默會(huì)知識(shí)視域下小學(xué)數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖教學(xué)探究

張燁棟

［摘 要］默會(huì)知識(shí)是一種經(jīng)常使用卻沒(méi)法通過(guò)語(yǔ)言、文字、符號(hào)予以清晰表達(dá)或直接傳遞的知識(shí)，小學(xué)數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖教學(xué)內(nèi)容需要認(rèn)知、實(shí)踐、情感三大維度的默會(huì)知識(shí)提供程序、遷移、方向的支撐。學(xué)生在尺規(guī)作圖時(shí)需要默會(huì)知識(shí)引領(lǐng)，而尺規(guī)作圖也是培育默會(huì)知識(shí)、提升核心素養(yǎng)的重要途徑，即通過(guò)核心問(wèn)題激活學(xué)生認(rèn)知，通過(guò)關(guān)鍵活動(dòng)積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)感悟反思豐盈情感。

［關(guān)鍵詞］核心素養(yǎng)；默會(huì)知識(shí)；尺規(guī)作圖

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）26-0091-03

縱觀小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的關(guān)鍵詞從“雙基”到“三維目標(biāo)”再到“核心素養(yǎng)”的演變，課標(biāo)目標(biāo)始終在從“知識(shí)技能”向“知識(shí)見(jiàn)識(shí)（智慧）”持續(xù)變化，課程的要求從“學(xué)會(huì)”向“會(huì)學(xué)”轉(zhuǎn)變，課程的導(dǎo)向不斷在強(qiáng)調(diào)動(dòng)手實(shí)踐等學(xué)習(xí)方式的重要性。尺規(guī)作圖作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》）新增的教學(xué)內(nèi)容，它不僅豐富了知識(shí)的表征方式，還原了知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程，應(yīng)用了知識(shí)的基本原理，還為抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化、可視化創(chuàng)造了條件，成為促進(jìn)學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)知識(shí)的一條重要路徑。但尺規(guī)作圖具有很強(qiáng)的“默會(huì)性”，需要默會(huì)知識(shí)的支撐，對(duì)教師和學(xué)生都有一定的挑戰(zhàn)性。基于此，筆者以“作等長(zhǎng)線段”“畫(huà)三角形”“三角形三邊關(guān)系”三個(gè)尺規(guī)作圖內(nèi)容為例，對(duì)默會(huì)知識(shí)視域下小學(xué)數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖教學(xué)進(jìn)行探究。

一、厘清：默會(huì)知識(shí)和尺規(guī)作圖的內(nèi)涵

1.默會(huì)知識(shí)的內(nèi)涵及特征

默會(huì)知識(shí)最早由波蘭尼提出，他認(rèn)為人類(lèi)知識(shí)分為顯性知識(shí)（明確知識(shí)）和默會(huì)知識(shí)（隱性知識(shí)、緘默知識(shí)）兩類(lèi)。前者指的是能用語(yǔ)言、符號(hào)加以表述的知識(shí)，后者指的是不能被表述出來(lái)的知識(shí)。任何認(rèn)知活動(dòng)都根植于默會(huì)知識(shí)，顯性知識(shí)的獲得也依賴(lài)于個(gè)體的“默會(huì)能力”。有研究者指出人類(lèi)知識(shí)大部分屬于默會(huì)知識(shí)，它對(duì)行為支配和實(shí)踐結(jié)果有決定性作用。默會(huì)知識(shí)具有情境性、個(gè)人性、實(shí)踐性和不可言傳性的特征。

因此，默會(huì)知識(shí)與個(gè)體的認(rèn)知、實(shí)踐和情感有密切關(guān)系，它對(duì)個(gè)體的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用。學(xué)生對(duì)知識(shí)的真正理解本質(zhì)上就是一種“默會(huì)認(rèn)識(shí)”，對(duì)默會(huì)知識(shí)的培養(yǎng)具有非常重要的意義。

2.小學(xué)數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖的詮釋

尺規(guī)作圖是幾何作圖的重要內(nèi)容，它是指用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖。教師引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)任務(wù)的引領(lǐng)下利用直尺和圓規(guī)通過(guò)操作、觀察、探究來(lái)發(fā)現(xiàn)及論證數(shù)學(xué)知識(shí)、建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、探索數(shù)學(xué)規(guī)律和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)既是操作的工具，也是數(shù)學(xué)思維的工具模型。從學(xué)習(xí)方式上看，尺規(guī)作圖能將數(shù)學(xué)上原本抽象、乏味的符號(hào)知識(shí)直觀化，讓學(xué)生具身參與操作，有助于學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和推理意識(shí)。從文化視角上看，尺規(guī)作圖背后蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)理性精神、數(shù)學(xué)美學(xué)等豐富的文化要素。

在對(duì)默會(huì)知識(shí)的內(nèi)涵特征和小學(xué)數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖的詮釋中不難看出：默會(huì)知識(shí)和小學(xué)數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖有著重要聯(lián)系，學(xué)生在尺規(guī)作圖時(shí)需要默會(huì)知識(shí)支撐，而尺規(guī)作圖也是培育默會(huì)知識(shí)、提升核心素養(yǎng)的有效途徑。

二、審視：默會(huì)知識(shí)支撐尺規(guī)作圖

結(jié)合默會(huì)知識(shí)與尺規(guī)作圖的內(nèi)涵意義及教學(xué)實(shí)踐，筆者發(fā)現(xiàn)默會(huì)知識(shí)能支撐學(xué)生在尺規(guī)作圖的實(shí)際情境中完成對(duì)應(yīng)任務(wù)。尺規(guī)作圖需要默會(huì)知識(shí)的支撐，主要原因可歸結(jié)為以下三個(gè)方面。

1.認(rèn)知維度默會(huì)知識(shí)，提供程序支撐

認(rèn)知維度的默會(huì)知識(shí)是顯性知識(shí)獲得的基礎(chǔ)，它對(duì)個(gè)體的行為有重要影響，在尺規(guī)作圖中主要表現(xiàn)為：作圖的直覺(jué)方法、工具的合理利用、結(jié)論的嚴(yán)謹(jǐn)推演等。雖然個(gè)體難以發(fā)現(xiàn)自身的認(rèn)知模式，但認(rèn)知模式對(duì)個(gè)體的行為卻有重要影響。如通過(guò)作圖認(rèn)識(shí)三角形的周長(zhǎng)，認(rèn)知維度的默會(huì)知識(shí)能幫助學(xué)生明確三角形各邊長(zhǎng)與周長(zhǎng)的關(guān)系，學(xué)生能生成將三角形周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成一維線段長(zhǎng)度之和的直覺(jué)，進(jìn)而獲得合理利用直尺和圓規(guī)將三角形三條邊畫(huà)到一條直線上的探究方案，從中進(jìn)一步感悟知識(shí)的本質(zhì)。

2.實(shí)踐維度默會(huì)知識(shí)，提供遷移支撐

實(shí)踐維度的默會(huì)知識(shí)與問(wèn)題解決有著重要聯(lián)系，它能助推個(gè)體在具體情境中順利解決問(wèn)題，屬于默會(huì)知識(shí)領(lǐng)域中的技能。實(shí)踐維度的默會(huì)知識(shí)往往依附于個(gè)體，隨著個(gè)體認(rèn)知的提升而提升，需要個(gè)體在實(shí)踐中不斷積累，進(jìn)而遷移到新的任務(wù)中。尺規(guī)作圖是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下運(yùn)用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)，在手腦相協(xié)同的過(guò)程中，通過(guò)動(dòng)手操作來(lái)體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、感悟數(shù)學(xué)思想、發(fā)展核心素養(yǎng)的學(xué)習(xí)方式，具有很強(qiáng)的實(shí)踐性和遷移性。比如學(xué)生在利用尺規(guī)作等長(zhǎng)線段的過(guò)程中獲得的方法和技能就屬于實(shí)踐維度的默會(huì)知識(shí)，當(dāng)學(xué)生遇到利用尺規(guī)作圖將三角形三邊畫(huà)到一條直線上的問(wèn)題時(shí)，就能將此默會(huì)知識(shí)遷移過(guò)來(lái)應(yīng)對(duì)。

3.情感維度默會(huì)知識(shí)，提供方向支撐

情感維度的默會(huì)知識(shí)主要是指?jìng)€(gè)體在無(wú)意識(shí)情況下調(diào)節(jié)或轉(zhuǎn)變個(gè)人情感態(tài)度的默會(huì)知識(shí)。研究表明，學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程與其情感密切相關(guān)，認(rèn)知內(nèi)容、方式方法等都受到情感維度的默會(huì)知識(shí)的影響。情感維度的默會(huì)知識(shí)能引領(lǐng)自身向積極的方向前進(jìn)。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程第三學(xué)段尺規(guī)作圖在教學(xué)提示中指出“要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷基于給定線段用直尺和圓規(guī)畫(huà)三角形的過(guò)程”，這個(gè)任務(wù)中三角形第三個(gè)頂點(diǎn)的確定比較困難，但情感維度的默會(huì)知識(shí)豐富的學(xué)生能在不斷嘗試、試錯(cuò)、調(diào)整中向積極的方向前行，最終探究出作圖方法、掌握作圖原理。

三、探尋：默會(huì)知識(shí)視域下尺規(guī)作圖教學(xué)的路徑

基于以上各維度默會(huì)知識(shí)對(duì)尺規(guī)作圖的支撐分析及筆者對(duì)尺規(guī)作圖的教學(xué)實(shí)踐，在默會(huì)知識(shí)視域下尺規(guī)作圖教學(xué)可以從以下三方面入手。

1.選定原點(diǎn)：提煉核心問(wèn)題，激活認(rèn)知維度默會(huì)知識(shí)

核心問(wèn)題是一節(jié)課中最重要的問(wèn)題，相對(duì)而言也是大問(wèn)題，它是課堂的主線，是引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”都圍繞核心問(wèn)題的解決而展開(kāi)。核心問(wèn)題不僅能串聯(lián)和銜接課堂教學(xué)，而且直指數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，能促進(jìn)學(xué)生從概念表層向數(shù)學(xué)本質(zhì)深入，從而逐步理解所學(xué)知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在高觀點(diǎn)統(tǒng)領(lǐng)下審視尺規(guī)作圖的內(nèi)容，提煉統(tǒng)攝性、內(nèi)核性的核心問(wèn)題，把零散的知識(shí)、技能串聯(lián)起來(lái)，可以有效激活學(xué)生認(rèn)知維度的默會(huì)知識(shí)。

（1）梳理情境脈絡(luò)，確定思維起始點(diǎn)

默會(huì)知識(shí)具有情境性的特征。波蘭尼認(rèn)為感知是從整體上對(duì)線索的把握，任何認(rèn)識(shí)活動(dòng)人們都需要注意到認(rèn)識(shí)的整體情境，默會(huì)知識(shí)需要在情境中獲得，個(gè)體默會(huì)知識(shí)也需要在具體情境中被激活。雖然教材將數(shù)學(xué)知識(shí)按學(xué)段分散編排，但數(shù)學(xué)知識(shí)具有結(jié)構(gòu)化、連貫性和整體性的特點(diǎn)，教師教學(xué)之前應(yīng)該確定知識(shí)的起點(diǎn)，從整體把握教學(xué)方向。比如，《課程標(biāo)準(zhǔn)》把“認(rèn)識(shí)三角形和四邊形，會(huì)根據(jù)圖形特征對(duì)三角形和四邊形進(jìn)行分類(lèi)”安排在第二學(xué)段，把“知道三角形任意兩邊之和大于第三邊”安排在第三學(xué)段，在相應(yīng)單元分別增加了有關(guān)尺規(guī)作圖的內(nèi)容。默會(huì)知識(shí)的特征要求教師要對(duì)知識(shí)脈絡(luò)進(jìn)行整體梳理，確定學(xué)生思維的起點(diǎn)，進(jìn)而提煉核心問(wèn)題。這樣，能充分激活學(xué)生認(rèn)知維度的默會(huì)知識(shí)，幫助學(xué)生溝通知識(shí)的來(lái)龍去脈，建立知識(shí)間的聯(lián)系。

（2）立足學(xué)科本質(zhì)，確定思維進(jìn)階點(diǎn)

學(xué)科本質(zhì)指某個(gè)教學(xué)主題中最原始、樸素、根本的觀念、思想和方法。數(shù)學(xué)教材是以“明線”的方式呈現(xiàn)知識(shí)，而數(shù)學(xué)本質(zhì)則以“暗線”的方式隱藏其中。教師教學(xué)時(shí)要找準(zhǔn)隱藏其間的“暗線”，把握其中的數(shù)學(xué)要素。尺規(guī)作圖不僅是一種操作的過(guò)程，更是數(shù)學(xué)思維直觀體現(xiàn)的過(guò)程，是聯(lián)系、重構(gòu)、內(nèi)化知識(shí)的過(guò)程，它是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、推理意識(shí)和數(shù)學(xué)品格的重要渠道。立足學(xué)科本質(zhì)確立的核心問(wèn)題往往具有內(nèi)核性，能引導(dǎo)學(xué)生深入探究知識(shí)的內(nèi)涵意義及背后的思想方法，激勵(lì)學(xué)生深入思考、深度體驗(yàn)、深刻建構(gòu)，促使學(xué)生思維及對(duì)知識(shí)理解的進(jìn)階。

2.緊扣重點(diǎn)：巧設(shè)關(guān)鍵活動(dòng)，積累實(shí)踐維度默會(huì)知識(shí)

默會(huì)知識(shí)具有實(shí)踐性的特征，實(shí)踐維度的默會(huì)知識(shí)需要個(gè)體在不斷的實(shí)踐中積累。教師要讓學(xué)生通過(guò)觀察、操作、歸納、類(lèi)比、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索性和挑戰(zhàn)性，在實(shí)踐中感受到數(shù)學(xué)思考的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。這些數(shù)學(xué)活動(dòng)有助于學(xué)生實(shí)踐維度的默會(huì)知識(shí)的積累，能促進(jìn)學(xué)生思路與思維的銜接、直觀向抽象的跨越、學(xué)知向創(chuàng)造的轉(zhuǎn)化。

（1）恰當(dāng)?shù)幕顒?dòng)方式，促思路與思維銜接

恰當(dāng)?shù)幕顒?dòng)方式能引導(dǎo)學(xué)生在探究中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)涵的“再發(fā)現(xiàn)”，促進(jìn)學(xué)生思路與思維的高效銜接。學(xué)生除了要掌握作圖技能，還要從中理解數(shù)學(xué)概念、探索規(guī)律、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、厘清思維路徑。因此，在尺規(guī)作圖教學(xué)中教師要選擇恰當(dāng)?shù)幕顒?dòng)方式，使學(xué)生在思路與思維的銜接中積累實(shí)踐維度的默會(huì)知識(shí)。比如，在“作等長(zhǎng)線段”的尺規(guī)作圖教學(xué)中，不能讓學(xué)生死記硬背作圖步驟或跟著教師亦步亦趨，而要鼓勵(lì)學(xué)生在不斷嘗試的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、及時(shí)調(diào)整，從中形成對(duì)圖形的感知，體會(huì)兩點(diǎn)確定一條線段的意義，在初步學(xué)會(huì)使用圓規(guī)的同時(shí)，感受尺規(guī)作圖的奇妙與趣味。

（2）合理的活動(dòng)層次，促直觀向抽象躍遷

合理的活動(dòng)層次能幫助學(xué)生在抽象概念的具體感知中獲得“再發(fā)現(xiàn)”，促進(jìn)學(xué)生由直觀向抽象有效躍遷。小學(xué)階段加入尺規(guī)作圖的重要意義是讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，但小學(xué)階段的幾何內(nèi)容以描述性的直觀幾何為主。因此，在進(jìn)行尺規(guī)作圖教學(xué)時(shí)，活動(dòng)的層次尤為關(guān)鍵。筆者在“作等長(zhǎng)線段”的教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)了三個(gè)層次的關(guān)鍵活動(dòng)：①作一條線段等于已知線段。②比一比哪個(gè)圖形周長(zhǎng)更長(zhǎng)。③找一找“寶物”在哪里。學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中喚醒了原有認(rèn)知，感受到了兩點(diǎn)確定一條線段的意義；在“作比較”的過(guò)程中體悟到了線段的可加性；在找一找的過(guò)程中進(jìn)行深度思考……既為后續(xù)畫(huà)三角形做鋪墊，也明白了所運(yùn)用到的尺規(guī)作圖的原理。三個(gè)關(guān)鍵活動(dòng)層層遞進(jìn)，學(xué)生在動(dòng)手和動(dòng)腦的過(guò)程中思維不斷由直觀向抽象跨越，實(shí)踐維度的默會(huì)知識(shí)也得到不斷豐富。

（3）完整的探究過(guò)程，促學(xué)知向創(chuàng)造轉(zhuǎn)化

完整的探究過(guò)程能促使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的一般過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)中常用的思想方法，深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生由學(xué)習(xí)知識(shí)向創(chuàng)造知識(shí)轉(zhuǎn)化。比如，筆者在教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”時(shí)，先讓學(xué)生對(duì)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行合理猜想，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)圓規(guī)和直尺進(jìn)行驗(yàn)證，最后組織學(xué)生交流表達(dá)驗(yàn)證的方法及過(guò)程。在合理猜想、動(dòng)手實(shí)踐、驗(yàn)證猜想、歸納說(shuō)理的完整探究過(guò)程中，學(xué)生深刻理解三角形的三邊關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)探究常用的方法，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知從概念表層向數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)階，學(xué)生的推理意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)得以發(fā)展。

3.架構(gòu)支點(diǎn)：適時(shí)感悟反思，豐盈情感維度默會(huì)知識(shí)

默會(huì)知識(shí)具有不可言傳性的特征，造成默會(huì)知識(shí)不可言傳的根本原因在于默會(huì)知識(shí)是一種身心合一的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，是一種整體的活動(dòng)。默會(huì)知識(shí)的不可言傳性并不是指不能談?wù)?，它是可以通過(guò)實(shí)踐、體驗(yàn)、感悟被傳遞和獲得的。因此，適時(shí)的感悟反思有助于豐盈學(xué)生情感維度的默會(huì)知識(shí)。感悟反思不是對(duì)尺規(guī)作圖的過(guò)程進(jìn)行籠統(tǒng)而簡(jiǎn)單的回顧，而是要對(duì)尺規(guī)作圖過(guò)程中關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)進(jìn)行具體回顧及結(jié)構(gòu)上的整體反思；不僅要感悟?qū)W會(huì)了怎樣的知識(shí)，還要從怎樣學(xué)會(huì)的反思中感悟數(shù)學(xué)思想；不僅要感悟取得了哪些成功發(fā)現(xiàn)，也要反思實(shí)踐過(guò)程中的錯(cuò)誤、挫折及其調(diào)整的方法，從中體驗(yàn)積極的情感態(tài)度，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供研究方向的支撐。比如，筆者在“作三角形”的尺規(guī)作圖教學(xué)時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生能想到利用之前學(xué)過(guò)的知識(shí)將其中一條線段作為三角形的一條邊，但對(duì)于如何把另外兩條線段的端點(diǎn)連接起來(lái)得到三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)有不小困難。教師要鼓勵(lì)學(xué)生把作圖過(guò)程中的困惑和感受表達(dá)出來(lái)，在表達(dá)交流中培育學(xué)生積極的情感態(tài)度，不斷豐盈學(xué)生的情感維度的默會(huì)知識(shí)。

綜上，尺規(guī)作圖具有豐富的育人價(jià)值，對(duì)學(xué)生默會(huì)知識(shí)的培育及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升具有重要意義。因此，在尺規(guī)作圖教學(xué)中教師不光要讓學(xué)生掌握作圖方法，更要注重學(xué)生默會(huì)知識(shí)的激活及培養(yǎng)，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)由直觀認(rèn)識(shí)到抽象推理的蛻變，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)一、推理過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)、作圖痕跡的簡(jiǎn)潔、細(xì)致操作的精準(zhǔn)，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 顧容，蘇永慧，楊青青.默會(huì)知識(shí)視角下問(wèn)題解決能力的教學(xué)模式研究[J].教育評(píng)論，2020（5）：134-140.

[3] 邁克爾·波蘭尼.個(gè)人認(rèn)識(shí)：邁向后批判哲學(xué)[M].許澤民，譯.貴陽(yáng)：貴州人民出版社，2000.

[4] 李白鶴.波蘭尼默會(huì)認(rèn)識(shí)思想研究[D]，武漢：武漢大學(xué)，2006.

（責(zé)編 梁桂廣）