立足物理觀念 妙思估算問題

■浙江省桐鄉(xiāng)第一中學(xué) 李 鑫

在新課標(biāo)背景下，聯(lián)系實際問題出現(xiàn)的頻次越來越高，涉及數(shù)值計算或估算的問題也越來越多，下面從處理方法的角度討論此類問題，并從物理觀念和科學(xué)思維層面出發(fā)，剖析數(shù)值計算和估算問題的求解策略，供同學(xué)們參考。

一、方法與策略

1.重估輕算。

例1(2018·浙江)杭州市正將主干道上的部分高壓鈉燈換成LED 燈，已知高壓鈉燈的功率為400 W，LED 燈的功率為180 W，若更換4 000盞，則一個月可節(jié)約的電能約為( )。

A.9×102kW·h

B.3×105kW·h

C.6×105kW·h

D.1×1012kW·h

解析:將4 000 盞高壓鈉燈換成LED燈，每天可節(jié)約的電能約為(400-180)W×4 000×10 h=8.8×106W·h，故一個月可節(jié)約的電能約為8.8×106W·h×30=2.64×108W·h≈3×105kW·h。

答案:B

評價：此類型問題并非第一次出現(xiàn)在浙江省高考卷中，源頭可以追溯到2012年LED燈取代白熾燈背景下估算全國一年可節(jié)約多少電能的經(jīng)典問題。本題相對于2012 年的那道估算題要簡單一些，因為不需要估算全國有多少億戶。求解本題的核心在于知道燈在一天中只亮10小時左右，而不是24小時。本題的數(shù)值計算難度很小，重點在于根據(jù)實際情況進行估值，即重心在估不在算。

2.算估技巧。

例2(2021·全國甲卷)2021 年2月，執(zhí)行我國火星探測任務(wù)的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m。已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7 m/s2，則“天問一號”探測器的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為( )。

A.6×105m B.6×106m

C.6×107m D.6×108m

解析:設(shè)火星半徑為R，火星表面處自由落體的加速度為g，根據(jù)，解得近火衛(wèi)星的周期。設(shè)“天問一號”探測器的橢圓形停泊軌道的半長軸為a，根據(jù)開普勒第三定律得，整理得，其中g(shù)=3.7 m/s2，T=1.8×105s，R=3.4×106m，解得，因此107m＜a＜108m。近火點和遠火點距離之和等于橢圓形停泊軌道的長軸，因為近火點距離約為2.8×105m，所以遠火點距離約為6×107m。

答案:C

評價：本題是借他山之石來考查萬有引力相關(guān)問題，需要學(xué)生熟練掌握萬有引力定律、萬有引力和重力的關(guān)系，以及開普勒第三定律，并且需要采用合理的估算方法，具備嫻熟的數(shù)值計算能力。本題的解法有很多，上述解法相對來說可以節(jié)約時間。處理數(shù)值計算問題時，第一是要先得出目標(biāo)物理量函數(shù)關(guān)系再計算數(shù)值，而不要列一個關(guān)系式就解出一個中間結(jié)果，這樣不僅使得計算成本提高，而且容易因為每一步計算的四舍五入導(dǎo)致最終結(jié)果謬以千里；第二是要掌握必要的估算技巧，上述解答過程中，將3.7和4相抵消，將3.4與π相抵消，是一種近似處理，而且將半長軸a的結(jié)果取在一個區(qū)間內(nèi)，并不得出精確的數(shù)值，完全不影響選出正確答案。估算的一些數(shù)學(xué)技巧是需要同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練中長期積累的，浙江高考題曾經(jīng)兩次考查小量計算，其中（1+x）n=1+nx在x遠小于1 時成立，這種近似處理方法在求解天體物理估算問題時也有妙用。比如估算在距離地球表面300 km 圓形軌道上運行的環(huán)繞衛(wèi)星的加速度，可以利用牛頓第二定律和萬有引力定律得出，利用得出。

3.先估后算。

例3太陽系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動。地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現(xiàn)象，稱為“行星沖日”。已知地球及各地外行星繞太陽運行的軌道半徑如表1所示，則相鄰兩次“行星沖日”的時間間隔約為( )。

表1

A.火星365天 B.火星800天

C.天王星365天 D.天王星800天

解析:設(shè)相鄰兩次“行星沖日”的時間間隔為t，則，解得。根據(jù)開普勒第三定律得，因此。又有T地≈365天，根據(jù)表1 中的數(shù)據(jù)得t火≈800 天，t天≈369天。

答案:B

評價：本題取材于教材必修第二冊第七章第48頁練習(xí)與應(yīng)用的第1個習(xí)題，表格中的數(shù)據(jù)都來自教材。本題考查的“行星沖日”問題與以往注重物理過程分析的“行星沖日”問題不同，本題融入了數(shù)值計算，加大了難度。事實上，求解本題棘手的不是列出方程，而是數(shù)值計算，有的考生甚至?xí)锰├照归_來降低運算的復(fù)雜程度。然而本題命題專家的立意并不在于數(shù)值計算，而重在考查物理觀念。因為地球仍在自轉(zhuǎn)，所以“行星沖日”的時間間隔一定比365 天大，可排除選項A和C；因為地球與火星的軌道半徑相差不大，地球和天王星的軌道半徑相差較大，所以通過簡單估算就可以從選項B 和D 中選出正確答案。

二、核心素養(yǎng)視角下的數(shù)量級計算和估算問題

1.立足物理觀念，突出數(shù)量級意識。

例4土星最大的衛(wèi)星叫“泰坦”，它每16天繞土星運行一周，它繞土星運行的軌道半徑約為1.2×106km。已知引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，則土星的質(zhì)量約為( )。

A.5×1017kg B.5×1026kg

C.7×1033kg D.4×1036kg

解析:根據(jù)萬有引力定律得，解得，代入數(shù)據(jù)計算得。

答案:B

評價：本題從物理知識角度出發(fā)，是一道非常簡單的試題，僅僅考查萬有引力和向心力的數(shù)量關(guān)系。但是如果考生處理繁雜數(shù)值的計算能力較弱，且對“泰坦”繞土星運行的周期為16天這一條件使用不當(dāng)（沒有將其轉(zhuǎn)換為國際單位），那么就會選錯答案。仔細觀察本題的選項設(shè)計可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)量級差異很大，也就是說考生只要列對了表達式，并具備科學(xué)記數(shù)法的表達習(xí)慣，就不難得出正確結(jié)果。另外，考生如果能夠知道地球的質(zhì)量約為1024kg，太陽的質(zhì)量約為1030kg，那么根本不用進行復(fù)雜的物理分析與數(shù)值運算，就可以直接把正確答案選出來。

素養(yǎng)漫談:物理觀念是學(xué)科核心素養(yǎng)的首要方面，認知數(shù)量級是確立物質(zhì)觀念、運動與相互作用觀念、能量觀念的立足點。小到原子或原子核尺寸的數(shù)量級，核子間強相互作用或分子間相互作用的數(shù)量級，大到行星、恒星質(zhì)量的數(shù)量級，宇宙間時空尺度的數(shù)量級，同學(xué)們都應(yīng)有一定的了解。對于學(xué)有余力者，還應(yīng)該掌握更多物理參數(shù)的數(shù)量級，比如普朗克時間，天體物理中的天文單位、光年、地月平均距離、地日平均距離等常數(shù)。

例5太陽輻射的總功率約為4×1026W，其輻射的能量來自太陽內(nèi)部的核聚變反應(yīng)。在核聚變反應(yīng)中，一個質(zhì)量為1 876.1 MeV/c2(c為真空中的光速)的氘核和一個質(zhì)量為2 809.5 MeV/c2的氚核結(jié)合為一個質(zhì)量為3 728.4 MeV/c2的氦核，并放出一個X 粒子，同時釋放大約17.6 MeV 的能量。下列說法中正確的是( )。

A.X 粒子是質(zhì)子

B.X 粒子的質(zhì)量為939.6 MeV/c2

C.太陽每秒因為輻射損失的質(zhì)量約為4.4×109kg

D.太陽每秒因為輻射損失的質(zhì)量約為17.6 MeV/c2

解析:根據(jù)質(zhì)量數(shù)和電荷數(shù)守恒可知，X粒子的質(zhì)量數(shù)為1，電荷數(shù)為0，則X 粒子為中子，選項A 錯誤。根據(jù)能量關(guān)系得mnc2=(1 876.1+2 809.5)MeV-3 728.4 MeV-17.6 MeV，解得mn=939.6 MeV/c2，選項B正確。太陽每秒輻射出的能量E=Pt=4×1026J，因為輻射損失的質(zhì)量，選項C 正確。因為，所以太陽每秒因為輻射損失的質(zhì)量，選項D錯誤。

答案:BC

評價：本題考查核聚變反應(yīng)，要求考生能夠應(yīng)用愛因斯坦質(zhì)能方程并結(jié)合題目給出的能量信息綜合解決問題?？梢灾苯优懦氖沁x項D，因為只需簡單估算，就可以發(fā)現(xiàn)選項D 中質(zhì)量為17.6 MeV/c2的物質(zhì)所輻射的能量微乎其微，顯然不符合實際；本題難度最大的是對選項C 的判斷，計算太陽每秒因為輻射損失的質(zhì)量的分析與求解過程并不復(fù)雜，如果同學(xué)們在擁有扎實的數(shù)值計算能力的基礎(chǔ)上，還具備數(shù)量級意識，知曉太陽每秒因輻射而減小的質(zhì)量約為109kg這一天體物理參數(shù)，那么對于判斷選項C 的正誤而言無疑是如虎添翼的。

2.基于科學(xué)思維，彰顯常識性建模。

例6已知普朗克常量h=6.63×10-34J·s，電子的質(zhì)量為9.11×10-31kg，一個電子和一滴直徑約為4μm 的油滴具有相同動能，則電子與油滴的德布羅意波長之比的數(shù)量級為( )。

A.10-8B.106

C.108D.1016

解析:根據(jù)得，所以。油滴的質(zhì)量，代入數(shù)據(jù)計算得。

答案:C

評價：從建模角度來說，本題將常見的油滴和常“見”但不曾見過的電子進行對比，在模型建構(gòu)上頗有新意。本題考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問題的能力，需要學(xué)生先綜合應(yīng)用物理關(guān)系提煉出最重要的數(shù)學(xué)關(guān)系，即德布羅意波長與質(zhì)量的二次方根成反比，再挖掘出油滴的密度這一隱藏條件，估算出油滴的質(zhì)量，進而求得。

素養(yǎng)漫談:無論是哪個省市使用的高考試卷，對科學(xué)思維的考查一定是所有學(xué)科核心素養(yǎng)中頗受青睞的。相對于其他省市使用的高考試卷，浙江省高考物理試卷對科學(xué)思維中的科學(xué)推理的要求要略低一點，但對基于真實情境的模型建構(gòu)能力要求很高。本題就是一道綜合模型建構(gòu)、數(shù)值計算和估算的問題，考生需要突破題設(shè)描述，大膽結(jié)合自己的生活實際，構(gòu)建油滴的球體模型，知道油的密度，結(jié)合球體的體積公式，求出油滴的質(zhì)量，進而計算出最終結(jié)果。

3.強調(diào)科學(xué)探究，凸顯證據(jù)和解釋。

例7如圖1所示，照片中的汽車在水平路面上做勻速圓周運動，已知圖中雙向四車道的總寬度約為16 m，假設(shè)汽車受到的最大靜摩擦力等于車重的0.8倍，則下列關(guān)于做勻速圓周運動的汽車的說法中正確的是( )。

圖1

A.汽車所受的合力可能為零

B.汽車只受重力和地面的支持力作用

C.汽車的最大速度不能超過25 m/s

D.汽車做勻速圓周運動所需的向心力由重力和支持力的合力提供

解析:根據(jù)圖中雙向四車道的總寬度約為16 m，需要能夠動眼(觀察)+動手(測量)得出準(zhǔn)確的可用信息，注意不能用近處的道路寬度去估算汽車做勻速圓周運動的半徑，因為這段道路在照片中失真明顯，而要用遠端的道路去估計。汽車在水平路面上做勻速圓周運動，受到重力、支持力和摩擦力的作用，其中重力和支持力是一對平衡力，向心力由摩擦力提供，選項A、B、D 錯誤。根據(jù)向心力公式得，解得，結(jié)合圖測數(shù)據(jù)可知，遠端半徑大約是道路寬度的5倍，即汽車做勻速圓周運動的半徑r=80 m，將r=80 m，μ=0.8，g=10 m/s2代入解得v=25 m/s，選項C正確。

答案:C

評價：本題是一道非常經(jīng)典的根據(jù)實際模型估算的問題，從某種意義上可以說是無數(shù)據(jù)估算題，需要考生主動剖析照片找尋證據(jù)，采擷照片中的信息加以組合利用才能完成求解。本題題意十分新穎，對考生科學(xué)探究能力的要求頗高。

例8在一水平桌面上，一個白球以一定的初速度與一個靜止的黑球發(fā)生碰撞，已知兩球的質(zhì)量相等。觀察者拍下的兩球碰撞過程的頻閃照片如圖2所示，據(jù)此圖可推斷，碰撞過程中由兩球組成的系統(tǒng)損失的動能約占碰撞前系統(tǒng)動能的( )。

圖2

A.30% B.50%

C.70% D.90%

解析:兩球碰撞過程中頻閃的時間間隔t相同，球的運動速度。觀察頻閃照片可以發(fā)現(xiàn)，相同時間內(nèi)，白球碰撞前與碰撞后的位移之比約為5∶3，則其速度之比為5∶3，白球碰撞后與黑球碰撞后的位移之比約為1∶1，則兩球的速度之比約為1∶1。因為球的動能，兩球的質(zhì)量相等，所以碰撞過程中由兩球組成的系統(tǒng)損失的動能為碰撞前白球的動能減去碰撞后系統(tǒng)的動能，求解碰撞過程中系統(tǒng)損失的動能與碰撞前系統(tǒng)動能的比值時，兩球的質(zhì)量可以約去，得到比例式。

答案:A

素養(yǎng)漫談:強調(diào)科學(xué)探究、解構(gòu)情境類問題對考生模型建構(gòu)能力的要求較高。求解這類問題，需要考生根據(jù)實際情境綜合處理，估算中估的占比更多了，而且估的方法不是演算技巧，而是要動手去測繪，或者依據(jù)實際情況來估計，從實際情境中尋找證據(jù)，在形成證據(jù)鏈中匹配物理觀念完成解釋。求解這類問題，考生還需要具有創(chuàng)造性想法，這對檢驗考生的學(xué)科核心素養(yǎng)的底色是卓有成效的。