表達(dá)·分析·推斷：讓數(shù)據(jù)意識(shí)從淺表過(guò)場(chǎng)走向深層感悟

戴芬

［摘 要］以“單式折線統(tǒng)計(jì)圖”教學(xué)為例，從數(shù)據(jù)表達(dá)、數(shù)據(jù)分析和數(shù)據(jù)推斷三個(gè)層面出發(fā)，讓學(xué)生感受折線統(tǒng)計(jì)圖的形成過(guò)程及功能，體會(huì)數(shù)據(jù)的價(jià)值和意義，從而形成數(shù)據(jù)意識(shí)。

［關(guān)鍵詞］數(shù)據(jù)意識(shí)；數(shù)據(jù)表達(dá)；數(shù)據(jù)分析；數(shù)據(jù)推斷

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）26-0049-04

一、課前思考

“單式折線統(tǒng)計(jì)圖”一課被認(rèn)為是相對(duì)簡(jiǎn)單易學(xué)的內(nèi)容，部分學(xué)生和教師只是將單式折線統(tǒng)計(jì)圖視為數(shù)據(jù)呈現(xiàn)和解決計(jì)算問(wèn)題的工具，缺乏對(duì)折線統(tǒng)計(jì)圖功能和作用的深刻認(rèn)識(shí)。這種淺薄的理解限制了學(xué)生數(shù)據(jù)意識(shí)的發(fā)展。

面對(duì)這種現(xiàn)狀，筆者以發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)意識(shí)為核心目標(biāo)，對(duì)“單式折線統(tǒng)計(jì)圖”一課進(jìn)行了深入探索與設(shè)計(jì)，旨在使學(xué)生能夠更好地應(yīng)對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中復(fù)雜的數(shù)據(jù)情境，形成數(shù)據(jù)思維和提升數(shù)據(jù)意識(shí)。

二、教學(xué)過(guò)程

1.關(guān)注數(shù)據(jù)表達(dá)：感受折線統(tǒng)計(jì)圖的形成過(guò)程

師：你們了解自己的身高嗎？身高的增長(zhǎng)也藏著秘密。張小楠將她在6歲到12歲期間每次過(guò)生日時(shí)測(cè)量的身高制成了一張統(tǒng)計(jì)表（見表1）。除了統(tǒng)計(jì)表外，你還有其他方法呈現(xiàn)數(shù)據(jù)嗎？

生1：條形統(tǒng)計(jì)圖。

師：圖和表都是整理數(shù)據(jù)的好方法。僅憑這幾個(gè)數(shù)據(jù)，能探索出張小楠6～12歲身高的秘密嗎？

生2：還需要更多的數(shù)據(jù)，比如張小楠每個(gè)月的身高數(shù)據(jù)。

師：如果在統(tǒng)計(jì)圖上把這么多數(shù)據(jù)畫成直條表示，會(huì)怎么樣？

生3：太煩瑣了，畫不下。

師：有什么簡(jiǎn)化的好方法呢？

生4：把直條改畫成線段或點(diǎn)。

師：是的，長(zhǎng)方形直條可以簡(jiǎn)化成線段，而線段可以簡(jiǎn)化成點(diǎn)（如圖1）。點(diǎn)的位置表示數(shù)量的多少。想象一下，6歲1個(gè)月、6歲2個(gè)月身高數(shù)據(jù)表示的點(diǎn)在哪里？6歲3個(gè)月、6歲4個(gè)月呢？這一個(gè)個(gè)點(diǎn)怎么在圖上表示出來(lái)？

生5：這些點(diǎn)在6歲身高和7歲身高表示的點(diǎn)之間，并且分布在6歲和7歲身高數(shù)據(jù)點(diǎn)連線的周圍。

師（出示圖2）：是的，一個(gè)個(gè)表示張小楠6歲多身高的數(shù)據(jù)點(diǎn)近似地在這一條線段上。那么7歲到8歲，8歲到9歲呢？每一段的線都與這一段相同嗎？

師：自己嘗試著畫一畫、連一連，并說(shuō)說(shuō)你是怎么畫的。

生6（出示圖3）：先找到年齡所對(duì)應(yīng)的身高，描上點(diǎn)，再標(biāo)上數(shù)據(jù)，最后連線。

師：在數(shù)學(xué)上，我們把像這樣表示數(shù)據(jù)的點(diǎn)用線段連接起來(lái)形成的統(tǒng)計(jì)圖叫作折線統(tǒng)計(jì)圖。

【思考：這一環(huán)節(jié)的教學(xué)立足于研究身高變化這一引人入勝的主題，旨在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過(guò)與教師和同學(xué)的交流互動(dòng)，學(xué)生將逐漸意識(shí)到“為了更好地表達(dá)數(shù)據(jù)，需要簡(jiǎn)化原有的條形統(tǒng)計(jì)圖”，從而形成積極的學(xué)習(xí)需求。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生將自主地參與各種活動(dòng)，比如簡(jiǎn)化直條、想象數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置、連線等，自然而然地構(gòu)建了折線統(tǒng)計(jì)圖的結(jié)構(gòu)。這個(gè)教學(xué)過(guò)程為發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)?！?/p>

2.立足數(shù)據(jù)分析：體會(huì)折線統(tǒng)計(jì)圖的功能

師：下面我們就用折線統(tǒng)計(jì)圖來(lái)探索身高的秘密。

師：觀察折線統(tǒng)計(jì)圖，張小楠6～12歲身高是怎樣變化的？可以算一算、比一比、畫一畫。

生1：張小楠6～12歲一直在長(zhǎng)高，從116厘米長(zhǎng)到了144厘米。

師：確實(shí)，從統(tǒng)計(jì)圖中的折線就能一眼看出張小楠的身高整體是在不斷上升的。

生2：張小楠6～12歲一共長(zhǎng)高了28厘米。

師：你怎么知道的？

生2：用12歲的144厘米減去6歲的116厘米。

師：原來(lái)你是找到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)算出身高的變化值，真會(huì)思考。

生3：我發(fā)現(xiàn)張小楠在10～11歲這個(gè)階段長(zhǎng)高的速度最快。

師：你是怎么想的？

生3：通過(guò)計(jì)算每?jī)蓚€(gè)年齡之間的身高差，我發(fā)現(xiàn)10～11歲長(zhǎng)高了9厘米，是增長(zhǎng)速度最快的。

師：算出每?jī)牲c(diǎn)的身高差后比較出了各年齡段增長(zhǎng)的快慢，用數(shù)據(jù)說(shuō)話很有道理。

生4：折線圖中，10～11歲這一條身高線段比較長(zhǎng)，傾斜程度比其他年齡段的線段要陡很多。而6～7歲只長(zhǎng)高了2厘米，這一段線段就比較平緩。

師：你對(duì)折線統(tǒng)計(jì)圖觀察得真仔細(xì)，傾斜程度越大，變化越快；傾斜程度越小，變化越慢。根據(jù)折線上線段的起伏就能看出局部變化的快慢。

師：這張統(tǒng)計(jì)圖上的數(shù)據(jù)是截止到2020年2月張小楠12歲的身高。現(xiàn)在是2023年，張小楠15歲的身高可能是多少厘米？

生5：我們小組預(yù)測(cè)張小楠15歲的身高大約是158厘米。根據(jù)6～12歲一共長(zhǎng)高了28厘米，我們先算出平均每年身高增長(zhǎng)的數(shù)據(jù)，得出再過(guò)三年大約能長(zhǎng)高14厘米，2020年2月的身高加上14厘米的就是張小楠2023年的身高，為158厘米。

師：根據(jù)每年的身高數(shù)據(jù)算出平均增長(zhǎng)的身高后進(jìn)行預(yù)測(cè)，確實(shí)是不錯(cuò)的方法。

生6：我們小組預(yù)測(cè)張小楠15歲的身高大約是165厘米。因?yàn)檠芯勘砻鳎?2～15歲是人的生長(zhǎng)發(fā)育期，我們?cè)谡劬€統(tǒng)計(jì)圖上選取了8～11歲身高增長(zhǎng)幅度最大的這一段，變化值是20厘米，所以我們預(yù)測(cè)張小楠15歲的身高大約是165厘米。

師：聯(lián)系生長(zhǎng)發(fā)育規(guī)律來(lái)選取折線統(tǒng)計(jì)圖上的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)增長(zhǎng)趨勢(shì)，不錯(cuò)的想法。

師：大家預(yù)測(cè)的都有一定的道理。回顧剛才的過(guò)程，對(duì)比條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖中所呈現(xiàn)的張小楠身高數(shù)據(jù)的情況，想一想，這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生7：條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖都能表示身高的數(shù)據(jù)。

生8：從條形統(tǒng)計(jì)圖中能清楚看出身高的數(shù)據(jù)，直接反映數(shù)據(jù)的大小。

生9：折線統(tǒng)計(jì)圖能清楚地呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的整體變化趨勢(shì)。

生10：通過(guò)折線統(tǒng)計(jì)圖呈現(xiàn)的趨勢(shì)，可以預(yù)測(cè)未給出的數(shù)據(jù)。

師：同學(xué)們對(duì)統(tǒng)計(jì)圖的了解越來(lái)越深刻了。確實(shí)，我們要根據(jù)需要選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖。

【思考：這一環(huán)節(jié)的教學(xué)從數(shù)據(jù)分析這個(gè)視角出發(fā)，主要分為兩個(gè)層次。第一層次主要是讓學(xué)生通過(guò)觀察折線統(tǒng)計(jì)圖的結(jié)構(gòu)、計(jì)算數(shù)據(jù)、比較折線的傾斜程度、討論發(fā)現(xiàn)等活動(dòng)，讓學(xué)生從整體和局部?jī)蓚€(gè)層面去認(rèn)識(shí)和理解折線統(tǒng)計(jì)圖不僅能表達(dá)數(shù)據(jù)的多少，也具有反映一組數(shù)據(jù)的變化情況這一顯性功能；第二層次是通過(guò)預(yù)測(cè)身高這一開放性的活動(dòng)激活學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和思維，使學(xué)生自主地利用折線統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行合理分析，進(jìn)而體會(huì)到折線統(tǒng)計(jì)圖作為表達(dá)數(shù)據(jù)的工具不僅易于顯示數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)，還具有預(yù)測(cè)未來(lái)發(fā)展變化的隱性功能。至此，學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的認(rèn)識(shí)得到進(jìn)一步發(fā)展?！?/p>

3.基于數(shù)據(jù)推斷：讓沉默的數(shù)據(jù)會(huì)“說(shuō)話”

師（出示圖4）：2022年9月新冠疫情期間，某位病人某天7：00～23：00時(shí)的體溫變化情況如圖所示。從圖中你能得到什么信息？

生1：從橫軸上可以看出是每隔2小時(shí)測(cè)量一次體溫。

生2：7：00～13：00，病人的體溫處于上升狀態(tài)；13：00～19：00，病人的體溫處于下降狀態(tài)；19：00～23：00，病人的體溫趨于平穩(wěn)。

師：你們觀察得真仔細(xì)，發(fā)現(xiàn)測(cè)量體溫的間隔時(shí)間，并按時(shí)間順序給大家詳細(xì)介紹了病人體溫的整體變化情況。

生3：7：00～13：00，病人的體溫一直在上升，尤其是11：00～13：00這個(gè)時(shí)間段，體溫上升得最快。我想這病人這個(gè)時(shí)候一定很難受。

師：能從體溫?cái)?shù)據(jù)的變化中推理病人病情，你很貼心。

生4：從13：00開始，病人的體溫開始下降。我猜測(cè)醫(yī)生可能讓病人服用了藥物。

師：根據(jù)體溫?cái)?shù)據(jù)的下降趨勢(shì)，推測(cè)出病人好轉(zhuǎn)的原因。你真會(huì)思考。

生5：據(jù)研究表明，感染新冠病毒后，身體會(huì)反復(fù)發(fā)熱，所以我推測(cè)病人第二天發(fā)熱的時(shí)間可能也是在7：00，在13：00時(shí)體溫會(huì)達(dá)到高峰。

師：能結(jié)合數(shù)據(jù)、變化趨勢(shì)和病情對(duì)第二天的情況做出合理推測(cè)，你很細(xì)心。像這樣根據(jù)監(jiān)測(cè)的數(shù)據(jù)進(jìn)行合理分析，醫(yī)生能夠結(jié)合預(yù)測(cè)結(jié)果采取針對(duì)性的措施。

【思考：數(shù)據(jù)意識(shí)的發(fā)展有賴于真實(shí)情境中對(duì)數(shù)據(jù)的分析以及學(xué)生積極的數(shù)學(xué)思考。通過(guò)直接呈現(xiàn)新冠病人體溫變化的折線統(tǒng)計(jì)圖讓學(xué)生進(jìn)行多角度分析和思考，學(xué)生能獲得更為廣闊的思考空間。同時(shí)，也有利于教師精準(zhǔn)地對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況進(jìn)行監(jiān)控和調(diào)節(jié)。在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生不僅能利用折線統(tǒng)計(jì)圖從整體和局部上分析和把握數(shù)據(jù)代表的意義和數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)，同時(shí)也能在探索未知的過(guò)程中有理有據(jù)地結(jié)合折線統(tǒng)計(jì)圖及相關(guān)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行合理地分析和推斷。】

三、教學(xué)反思

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)了“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域教學(xué)的重要性，特別強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)。在本節(jié)課的教學(xué)中，筆者秉承課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)理念，從數(shù)據(jù)表達(dá)、數(shù)據(jù)分析和數(shù)據(jù)應(yīng)用三個(gè)角度出發(fā)，深入探討如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)。學(xué)生在感受折線統(tǒng)計(jì)圖的形成—體會(huì)折線統(tǒng)計(jì)圖的功能—基于數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)單推斷的過(guò)程中，不斷感悟數(shù)據(jù)的意義和價(jià)值，從而形成數(shù)據(jù)意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

1.從“簡(jiǎn)單繪制”到“理解構(gòu)造”，提高數(shù)據(jù)表達(dá)能力

在以往的“單式折線統(tǒng)計(jì)圖”教學(xué)中，教師通常是直接呈現(xiàn)單式折線統(tǒng)計(jì)圖，要求學(xué)生通過(guò)描點(diǎn)和連線的方式來(lái)繪制折線統(tǒng)計(jì)圖。這種教學(xué)方式僅是教學(xué)了折線統(tǒng)計(jì)圖的繪制方法，并沒有引發(fā)學(xué)生使用折線統(tǒng)計(jì)圖表達(dá)數(shù)據(jù)的需求，也未能讓學(xué)生深刻理解折線統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)?；诖?，筆者考慮到學(xué)生在四年級(jí)已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)表和條形統(tǒng)計(jì)圖的知識(shí)，因此本課采用了兩個(gè)層次的教學(xué)方法來(lái)幫助學(xué)生理解折線統(tǒng)計(jì)圖的構(gòu)造并感受使用折線圖表達(dá)數(shù)據(jù)的必要性。第一個(gè)層次，先讓學(xué)生用條形統(tǒng)計(jì)圖呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，再啟發(fā)學(xué)生思考“如何將更多的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)在條形統(tǒng)計(jì)圖上”和“如何對(duì)直條進(jìn)行簡(jiǎn)化”，讓學(xué)生產(chǎn)生將直條簡(jiǎn)化成線和點(diǎn)的需要。第二個(gè)層次，讓學(xué)生經(jīng)歷估計(jì)“探究6歲零1個(gè)月、6歲零2個(gè)月……的身高點(diǎn)的位置”以及自主“描點(diǎn)和連線”的過(guò)程，從而深刻理解了使用折線圖表達(dá)連續(xù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。通過(guò)這兩個(gè)層次的教學(xué)，學(xué)生不僅能更好地理解折線統(tǒng)計(jì)圖的產(chǎn)生過(guò)程及應(yīng)用方法，也意識(shí)到當(dāng)數(shù)據(jù)隨時(shí)間變化時(shí)，使用折線統(tǒng)計(jì)圖呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的必要性。在后續(xù)的教學(xué)中，筆者還安排了讓學(xué)生“對(duì)比折線統(tǒng)計(jì)圖與條形統(tǒng)計(jì)圖”的教學(xué)環(huán)節(jié)，以提高他們根據(jù)問(wèn)題背景和數(shù)據(jù)特點(diǎn)選擇合適圖表來(lái)表達(dá)數(shù)據(jù)的能力。

2.從“讀取數(shù)據(jù)”到“體會(huì)功能”，發(fā)展數(shù)據(jù)分析能力

對(duì)于五年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，從折線統(tǒng)計(jì)圖中讀取數(shù)據(jù)并不困難，但重要的是如何讓學(xué)生借助折線統(tǒng)計(jì)圖來(lái)理解數(shù)據(jù)的意義以及體驗(yàn)折線統(tǒng)計(jì)圖的功能。因此，筆者特意設(shè)計(jì)了兩個(gè)核心問(wèn)題“張小楠6～12歲身高是怎樣變化的”和“預(yù)測(cè)2023年張小楠15歲時(shí)的身高”，以此激發(fā)學(xué)生主動(dòng)使用折線統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和思考。在解決“張小楠6～12歲身高是怎樣變化的”這一問(wèn)題時(shí)，學(xué)生在交流中逐步理解數(shù)據(jù)的意義，并體驗(yàn)到折線統(tǒng)計(jì)圖可以直觀呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的整體趨勢(shì)和局部變化的功能。在“預(yù)測(cè)2023年張小楠15歲時(shí)的身高”的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生在使用折線統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)進(jìn)行主動(dòng)分析并給出了各種精彩的方法。這個(gè)數(shù)據(jù)分析過(guò)程，不僅使學(xué)生更深刻地理解了數(shù)據(jù)的意義和折線統(tǒng)計(jì)圖的價(jià)值，還培養(yǎng)了他們分析數(shù)據(jù)的能力。

3.從“問(wèn)題解決”到“數(shù)據(jù)推斷”，提高數(shù)據(jù)應(yīng)用能力

發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)，不僅可以讓學(xué)生基于數(shù)據(jù)分析來(lái)解決真實(shí)情境中的問(wèn)題，還能讓學(xué)生基于數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)單推斷。在教學(xué)中，教師應(yīng)該創(chuàng)造真實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察數(shù)據(jù)后進(jìn)行多維度的分析，從關(guān)注“數(shù)據(jù)本身能夠說(shuō)明什么”逐步過(guò)渡到“基于數(shù)據(jù)進(jìn)行有意義的推斷”的數(shù)據(jù)應(yīng)用，逐步提高學(xué)生從數(shù)據(jù)中獲取信息進(jìn)行推斷和決策的應(yīng)用能力。在上述教學(xué)案例中，筆者出示了反映病人體溫變化情況的折線統(tǒng)計(jì)圖，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自主觀察和分析。學(xué)生不僅可以從整體和局部分析數(shù)據(jù)的變化，還可以基于數(shù)據(jù)及其變化趨勢(shì)進(jìn)行推斷和決策。這個(gè)基于數(shù)據(jù)推斷的過(guò)程使學(xué)生自主地將數(shù)據(jù)顯性呈現(xiàn)的內(nèi)容與數(shù)據(jù)背后的結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，同時(shí)也讓他們認(rèn)識(shí)到數(shù)據(jù)所包含的豐富信息，強(qiáng)調(diào)了數(shù)據(jù)的意義和價(jià)值。這樣的教學(xué)，鼓勵(lì)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)據(jù)表達(dá)的習(xí)慣；讓學(xué)生感知了統(tǒng)計(jì)推理的價(jià)值，提高了數(shù)據(jù)應(yīng)用能力。

（責(zé)編 金 鈴）