兩角和與差的三角公式應(yīng)用剖析

胡貴平

(甘肅省白銀市第一中學(xué) ,甘肅 白銀 730900)

兩角和與差的三角公式,是高考中的重要知識(shí)點(diǎn)之一,主要涉及的是和與差的正弦、余弦、正切公式,同時(shí)與之相關(guān)的是能應(yīng)用公式進(jìn)行給角求值、三角函數(shù)化簡(jiǎn)、三角恒等式的證明及三角問(wèn)題的綜合應(yīng)用．

1 三角求值中的應(yīng)用

三角函數(shù)求值問(wèn)題是常見的題型,主要是能尋求角與角之間的關(guān)系,利用變角、拆角、拼角等技巧結(jié)合和角公式和差角公式,將未知化為已知,則可以達(dá)到求解的目的．

分析本題中將2α化為(α+β)+(α-β),則可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求α+β和α-β的正弦,然后利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出所需要的三角函數(shù)即可.

評(píng)注觀察題設(shè)中角之間的內(nèi)在聯(lián)系,充分利用條件和結(jié)論中的三角函數(shù)名稱的變化規(guī)律,則可尋找出變換的切入點(diǎn),同時(shí)需要注意角的范圍,才能正確確定出三角函數(shù)值[1]．

2 三角化簡(jiǎn)中的應(yīng)用

三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的主要思路有:

(1)觀察角的特點(diǎn),充分利用角之間的關(guān)系,利用已知角構(gòu)建待求角;

(2)觀察函數(shù)的特點(diǎn),如同名轉(zhuǎn)化、弦切互化等;

(4)同時(shí)還可以觀察角的特點(diǎn),從整體出發(fā),利用公式的變形則可以做到正用、逆用、轉(zhuǎn)化使用的方式求解問(wèn)題．

(1)求(b-a)·a的值;

(2)若c=(1,1),且(b+c)∥a,求a的值.

分析本題中結(jié)合向量的加法、減法和數(shù)量積運(yùn)算,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩角差的正弦和余弦公式進(jìn)行計(jì)算[2].

解析(1)由于a=(cosα,sinα),

3 公式逆向或變形的應(yīng)用

對(duì)于和角公式和差角公式,不僅僅要能正向應(yīng)用,還要會(huì)逆向和變形應(yīng)用,如

sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β),

tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).

例3(1)求值:sin32°cos28°+sin58°cos62°;

分析本題是逆向應(yīng)用兩角和的正弦公式和變形應(yīng)用兩角和的正切公式,需要注意角度要化成一致.

(2)由于tan10°+tan50°=tan60°(1-tan10°tan50°),

評(píng)注第(1)小題要從整體出發(fā),對(duì)局部進(jìn)行三角變換,利用特殊的三角函數(shù)值進(jìn)行求值;第(2)小題對(duì)于兩角和的正切公式,在平時(shí)的學(xué)習(xí)中不僅僅要學(xué)會(huì)正用,還要學(xué)會(huì)逆用．

4 輔助角公式的應(yīng)用

(1)求實(shí)數(shù)a的值;

(2)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;

分析本題要先結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求出實(shí)數(shù)a的值,第(2)問(wèn)中需要利用輔助角公式化為正弦型函數(shù),則可確定出單調(diào)區(qū)間;第(3)問(wèn)結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決．

(2)由(1)可以知道

盧瀟還針對(duì)在中美貿(mào)易摩擦環(huán)境下美國(guó)LNG對(duì)中國(guó)的影響談了自己的看法。他認(rèn)為，總體來(lái)說(shuō)，現(xiàn)階段美國(guó)LNG對(duì)中國(guó)天然氣供給影響不大，美國(guó)對(duì)中國(guó)的LNG出口量還比較小，在關(guān)稅生效前，平均每月只有2船，主要以現(xiàn)貨為主，2018年9-11月中國(guó)沒(méi)有進(jìn)口美國(guó)LNG。從成本端考慮，以12%斜率油價(jià)合同為基準(zhǔn)，以當(dāng)前10%的關(guān)稅水平，在油價(jià)66美元/桶以上時(shí)，美國(guó)LNG具有競(jìng)爭(zhēng)力；如果關(guān)稅增加到25%，則平衡油價(jià)將達(dá)到76美元/桶，如果油價(jià)在70美元/桶波動(dòng)，美國(guó)LNG存在競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)。但是，未來(lái)關(guān)稅的不確定性和政治阻力會(huì)影響中國(guó)買家的選擇，在這種背景下，中美貿(mào)易爭(zhēng)端將有利于其他國(guó)家的LNG項(xiàng)目。

評(píng)注研究三角函數(shù)的性質(zhì)時(shí),常常是先對(duì)函數(shù)運(yùn)用三角函數(shù)兩角和差的公式和二倍角公式來(lái)進(jìn)行變形,從而研究出函數(shù)的性質(zhì)．

5 三角形中的應(yīng)用

對(duì)于三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題,其主要涉及的知識(shí)點(diǎn)是正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式[3]．一般來(lái)說(shuō),與面積有關(guān)的問(wèn)題則要利用到邊角之間的互化,正弦定理和余弦定理則比較多地應(yīng)用邊角互化．

(1)求B;

(2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍．

由正弦定理,得

因?yàn)?0.

又因?yàn)锳+B+C=π,代入得3B=π.

由三角形面積公式有

評(píng)注本題研究了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí),以及對(duì)正弦定理或者余弦定理的充分使用(本題也可以用余弦定理求解)．

三角函數(shù)是特殊的函數(shù),對(duì)于和角公式與差角公式要把握變換技巧、角的變換特點(diǎn)、三角函數(shù)的求值等,選擇適合的方法,則一定能打開和差角公式的大門．