深度探究一道拋物線模擬題

李 寒

(貴陽(yáng)市第一中學(xué),貴州 貴陽(yáng) 550081)

數(shù)學(xué)的精髓在于不斷探索和創(chuàng)新.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)的實(shí)施過(guò)程中,應(yīng)不斷地從中發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題,獲取有用的新信息,提出新穎觀點(diǎn),探求解決問(wèn)題的新方法,歸納得出新規(guī)律,進(jìn)而適時(shí)地將問(wèn)題延伸推廣為一般性結(jié)論用于解決相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題.唯有這樣,才能逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維品質(zhì)和探索精神,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí),從而真正把能力的培養(yǎng)落到實(shí)處.

1 試題呈現(xiàn)

題目(2023屆廣州市一模第6題)已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F在x軸上,過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),且OP⊥OQ,線段PQ的中點(diǎn)為M,則直線MF的斜率的最大值為( ).

2 試題解答

分析1 根據(jù)題設(shè)條件,設(shè)出拋物線C與直線PQ的方程,然后利用垂直關(guān)系求出拋物線C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo),再利用斜率公式建立函數(shù)關(guān)系,最后應(yīng)用均值不等式解得最值.

解法1 由題可知,拋物線C的焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上,設(shè)拋物線C的方程為y2=2px(p>0).

y2-2pty-4p=0.

y1y2=-4p.

由OP⊥OQ,得

解得p=1.

所以點(diǎn)M(t2+2,t).

顯然若直線MF的斜率最大,則必有t>0.

故選A.

分析2 根據(jù)單選題的題型特點(diǎn),利用下面拋物線的“二級(jí)結(jié)論1”,可迅速秒求p的值.

解法2見(jiàn)結(jié)論1證明之后.

3 結(jié)論推廣

思考1過(guò)拋物線作兩條互相垂直的弦,分別交拋物線于P,Q兩點(diǎn),則直線PQ具有怎樣的位置關(guān)系?經(jīng)探究,有:

結(jié)論1 過(guò)拋物線C:y2=2px(p>0)的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦,分別交拋物線于P,Q兩點(diǎn),則直線PQ必過(guò)定點(diǎn)(2p,0).

化簡(jiǎn)整理,得

2px-(y1+y2)y+y1y2=0.

由OP⊥OQ,得

解得y1y2=-4p2.

所以直線PQ的方程為

2px-(y1+y2)y-4p2=0.

令y=0,得x=2p.

所以直線PQ過(guò)定點(diǎn)(2p,0).

若直線PQ的斜率不存在,易得P(2p,2p),Q(2p,-2p),所以直線PQ仍過(guò)定點(diǎn)(2p,0).從而結(jié)論1得證.

根據(jù)結(jié)論1,我們可以給出試題的解法2了.

解法2由結(jié)論1可知2p=2,解得p=1.以下同解法1.

4 逆向探究

思考2 若對(duì)結(jié)論1進(jìn)行逆向思考,即將直線過(guò)定點(diǎn)作為題設(shè),是否能得到“垂直”關(guān)系?經(jīng)探究,于是有:

結(jié)論2 過(guò)定點(diǎn)(2p,0)的直線分別交拋物線C:y2=2px(p>0)于P,Q兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則OP⊥OQ.

故OP⊥OQ.

5 縱向探究

思考3 結(jié)論1中,OP⊥OQ中的點(diǎn)O是拋物線C上的一個(gè)特殊的定點(diǎn)(頂點(diǎn)),若把定點(diǎn)O換作拋物線C的其它位置,那么是否能夠得到與結(jié)論1同樣的結(jié)論?即直線PQ仍過(guò)定點(diǎn)呢?

結(jié)論3 過(guò)拋物線C:y2=2px(p>0)上的定點(diǎn)T(x0,y0)作兩條互相垂直的弦,分別交拋物線于P,Q兩點(diǎn),則直線PQ必過(guò)定點(diǎn)(x0+2p,-y0).

化簡(jiǎn)整理,得2px-(y1+y2)y+y1y2=0.

①

因?yàn)辄c(diǎn)T(x0,y0)在拋物線C上,

=-y0(y1+y2)-2px0-4p2.

代入①并整理,得

2p(x-x0-2p)-(y1+y2)(y+y0)=0.

可知直線PQ過(guò)定點(diǎn)(x0+2p,-y0).

若直線PQ的斜率不存在,即y2=-y1.

則直線PQ的方程為x=2p+x0.

此時(shí)顯然直線PQ也過(guò)定點(diǎn)(x0+2p,-y0).

思考4 對(duì)于結(jié)論3中,若延長(zhǎng)TP和TQ,則“TP⊥TQ”也可以理解為直線TP與直線TQ的傾斜角之差為90°,那么當(dāng)直線TP與直線TQ的傾斜角之和為90°時(shí),直線PQ是否也過(guò)定點(diǎn)呢?

結(jié)論4 過(guò)拋物線C:y2=2px(p>0)上的定點(diǎn)T(x0,y0)作傾斜角之和為90°的兩條直線,分別交拋物線C于P,Q兩點(diǎn),則直線PQ必過(guò)定點(diǎn)(x0-2p,-y0).

結(jié)論4的證明,可仿照結(jié)論3的證明過(guò)程進(jìn)行,這里從略,請(qǐng)讀者自行完成.

思考5 沿著結(jié)論4的思路,進(jìn)一步變換角度思考:當(dāng)直線TP與直線TQ的傾斜角之和為180°時(shí),直線PQ是否還過(guò)定點(diǎn)呢?有沒(méi)有其它情形呢?

結(jié)論5 已知T(x0,y0)是拋物線C:y2=2px(p>0)上的一個(gè)定點(diǎn),P,Q是拋物線C上使直線TP與直線TQ的傾斜角之和為180°的兩點(diǎn),則直線PQ的斜率為定值,即線段PQ是一組平行弦.

證明由題意可知直線TP與直線TQ均不垂直于坐標(biāo)軸,即直線TP的斜率kTP與直線TQ的斜率kTQ均存在且不為0.

因?yàn)橹本€TP與直線TQ的傾斜角之和為180°,所以kTP+kTQ=0,即kTP=-kTQ.

y2-2pty-2pty0-2px0=0.

所以y=y0(舍去)或y=2pt-y0.

因此直線PQ的斜率

故線段PQ是一組平行弦.

思考6 在結(jié)論5的基礎(chǔ)上,作一般性思考:當(dāng)直線TP與直線TQ的斜率之積為常數(shù)時(shí),直線PQ是否也能夠過(guò)定點(diǎn)呢?

化簡(jiǎn)整理,得

2px-(y1+y2)y+y1y2=0.

①

由kTP·kTQ=λ,得

因?yàn)辄c(diǎn)T(x0,y0)在拋物線C上,

代入①并整理,得

6 類比探究

思考7 橢圓、雙曲線與拋物線有許多類似的結(jié)論,能否將拋物線的結(jié)論3類比推廣到橢圓和雙曲線呢?經(jīng)探究,于是有:

結(jié)論7與結(jié)論8的證明可按結(jié)論3的證明過(guò)程進(jìn)行,這里從略,請(qǐng)讀者自行完成.

對(duì)典型模擬題的多角度探究,就是指對(duì)問(wèn)題從不同視角來(lái)審視,以不同的切入點(diǎn)探究問(wèn)題,其實(shí)質(zhì)是對(duì)試題的“二次開(kāi)發(fā)”.通過(guò)對(duì)試題的剖析和思考,展開(kāi)問(wèn)題的來(lái)龍去脈和知識(shí)間的縱橫聯(lián)系,站在一定的高度去思考問(wèn)題,突出數(shù)學(xué)本質(zhì),使知識(shí)達(dá)到融會(huì)貫通,使思維得到升華,進(jìn)而優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)[1].