探尋有效教學路徑，深度建構(gòu)乘法模型

摘 要：自《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》頒布以來，小學數(shù)學教學新理念引發(fā)了教師們對教學的新思考，教師們越來越關(guān)注學生學習力和素養(yǎng)的發(fā)展，核心素養(yǎng)被提上了新高度.這樣的發(fā)展趨勢要求教師在小學數(shù)學教學中不斷探尋數(shù)學教學“有效路徑”，以“常見數(shù)量關(guān)系：路程=速度×時間”創(chuàng)新設(shè)計為例，以有效理解“速度”概念為支點，嘗試根據(jù)課標“模型意識”的內(nèi)涵要求，設(shè)計深度建構(gòu)乘法模型的有效路徑.

關(guān)鍵詞：有效教學；數(shù)量關(guān)系；乘法模型；模型意識

“有效教學”是指教師通過設(shè)計符合規(guī)律性的教學過程，成功引起、維持和促進學生的學習，相對有效地達到預(yù)期教學效果.針對“常見數(shù)量關(guān)系”，如何根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“課標”）對于“數(shù)量關(guān)系”領(lǐng)域 “模型意識”的新理念，設(shè)計深度建構(gòu)乘法模型的有效路徑.［1］

1 課前思考

課標中明確提出“模型意識”主要指對數(shù)學模型普適性的初步感悟.“常見的數(shù)量關(guān)系”是課標提出“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域“數(shù)量關(guān)系”主題的重要內(nèi)容，“數(shù)量關(guān)系”是指符號（包括數(shù)）

或含有符號的式子表達數(shù)量之間的關(guān)系或規(guī)律.現(xiàn)有的教材中 “常見的數(shù)量關(guān)系”直接給出速度，對于學生而言，缺乏對速度的感性認識，數(shù)量關(guān)系的抽象概括也處于模仿記憶的層面，容易忽略建立模型過程，不利于學生核心素養(yǎng)的發(fā)展.筆者嘗試對小學數(shù)學課程內(nèi)容進行創(chuàng)編，借助真實情境，引導學生有效理解“速度”的含義，探索和發(fā)現(xiàn)基本數(shù)量關(guān)系——路程=速度×時間，應(yīng)用乘法模型解決簡單的實際問題，具體教學目標如下：①在真實的情境中理解速度的意義，探索和發(fā)現(xiàn)常見的數(shù)量關(guān)系“路程=速度×時間”，能利用數(shù)量關(guān)系解決簡單的實際問題；②經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程，感悟乘法模型“路程=速度×時間”可以解決生活中的一類問題，發(fā)展模型意識；③能有理有據(jù)地表達自己的想法，體會數(shù)學與生活之間的密切聯(lián)系，感悟常見數(shù)量關(guān)系的作用和價值，感受國家交通、科技的飛速發(fā)展，增強民族自信心.

2 教學實踐

2.1 創(chuàng)設(shè)真情境，有效理解“速度”概念

2.1.1 感知與速度相關(guān)的要素

師：如圖1，老師班里有3個小朋友，都住在尚湖邊上，星期六他們從家出發(fā)，約定在龍舟基地集合，一起去健身.他們3個人中，誰走得最快？

生1：小明走得快，他用的時間最少.

生2：我覺得不一定，還要看路程的遠近.

師：比誰走得快，不光要看時間，還要看他們家離龍舟基地的遠近，就是路程.3個小朋友從家到龍舟基地的路程和時間見表1.

2.1.2 比較辨析“速度”的意義

師：看著表結(jié)合圖，你能比比誰走得快嗎？

生1：小紅和小芳直接比，用的時間相同，都是6分鐘，小紅比小芳走的路程長，小紅比小芳走得快.

師：時間相同，比路程，誰快？小紅快！

生2：小芳和小明直接比，他們的路程相同，都是300米，小明用的時間短，小明比小芳走得快.

師：路程相同，比時間，小明快.時間相同，比路程，小紅快；因此小芳最慢！那小紅和小明呢，誰快？他們走的路程不同，時間也不同，怎么比呢？

生：算出他們每分鐘走的米數(shù).

小紅：420÷6=70（米）.

小明：300÷5=60（米）.70＞60，小紅最快，小明第二.

師：420除以6是什么意思？

生：420÷6表示420米平均分成6份，求出每份70米.

師：結(jié)合圖2來看，把420米平均分成6份，算出每份是70米，也就是小紅1分鐘走70米.

……

師：通過計算每分鐘走的米數(shù)來比，同樣小芳是最慢的.看來比每分鐘走的路程，就能解決誰走得快的數(shù)學問題.

2.1.3 聯(lián)系生活感悟“速度”的本質(zhì)

師：常熟尚湖舉行環(huán)湖自行車賽，圖3是1號選手和2號選手的騎行記錄儀.根據(jù)上述信息，你能比比誰騎得快嗎？

生：2號選手騎得快.

師：你是怎么思考的？

生1：1號28千米每時，2號30千米每時.

生2： 2號快，1號選手每小時騎行28千米，2號選手每小時騎行30千米.

師：像這樣每分鐘走的米數(shù)，每小時騎的千米數(shù)，就是我們要學習的速度.比誰走得快，誰騎得快，都是比他們的速度.速度既與路程有關(guān)，又與時間有關(guān)，速度的單位我們一般寫成米/分或千米/時等.

師：圖3里還藏著一個速度，是尚湖環(huán)湖路上的限速標志，你知道表示什么意思嗎？

生：行駛速度不能超過40千米/時.

師： 40千米每時也是一個速度.在環(huán)湖跑道上要遵守交通規(guī)則，行車速度不能超過40千米/時.速度在生活中十分常見.你能選擇合適的單位填一填嗎？

師：同學們對速度的感覺越來越好了，像70米/分，25千米/時，10米/秒都是速度，你能用自己的話說說什么是速度嗎？

生1：物體一段時間里移動的路程.

生2：物體每分鐘、每秒移動的距離.

師：像這樣，每秒、每分、每時，一個單位時間內(nèi)行駛的路程叫做速度.速度不僅跟路程有關(guān)，而且跟時間有關(guān).

【設(shè)計意圖】“有效教學”理論指出，教師教學分析所學知識，要與學生的生活實踐以及個體經(jīng)驗之間相關(guān)聯(lián).創(chuàng)設(shè)“誰走得快”的真情境，聚焦決定速度的要素：路程和時間.根據(jù)表格整理信息，從中比較：同時間比路程、同路程比時間；路程、時間都不同，計算出每分鐘走的米數(shù)再比，從除法意義理解將路程平均分成若干份，求出每份多少米，即每分鐘走的米數(shù).借助幾何直觀理解“平均分”的含義，學生初步感悟速度的意義，理解速度單位的復(fù)合性.在限速標志、蘇炳添跑步速度等速度中豐富對速度的體驗，加深對速度概念的理解，在求同中概括本質(zhì)，即一個單位時間內(nèi)行駛的路程.

2.2 解決真問題，提煉“乘法模型”

師：剛才認識了速度，帶著這些經(jīng)驗，回到步道健身問題.如圖4，按3個小朋友從家到龍舟基地的速度，走8分鐘他們各走多少米？你會解決嗎？

生：70×8=560（米），50×8=400（米），60×8=480（米）.

師：你是怎么想的？

生：用小紅每分鐘走的70米×8分鐘，即可求出她8分鐘走的米數(shù).

師：結(jié)合圖來看，小紅1分鐘走的路程是70米，走了8分鐘，一共走了多少米，就是求8個70米是多少米，用乘法計算.那小芳呢？小明呢？

師：請你用數(shù)學眼光來觀察，不一樣的算式背后，有沒有相同的數(shù)量關(guān)系呢？

生：都用了路程=速度×時間的數(shù)量關(guān)系.

師：騎行記錄儀上1號選手（28千米/時）和2號選手（30千米/時）的騎行速度，請你補充1個條件，提出求路程的數(shù)學問題.

生1：①1號選手騎行速度是28千米/時，他騎2時一共行駛了多少千米？28×2=56（千米）.

②2號選手騎行速度是30千米/時，他騎2時一共行駛了多少千米？30×2=60（千米）.

生2：①1號選手騎行速度是28千米/時，騎9時一共行駛了多少千米？9×28=252（千米）.

②2號選手騎行速度是30千米/時，騎5時一共行駛了多少千米？5×30=150（千米）.

師：怎么列式解答？你是怎么想的？

生1：我用1號選手的速度×時間=騎行的路程，2號選手也是這樣.

生2：……

師：這兩位同學提出4個不同的問題，列出4個不同的乘法算式，但在解決這4個問題時，都用了哪個數(shù)量關(guān)系？

生：速度×時間=路程.

【設(shè)計意圖】“有效教學”理論與方法在目標內(nèi)涵方面，依據(jù)學習層次劃分為“模仿、獨立操作、遷移”，能將一種技能遷移到新的生活情境中，是技能教學目標達成的標志.從解決健身步道的問題，再自主補充條件求路程，對不同數(shù)學問題和乘法算式的比較，引導學生發(fā)現(xiàn)蘊含著相同的數(shù)量關(guān)系，抽象出路程數(shù)量關(guān)系為路程=速度×時間.學生能根據(jù)已知的速度求不同的路程問題，感悟在一類問題中“路程=速度×時間”乘法模型的普適性.

2.3 應(yīng)用“乘法模型”，聯(lián)想除法數(shù)量關(guān)系

師：科技發(fā)展迅速，出門使用北斗導航系統(tǒng)，記錄行駛足跡.圖5是導航記錄老師從常熟到南京出行駛軌跡，這有剛才學過的知識嗎？

生：導航里程240千米是路程，駕駛時長是時間3小時，平均速度是80千米/時.

生：這有路程、速度和時間，路程=速度×時間.

師：圖6是去上海的行駛記錄，有哪些數(shù)學信息？可以提出什么問題呢？

生：路程是120千米，時間是2小時，速度是多少千米/時？

師：你會列算式嗎？你是怎么思考的？

生：120÷2=60（千米/時）.

師：同學們真了不起！不僅根據(jù)已知條件提出問題，還根據(jù)路程、速度、時間之間的關(guān)系聯(lián)想到了第二個數(shù)量關(guān)系：速度=路程÷時間.

師：繼續(xù)來看，圖7是去杭州的足跡記錄，你能提出什么問題呢？

生：路程210千米，速度70千米/時，時間是多少小時？

師：你會解決嗎？你又想到了哪個數(shù)量關(guān)系呢？

生：210÷70=3（小時），用路程÷速度=時間.

師：真會思考！聯(lián)想到時間=路程÷速度.

師：學習數(shù)學要善于聯(lián)想，在解決自己提出的問題，由這個數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想到另外的數(shù)量關(guān)系為速度=路程÷時間、時間=路程÷速度.因此，路程、速度、時間這三個數(shù)量，只要知道其中兩個量，就可以求出第三個量.

【設(shè)計意圖】 課標中強調(diào)“模型意識”能夠促使學生認識到現(xiàn)實生活中大量的實際問題都與數(shù)學有關(guān)，有意識地用數(shù)學的概念與方法予以解釋.根據(jù)導航數(shù)據(jù)信息，學生自主提出問題，解決問題聯(lián)想“速度=路程÷時間，時間=路程÷速度”兩個除法數(shù)量關(guān)系.在應(yīng)用這三個數(shù)量關(guān)系解決問題的過程中，深化對這三個數(shù)量之間關(guān)系的理解.

3 教后反思

“常見數(shù)量關(guān)系：路程=速度×時間”創(chuàng)新設(shè)計，貼近學生的真情境，引導學生理解速度的含義，豐富對速度概念的理解，解決問題中發(fā)現(xiàn)常見數(shù)量關(guān)系，自主提出不同的問題進一步體會“模型”的價值，由乘法模型聯(lián)想除法數(shù)量關(guān)系，應(yīng)用數(shù)量關(guān)系解決實際問題，形成模型意識和應(yīng)用意識.

3.1 真情境感悟“速度”本質(zhì)

課標要求學生在具體情境中，認識常見數(shù)量關(guān)系：路程=速度×時間，能利用這一數(shù)量關(guān)系解決簡單的實際問題.［1］只記住這個數(shù)量關(guān)系并不難，更重要的是對數(shù)量關(guān)系的理解，對“速度”概念的建立變得至關(guān)重要.師生從現(xiàn)實情境中討論“誰走得快”，發(fā)現(xiàn)速度有路程和時間這兩個決定因素.利用三個小朋友從家到龍舟公園的生活場景，基于學生的真實的生活經(jīng)驗，讓學生感受到數(shù)學來源于生活，比較誰走得快，展開討論.同樣時間，比路程，路程越長的越快；同樣路程，比時間，時間越短的越快；時間不同、路程不同，需要比每分鐘走的米數(shù)（速度），就是把路程平均分成若干份，求出每份的米數(shù).由兩個層次的比較，借助幾何直觀讓抽象的速度可視化，學生在感知的基礎(chǔ)上理解，結(jié)合生活中的眾多例子感悟“速度”的本質(zhì)——單位時間內(nèi)行駛的路程.

3.2 真問題提煉“乘法”模型

課標在“教學提示”中明確，設(shè)計合適的問題情境，引導學生分析和表達情境中的數(shù)量關(guān)系，啟發(fā)學生會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，形成初步的模型意識，提升問題解決能力.在理解“速度”的概念后，創(chuàng)設(shè)“3名小朋友在健身步道上以原來的速度走8分鐘，各走了多少米？”的問題情境，學生獨立思考，交流計算結(jié)果所表示的實際意義，發(fā)現(xiàn)基本數(shù)量關(guān)系為路程=速度×時間.引導學生補充條件，提出不同求路程的實際問題，學生自主提問列式解答，對不同問題、不同乘法算式比較，發(fā)現(xiàn)都根據(jù)乘法模型來解決，運用這一模型解決一類問題，體會模型的價值.

3.3 真生活發(fā)展“模型”意識

隨著科技的發(fā)展，聚焦北斗導航系統(tǒng)回歸生活，尋找這一乘法模型，再解決出行軌跡問題，已知路程、速度，提出求時間的問題，聯(lián)想速度=路程÷時間；已知路程、時間，提出求速度的問題，聯(lián)想時間=路程÷速度，感悟常見的數(shù)量關(guān)系在生活中無處不在.在解決問題中應(yīng)用概念，溝通聯(lián)系，拓展數(shù)量關(guān)系，形成結(jié)構(gòu)，讓學生體會數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，形成初步的模型意識和應(yīng)用意識.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022．

［2］史寧中.學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學——以數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為例［J］.中小學管理，2017（1）：35-37．

［3］朱立明.從“核心概念”到“核心素養(yǎng)”——2011年版與2022年版《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》比較研究［J］.天津師范大學學報（基礎(chǔ)教育版），2022，23（3）：1-6．