇函數(shù)圖像

先分析函數(shù)圖像上的某些特殊點(diǎn)，再根據(jù)這些特殊點(diǎn)的情況可選出符合題意的圖像。例如，選質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的圖像，如果能夠判斷出做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)刻的振動(dòng)情況，那么就能選出該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖像。

例6如圖9甲所示，一列簡(jiǎn)諧橫波以速度v=1 m/s沿繩子由A點(diǎn)向B點(diǎn)傳播，質(zhì)點(diǎn)A、B間的水平距離x=3 m。若t=0時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)A正從平衡位置向上振動(dòng)，其振動(dòng)圖像如圖9乙所示，規(guī)定向上為正方向，則t=0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)B的振動(dòng)圖像是如圖10所示四個(gè)選項(xiàng)中的( )。

圖9

圖10

解析:根據(jù)圖9 乙可知，質(zhì)點(diǎn)A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T=4 s，則波長(zhǎng)λ=vT=4 m，A、B兩質(zhì)點(diǎn)間的水平距離。t=0時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)A正從平衡位置向上振動(dòng)，波由A點(diǎn)向B點(diǎn)(向右)傳播，因此可畫出如圖11 所示t=0 時(shí)刻的波形圖。t=0 時(shí)刻，x=3 m 處的質(zhì)點(diǎn)B正好位于波峰，與圖10中選項(xiàng)D 的圖像相對(duì)應(yīng)。

圖11

答案:D

四、通過(guò)定性或半定量分析選擇函數(shù)圖像

定性或半定量分析法是一種粗略地確定研究對(duì)象是否具有某種性質(zhì)，或確定某一物理量變化范圍的研究方法。遇到不好找出函數(shù)表達(dá)式的選函數(shù)圖像問(wèn)題，合理應(yīng)用這種方法能避免陷入對(duì)細(xì)枝末節(jié)的過(guò)度分析。

例7如圖12所示，ACB是一段豎直放置的光滑圓弧軌道，A、B兩點(diǎn)等高，相距為0.62 m，距軌道最低點(diǎn)C的豎直高度為0.01 m。一小滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn))從A點(diǎn)由靜止釋放并開始計(jì)時(shí)，其速率v隨時(shí)間t變化的圖像可能是如圖13所示四個(gè)選項(xiàng)中的( )。

圖12

圖13

解析:設(shè)圓弧軌道AC對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，圓弧軌道半徑為R，根據(jù)幾何關(guān)系得，其中h=0.01 m，x=0.62 m，解得R=4.81 m，則。因此圓弧軌道AC(或CB)對(duì)應(yīng)的圓心角很小，小滑塊在圓弧軌道上的往復(fù)運(yùn)動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(屬于單擺模型)，其周期，小滑塊從A點(diǎn)由靜止釋放后，在0～2.2 s(前半個(gè)周期)內(nèi)，小滑塊的速率先增大后減小，在2.2 s～4.4 s(后半個(gè)周期)內(nèi)，小滑塊的速率仍然是先增大后減小，與圖13中選項(xiàng)A 的圖像相對(duì)應(yīng)。

答案:A

總之，求解選函數(shù)圖像問(wèn)題，可以根據(jù)函數(shù)表達(dá)式與函數(shù)圖像相對(duì)應(yīng)選擇，也可以根據(jù)函數(shù)圖像斜率表示的物理量，結(jié)合圖像斜率的變化選擇，還可以根據(jù)函數(shù)圖像特殊點(diǎn)的情況或利用定性與半定量分析法選擇。