數(shù)量級(jí)的估計(jì)在物理學(xué)中的應(yīng)用

呼和滿都拉，董永勝，齊　磊（集寧師范學(xué)院　物理系，內(nèi)蒙古　烏蘭察布　012000）

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數(shù)量級(jí)的估計(jì)在物理學(xué)中的應(yīng)用

呼和滿都拉，董永勝，齊磊
（集寧師范學(xué)院物理系，內(nèi)蒙古烏蘭察布012000）

摘要：在物理學(xué)的各個(gè)分支中，不同事物的量度有著不同的數(shù)量級(jí).比如空間尺度（即長度）跨越了42個(gè)數(shù)量級(jí)，時(shí)間、速度也都跨越了幾十個(gè)數(shù)量級(jí).不論理論還是實(shí)驗(yàn)，往往都需要對(duì)有關(guān)物理量進(jìn)行估計(jì)，以確定各個(gè)可能效應(yīng)的相對(duì)重要性，判斷物理現(xiàn)象的主要機(jī)制.本文先是簡單估算了宇宙的引力半徑，而后對(duì)微觀層面普朗克常數(shù)的存在意義，以及電子的運(yùn)動(dòng)機(jī)制作了簡單討論.

關(guān)鍵詞：數(shù)量級(jí)；普朗克常數(shù)；玻爾半徑

理論物理學(xué)家們?cè)谶M(jìn)行詳細(xì)計(jì)算之前，為了恰當(dāng)?shù)倪x擇和建立數(shù)學(xué)和物理模型，要估計(jì)各物理量的各種可能效應(yīng)相對(duì)重要性，用以判斷哪個(gè)物理量是決定現(xiàn)象的主要機(jī)制.實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家們?cè)谥譁?zhǔn)備精密測量之前，為了選擇合適的儀器和測量方法，也需要對(duì)各有關(guān)物理量的數(shù)量級(jí)先做一番估計(jì).由此我們可以看出，掌握特征量的數(shù)量級(jí)對(duì)我們物理學(xué)習(xí)來說至關(guān)重要.在分析物理效應(yīng)的過程中，我們應(yīng)注意尺度大小的改變所產(chǎn)生的影響，并把這種做法養(yǎng)成習(xí)慣，久而久之我們對(duì)現(xiàn)象的理解就會(huì)更加深刻，這種習(xí)慣很可能會(huì)幫助我們洞察事物的本質(zhì).

數(shù)量級(jí)的估計(jì)本無一定之規(guī)，我們?cè)谟玫臅r(shí)候要靈活應(yīng)用，因此本文主要對(duì)幾個(gè)典型的范例進(jìn)行討論.

1　由經(jīng)典力學(xué)估算宇宙的半徑

要擺脫一個(gè)質(zhì)量M，半徑為R的星球，所需速度為

這個(gè)速度也叫做“第二宇宙速度”.其中G是引力常數(shù).若星球的質(zhì)量M大到使v=c，這時(shí)連光子也不能克服其引力的作用而發(fā)射出來，以至于在外界看不到這個(gè)星體，這類星體就被稱為“黑洞”.我們把v=c帶入上式得

即“席瓦西（Schwarzschild）半徑”，或“引力半徑”，反一個(gè)過來說，一個(gè)質(zhì)量為M的星球，當(dāng)它的半徑縮小到R0一下時(shí)，它就會(huì)成為黑洞.

根據(jù)天文觀測證明，宇宙在大尺度上物質(zhì)分布是相當(dāng)均勻的[1].我們考慮一個(gè)均勻的球體，其半徑R，密度ρ，則

如果這個(gè)體系的半徑R恰好達(dá)到自己的引力半徑R0

那么在這種情況下,該球內(nèi)部就不會(huì)有光子逃脫R0的范圍.我們將宇宙的平均密度為ρ=5× 10-30g/cm3（臨界密度）代入上式，就可以估算出宇宙的引力半徑R0≈1028cm=1026m，我們姑且認(rèn)為，這就是“宇宙的半徑”[2].

2　普朗克常數(shù)的存在意義

前面我們討論了宇宙的“至大無外”，那么下面我們來到微觀領(lǐng)域，來看看“至小無內(nèi)”，就是沒有內(nèi)部結(jié)構(gòu)的最小單元.

如果說宇宙間有什么東西是無法再分割的，那只能是一些普適的物理常數(shù)，他們往往代表著一些無法逾越的界限.二十世紀(jì)初，經(jīng)典理論受到了前所未有的巨大沖擊，一些新的實(shí)驗(yàn)事實(shí)，比如電子荷質(zhì)比的測定等等，已經(jīng)完全無法用經(jīng)典理論進(jìn)行合理的解釋.而正是這一時(shí)期，物理學(xué)理論發(fā)生了重大變革，相對(duì)論和量子力學(xué)誕生.這兩個(gè)理論分別提出了一個(gè)普適的物理常數(shù).相對(duì)論提出真空光速c是一切物體和信號(hào)不可超越的最大速度，量子理論提出，普朗克常數(shù)h是不可分割的最小作用量子.

當(dāng)我們掌握了近代物理基本知識(shí)以后，我們就感覺到如此違反常識(shí)的兩個(gè)理論其實(shí)是很自然的事.下面我們就來看看普朗克常數(shù)h存在的必要性.

盧瑟福的實(shí)驗(yàn)證明了原子中有核存在以后，原子的穩(wěn)定性就出現(xiàn)了問題.與萬有引力維系的天體運(yùn)動(dòng)不同，按照經(jīng)典電磁理論，由庫侖力維系的原子中，電子將在加速運(yùn)動(dòng)中不斷輻射電磁波，其自身的能量就會(huì)不斷減少，以至于電子的軌道半徑就會(huì)越來越小，最后掉進(jìn)原子核里，進(jìn)而正負(fù)電荷中和，原子塌縮.按照電動(dòng)力學(xué)計(jì)算[3]，原子塌縮時(shí)間的數(shù)量級(jí)在10-9s.

1913年，玻爾為電子軌道加上了量子化條件，讓它們?cè)诙☉B(tài)軌道里作穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)而不輻射能量，后面我們會(huì)看到，定態(tài)軌道正比于h2，而如果普朗克常數(shù)h→0，定態(tài)軌道的半徑也就趨向于0，原子塌縮.由此可見，支撐原子穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的正是普朗克常數(shù).

3　原子

3.1由玻爾理論基本假設(shè)求玻爾半徑

在早期，量子力學(xué)的發(fā)展十分艱苦曲折，而氫原子的量子化研究作為一個(gè)突破口起到了至關(guān)重要的作用，于是便有了氫原子構(gòu)造的早期量子理論，也就是玻爾理論.

由玻爾理論的基本假設(shè)，電子以速度vn在半徑rn的穩(wěn)定軌道上作圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力由庫侖力提供，即

當(dāng)n=1時(shí)

用這種方法求出的r1是由經(jīng)典理論和量子理論結(jié)合得到的，他把電子看成經(jīng)典力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)，又有量子化的特征，是不嚴(yán)謹(jǐn)不徹底的量子論[4].而對(duì)于玻爾理論所遇到的困難，后面在波粒二象性基礎(chǔ)上建立的量子力學(xué)給出了圓滿的解釋.

3.2不確定關(guān)系求玻爾半徑

作為粗略估計(jì)，電子運(yùn)行在半徑為r的圓形軌道上，動(dòng)量為p，總能量

利用不確定關(guān)系

△p艿p，△x艿r故而有

即

基態(tài)的r應(yīng)使E取極小值，則

解出

對(duì)應(yīng)的能量極值

可以看到其中的r近似于前面我們求的r1（Bohr半徑）[5].

3.3氫原子電子運(yùn)動(dòng)的非相對(duì)論性

我們對(duì)電子電荷e，電子靜質(zhì)量m，普朗克常數(shù)h，光速c四個(gè)基本常數(shù)用量綱法作一下粗略分析，找到一個(gè)無量綱的組合，也就是通常所說的“精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)”：

具有能量量綱的特征量可以寫成

這里的Ψ（α）也是一個(gè)無量綱函數(shù)，我們?nèi)ˇ?（α）=1時(shí)，E=mec2是電子的靜能，它的數(shù)量級(jí)會(huì)遠(yuǎn)

遠(yuǎn)超出原子層次的能量.當(dāng)Ψ（α）=α2/2時(shí)

可以看出，電子的靜能要高出α2/2=2.7×105倍，所以氫原子中電子的運(yùn)動(dòng)的非相對(duì)論性.光速c沒有出現(xiàn)在aB和Ry的表達(dá)式中這一事實(shí)，也是反映出這一點(diǎn).

3.4通過氫原子基態(tài)能量的粗略算法求氦原子基態(tài)電離能

在只考慮圓軌道的情況下，對(duì)于高激發(fā)態(tài)，軌道半徑rn要乘以n2，能量要除以n2；對(duì)于重的元素，半徑要除以Z，能量要乘以Z2，即

氦原子的核電荷數(shù)為Z=2，核外有兩個(gè)電子，總能量就可以寫成

其中p1，p2分別為兩電子的動(dòng)量，r1，r2分別為兩電子到核的距離，r12為兩電子之間的距離.

這樣我們就可以認(rèn)為，能量的極小值應(yīng)發(fā)生在兩電子相對(duì)于氦核處于對(duì)稱狀態(tài)的時(shí)候，這時(shí)p1=p2≡p，r1=r2≡p，r12=r1+r2=2r，則

取極小值的條件

得

式中的E取絕對(duì)值代表剝離兩個(gè)電子所需的能量，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)電子被剝離后，剩下的是個(gè)Z=2的類氫離子，其能量為- Z2Ry，即第一個(gè)電子的電離能為

與精確值24.6eV相比，數(shù)量級(jí)是沒有問題，絕對(duì)數(shù)量是偏大了很多，由此看來，這種粗糙的求極值法只能做出一個(gè)估計(jì)，而氫原子那樣求出兩個(gè)精確的公式，可以說是非常的巧合.

原子中的能量，主要是靜電子的動(dòng)能和電勢能，按照位力定理，二者絕對(duì)值差一半，處在同一數(shù)量級(jí)上.用價(jià)電子電離能除以原子半徑時(shí)可作為價(jià)電子處電子強(qiáng)度大小的量度.對(duì)于氦原子我們可以簡單估算一下，數(shù)量級(jí)應(yīng)該在1011V/m左右，相比于現(xiàn)在的實(shí)驗(yàn)室所能達(dá)到的場強(qiáng)恐怕還要多出幾個(gè)數(shù)量級(jí).

則

由此再次說明，電子運(yùn)動(dòng)的非相對(duì)論性，基態(tài)角動(dòng)量

這也正是玻爾的量子化條件.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕朱杏芬,褚耀泉.宇宙在大尺度上是均勻的嗎[J].天文學(xué)進(jìn)展,2000,18(2):172-176.

〔2〕卡里布努爾·庫爾班,高建功.星體結(jié)構(gòu)計(jì)算中的數(shù)量級(jí)估計(jì)[N].新疆大學(xué)學(xué)報(bào)(理工版),2001(4).

〔3〕趙凱華.定性與半定量物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1991.101-116.

〔4〕莫文玲,王鳳鳴,劉濤.通過計(jì)算氫原子的波爾半徑加深對(duì)量子力學(xué)的理解[J].大學(xué)物理,2011,30 (1):36-37.

〔5〕周世勛.量子力學(xué)教程[M].北京:高等教育出版社，1979.6-7.

基金項(xiàng)目：內(nèi)蒙古自治區(qū)高等教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題 （NGJGH2013048)

中圖分類號(hào)：O4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673- 260X（2015）01- 0004- 03