再談抽象函數(shù)對(duì)稱問題的求解與拓展

侯有岐

(陜西省漢中市四○五學(xué)校,陜西 漢中 723312)

抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖象,只給出一些函數(shù)符號(hào)及其滿足條件的函數(shù),如函數(shù)的定義域、解析遞推式、特定點(diǎn)的函數(shù)值、特定的運(yùn)算性質(zhì)等.它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn),也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)銜接點(diǎn).

下面筆者以2022年高考數(shù)學(xué)全國卷中的三道抽象函數(shù)為例,先探究試題背景,然后對(duì)相關(guān)試題進(jìn)行對(duì)比研究,整理出抽象函數(shù)對(duì)稱性、奇偶性、周期性問題的一般化性質(zhì),以期拋磚引玉.

1 試題呈現(xiàn)

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

A. -21 B. -22 C. -23 D.-24

A. -3 B. -2 C. 0 D.1

這三道試題都是涉及抽象函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)之間的對(duì)稱性(軸對(duì)稱、中心對(duì)稱)和周期性的綜合題.這類問題主要考查學(xué)生數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化能力、推理運(yùn)算能力以及抽象思維能力.解決這類問題的關(guān)鍵就是要把隱蔽在抽象函數(shù)中的對(duì)稱性和周期性挖掘出來并應(yīng)用于解題過程中[1].

下面我們先來研究有關(guān)抽象函數(shù)的一般性質(zhì),為解決相關(guān)問題探尋更有效的策略.

2 性質(zhì)探究

2.1 抽象函數(shù)對(duì)稱性的幾個(gè)重要結(jié)論

事實(shí)上,根據(jù)函數(shù)圖象的概念及對(duì)稱圖形的定義,不難證明以下結(jié)論.

推論1 若函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)镽,且滿足條件:f(a+x)=f(a-x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

推論2 若函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)镽,且滿足條件:f(x)=f(2a-x)),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

可以看出,函數(shù)f(x)滿足的條件中x的系數(shù)一個(gè)為1,另一個(gè)為-1,相應(yīng)解析式的自變量相加除以2,可得y=f(x)圖象的對(duì)稱軸方程.

推論3 若函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)镽,且滿足條件:f(a+x)=f(a-x), 又若方程f(x)=0有n個(gè)根,則此n個(gè)根的和為na.

推論2若函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)镽,且滿足條件:f(a+x)+f(a-x)=0(a為常數(shù)),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

可以看出,上面的f(x)滿足的條件中x的系數(shù)一個(gè)為1,另一個(gè)為-1時(shí),函數(shù)f(x)圖象存在對(duì)稱中心.

推論1 函數(shù)y=f(x-a)與函數(shù)y=f(a-x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

推論2 函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=f(a-x)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱.

上述常用結(jié)論中四個(gè)性質(zhì)的本質(zhì)完全不同.性質(zhì)1是探討一個(gè)函數(shù)的圖象本身關(guān)于某條直線的對(duì)稱問題,即自身軸對(duì)稱問題;性質(zhì)2是探討一個(gè)函數(shù)的圖象本身關(guān)于某點(diǎn)的對(duì)稱問題,即自身中心對(duì)稱問題;性質(zhì)3是探討兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于某條直線的對(duì)稱問題,即相互軸對(duì)稱問題;性質(zhì)4是探討兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于某點(diǎn)的對(duì)稱問題,即相互中心對(duì)稱問題.解題時(shí)要注意它們的區(qū)別.

進(jìn)一步拓展問題,不難證明上述四個(gè)性質(zhì)的更一般形式:

2.2 抽象函數(shù)周期性的幾個(gè)重要結(jié)論

在以下各式中,x取其定義域內(nèi)的任意值,且a,b,T為非零常數(shù),a≠b,則不難證明如下結(jié)論:

性質(zhì)9若f(x±T)=f(x),則y=f(x)的周期為T,kT(k∈Z,k≠0)也是函數(shù)的周期.

性質(zhì)10若f(x+a)=f(x+b),則y=f(x)的周期為|b-a|.

性質(zhì)11若f(x+a)=-f(x),則y=f(x)的周期為2|a|.

推論4若f(x+a)+f(x)=c,則y=f(x)的周期為2|a|.

性質(zhì)15若f(x+2a)=f(x+a)-f(x),則y=f(x)的周期為6|a|.

2.3 抽象函數(shù)的周期性與雙對(duì)稱性間的關(guān)系

類比正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx的圖象及周期,可以猜想并證明如下結(jié)論:

性質(zhì)16 (兩線對(duì)稱型)設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a和x=b(b>a)對(duì)稱,則函數(shù)y=f(x)的周期為2(b-a).

性質(zhì)17 (兩點(diǎn)對(duì)稱型)設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),其圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)(b>a)對(duì)稱,則函數(shù)y=f(x)的周期為2(b-a).

性質(zhì)18(一線一點(diǎn)對(duì)稱型)設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a和點(diǎn)(b,0)(b>a)對(duì)稱,則函數(shù)y=f(x)的周期為4(b-a).

2.4 抽象函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的對(duì)稱性和周期性

性質(zhì)19已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域?yàn)镽.

(1)若f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則f′(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

(2)若f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,t)對(duì)稱,則f′(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱．

證明(1)若f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則f(a+x)=f(a-x).求導(dǎo)得f′(a+x)=-f′(a-x).

所以f′(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱．

(2)若f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,t)對(duì)稱,則f(a+x)+f(a-x)=2t.求導(dǎo)得f′(a+x)=f′(a-x).

即f′(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

在性質(zhì)1中,當(dāng)a=0,t=0時(shí),有如下結(jié)論:

推論已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域?yàn)镽．

(1)若f(x)關(guān)于直線x=0即y軸對(duì)稱,則導(dǎo)函數(shù)f′(x)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱.

也就是:若f(x)是偶函數(shù),則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù).

(2)若f(x)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,則導(dǎo)函數(shù)f′(x)關(guān)于直線x=0即y軸對(duì)稱.

也就是:若f(x)是奇函數(shù),則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)是偶函數(shù).

性質(zhì)20已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域?yàn)镽.若導(dǎo)函數(shù)f′(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,t)對(duì)稱.

證明若f′(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則f′(a+x)=f′(a-x).有f(a+x)+f(a-x)=2t.

即函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,t)對(duì)稱.

注意若f′(x)關(guān)于點(diǎn)(a,t)對(duì)稱,則f(a+x)+f(a-x)=2t,得f(a+x)-f(a-x)=2m,并非f(a+x)=f(a-x),即函數(shù)f(x)不一定關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

性質(zhì)21已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域?yàn)镽.若函數(shù)f(x)是周期為T的函數(shù),則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)也是周期為T的函數(shù).

證明若函數(shù)f(x)是周期為T的函數(shù),則f(x+T)=f(x),求導(dǎo)得f′(x+T)=f′(x).即導(dǎo)函數(shù)f′(x)也是周期為T的函數(shù).

注意若導(dǎo)函數(shù)f′(x)是周期為T的函數(shù),則f′(x+T)=f′(x),得f(x+T)=f(x)+m.故函數(shù)f(x)不一定是周期為T的函數(shù).

例如,函數(shù)f(x)=sinx+x,f′(x)=cosx+1,導(dǎo)函數(shù)f′(x)是周期函數(shù),但f(x)不是周期函數(shù).

2.5 復(fù)合函數(shù)的奇偶性

定義1若對(duì)于定義域內(nèi)的任一變量x,均有f[g(-x)]=f[g(x)],則復(fù)數(shù)函數(shù)y=f[g(x)]為偶函數(shù).

定義2若對(duì)于定義域內(nèi)的任一變量x,均有f[g(-x)]=-f[g(x)],則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]為奇函數(shù).

說明(1)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]為偶函數(shù),則f[g(-x)]=f[g(x)],而不是f[-g(x)]=f[g(x)];復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]為奇函數(shù),則f[g(-x)]=-f[g(x)],而不是f[-g(x)]=-f[g(x)].

(2)兩個(gè)特例:若y=f(x+a)為偶函數(shù),則f(x+a)=f(-x+a);若y=f(x+a)為奇函數(shù),則f(-x+a)=-f(x+a).

(3)y=f(x+a)為偶(或奇)函數(shù),等價(jià)于單層的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a軸對(duì)稱(或關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱).

3 試題解答

根據(jù)上述結(jié)論,不難得到上述三道試題的具體解答過程如下:

所以f(3-x)=f(x),g(4-x)=g(x).

則f(-1)=f(4),故C正確.

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x).

所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x).

若函數(shù)f(x)滿足題設(shè)條件,則函數(shù)f(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件,所以無法確定f(x)的函數(shù)值,故A錯(cuò)誤.故選BC.

點(diǎn)評(píng)解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化題干條件為抽象函數(shù)的性質(zhì),準(zhǔn)確把握原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系,準(zhǔn)確把握函數(shù)的性質(zhì)(必要時(shí)結(jié)合圖象)即可得解.

題2解析因?yàn)閥=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,所以g(2-x)=g(x+2).

因?yàn)間(x)-f(x-4)=7,

所以g(x+2)-f(x-2)=7.

即g(x+2)=7+f(x-2).

因?yàn)閒(x)+g(2-x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5.

代入得f(x)+[7+f(x-2)]=5.

即f(x)+f(x-2)=-2.

所以f(3)+f(5)+…+f(21)=(-2)×5=-10,

f(4)+f(6)+…+f(22)=(-2)×5=-10.

因?yàn)閒(x)+g(2-x)=5,所以f(0)+g(2)=5,即f(0)=1,所以f(2)=-2-f(0)=-3.

因?yàn)間(x)-f(x-4)=7,所以g(x+4)-f(x)=7.

又因?yàn)閒(x)+g(2-x)=5,聯(lián)立,得

g(2-x)+g(x+4)=12.

所以y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,6)中心對(duì)稱.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域?yàn)镽,所以g(3)=6,因?yàn)閒(x)+g(x+2)=5,所以f(1)=5-g(3)=-1.

點(diǎn)評(píng)含有對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心的問題往往條件比較隱蔽,考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化,然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.

題3解析因?yàn)閒(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令x=1,y=0可得,2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2.

令x=0可得,f(y)+f(-y)=2f(y).

即f(y)=f(-y).

所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x).

即有f(x+2)+f(x)=f(x+1).

從而可知f(x+2)=-f(x-1),

f(x-1)=-f(x-4).

故f(x+2)=f(x-4).

即f(x)=f(x+6).

所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為6．

因?yàn)閒(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1,f(5)=f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2,所以一個(gè)周期內(nèi)的f(1)+f(2)+…+f(6)=0．

點(diǎn)評(píng)首先對(duì)題目給出的抽象函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行理解,然后通過變量賦值,把抽象函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)問題,從而問題得解,這是解決抽象函數(shù)問題常用的方法之一.

高考試題對(duì)高考復(fù)習(xí)教學(xué)具有很強(qiáng)的導(dǎo)向作用.本文通過對(duì)2022年高考數(shù)學(xué)全國卷中三道抽象函數(shù)問題的研究,對(duì)抽象函數(shù)的一般性質(zhì)作了系統(tǒng)的歸納整理,從而使學(xué)生對(duì)本部分知識(shí)有了進(jìn)一步的理解.只有研究高考試題的不同解法及其相關(guān)性質(zhì),并從中挖掘高考試題的導(dǎo)向功能,才能更好地把握復(fù)習(xí)備考的方向,提高復(fù)習(xí)斜率.