三參數(shù)burr分布的幾何結(jié)構(gòu)

羅 潔, 萬(wàn)文龍, 許 皓

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院, 四川 南充 637009)

0 引言

Amari[1]提出的信息幾何從現(xiàn)代微分幾何的角度研究統(tǒng)計(jì)流形.近年來(lái),由于概率論、信息論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一些非常重要的結(jié)構(gòu)可以使用微分幾何來(lái)處理,因此它在許多相關(guān)的學(xué)習(xí)領(lǐng)域中得到了廣泛的研究和應(yīng)用.與此同時(shí)Amari[2]還提出了離散概率分布統(tǒng)計(jì)模型的不同幾何方法,這極大地促進(jìn)了信息幾何的發(fā)展.根據(jù)信息幾何的理論,研究者們建立了不同的統(tǒng)計(jì)流形[3-8],研究了其相關(guān)的幾何性質(zhì),像Beta流形的α-幾何結(jié)構(gòu)[3],常φ-曲率Sasaki統(tǒng)計(jì)流形[4]等統(tǒng)計(jì)流形.另外,信息幾何還討論了統(tǒng)計(jì)流形的性質(zhì)[9-11],它對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、信號(hào)處理、機(jī)器學(xué)習(xí)等不同領(lǐng)域有著極為重要的作用.

Burr分布[12-13]是Burr XII型分布,是Burr系統(tǒng)中十二種連續(xù)分布之一,它在保險(xiǎn)精算學(xué)[14]、環(huán)境科學(xué)[15]以及社會(huì)經(jīng)濟(jì)學(xué)[16]等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.例如,在空中交流時(shí),機(jī)頭時(shí)距[17]的變化符合三參數(shù)burr分布特征.Shao[18]研究了三參數(shù)Burr分布的分布函數(shù)的漸近性質(zhì),隨著參數(shù)趨于邊界,分布趨于非退化的極限形式.許多學(xué)者對(duì)毛刺分布有著濃厚的興趣,并對(duì)其進(jìn)行了相應(yīng)的研究.

本文的內(nèi)容組織如下:第1節(jié)給出了后面章節(jié)中使用的關(guān)于信息幾何的數(shù)學(xué)背景的許多關(guān)鍵結(jié)果,第2節(jié)介紹了三參數(shù)burr分布流形的幾何結(jié)構(gòu),第3節(jié)給出了三參數(shù)burr分布流形的兩個(gè)子流形及其相關(guān)幾何結(jié)構(gòu),第4節(jié)為總結(jié)展望部分.

1 統(tǒng)計(jì)流形

定義1統(tǒng)計(jì)流形[1]假設(shè)M={p(x)=p(x;θ)|θ=(θ1,θ2,…,θn)}是一個(gè)由n維參數(shù)向量θ=(θ1,θ2,…,θn)參數(shù)化的正則統(tǒng)計(jì)模型,其中p(x)是概率密度函數(shù).這樣,我們將概率密度函數(shù)族的集合M稱為n維統(tǒng)計(jì)流形.

定義2子流形[1]設(shè)M和N是兩個(gè)光滑流形,若有光滑映射φ:M→N,使得

(1)φ是單一的;

(2)在任意一點(diǎn)p∈M,且映射φ都是非退化的;

則稱(φ,M) 是N的一個(gè)光滑子流形,或稱嵌入子流形.

定義3Fisher信息矩陣[2]在信息幾何中,黎曼度量由Fisher信息矩陣表示.對(duì)于密度函數(shù)p(x),Fisher信息矩的分量可定義為

(1)

其中,lθ=l(x;θ)=lnp(x;θ)為對(duì)數(shù)似然函數(shù),以及?i=?/?θi,然后,稱M={p(x;θ)}是n維統(tǒng)計(jì)流形,g=[gij]是M的Fisher信息矩陣,[gij]=[(gij)-1]是[gij]的逆矩陣.

定義4克里斯托符號(hào)[10]統(tǒng)計(jì)流形M的克里斯托符號(hào)的定義為

(2)

其中[gij]=[(gij)-1]是[gij]的逆矩陣.

定義5α-聯(lián)絡(luò)[11]在n維統(tǒng)計(jì)流形M中,[gij]是Fisher信息矩陣,統(tǒng)計(jì)流形M上的α-聯(lián)絡(luò)系數(shù)為

(3)

其中三階張量為

Tijk=Eθ[?il(x;θ)?jl(x;θ)?kl(x;θ)].

定義6黎曼曲率[11]統(tǒng)計(jì)流形M的黎曼曲率張量定義為

(4)

2 三參數(shù)burr分布流形的幾何結(jié)構(gòu)

三參數(shù)burr分布的概率密度函數(shù)為

其中,θ=(α,τ,λ),α>0是形狀參數(shù),λ>0是尺度參數(shù),以及τ>0.根據(jù)統(tǒng)計(jì)流形定義三參數(shù)burr分布流形,即

定理1具有自然坐標(biāo)系θ=(α,τ,λ)的三參數(shù)burr分布流形的Fisher信息矩陣為

證明由(1)可知,三參數(shù)burr分布函數(shù)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

l(x;θ)=lnp(x;θ)=ln(α)+ln(τ)-ln(λ)+

對(duì)對(duì)數(shù)似然函數(shù)進(jìn)行一階求導(dǎo),得

再求對(duì)數(shù)似然函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù),得

根據(jù)二階偏導(dǎo)數(shù)求Fisher信息矩陣分量

定理2三參數(shù)burr分布流形的信息矩陣[gij]的逆矩陣[gij]分量分別為

其中,

定理3根據(jù)公式(3)可得三參數(shù)burr分布的α-聯(lián)絡(luò)系數(shù)分別為

定理4根據(jù)公式(3)可以得到三參數(shù)burr分布流形的黎曼曲率

3 三參數(shù)burr分布的子流形

3.1 兩參數(shù)burr分布流形的幾何結(jié)構(gòu)

當(dāng)λ=1時(shí),我們得到兩參數(shù)burr分布函數(shù),它的概率密度函數(shù)為

其中α>0,τ>0.從而根據(jù)前面統(tǒng)計(jì)流形的定義,可得兩參數(shù)burr分布流形為

定理5兩參數(shù)burr分布流形的Fisher信息矩陣為

其對(duì)應(yīng)的行列式為

證明兩參數(shù)burr分布函數(shù)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

l(x;θ)=lnp1(x;θ)=

lnα+lnτ+(τ-1)lnx-(α+1)ln(1+xτ),

對(duì)對(duì)數(shù)似然函數(shù)求導(dǎo),得

然后,計(jì)算Fisher信息矩陣的分量分別為

由此,可以計(jì)算兩參數(shù)burr分布的Fisher信息矩陣的行列式值為

定理6兩參數(shù)burr分布流形中,Fisher信息矩陣[gij]所對(duì)應(yīng)的逆矩陣[gij]的分量分別為

定理7根據(jù)公式(2),可以計(jì)算出兩參數(shù)burr分布流形的克里斯托符號(hào)分別為

定理8根據(jù)公式(3),兩參數(shù)burr分布流形的α-聯(lián)絡(luò)分別為

3.2 Pareto分布流形的幾何結(jié)構(gòu)

當(dāng)τ=1時(shí),得到Pareto分布的密度函數(shù)為

p2(x;θ)=αλα(λ+x)-(α+1).

由此定義Pareto分布流形

M2={p2(x;θ)|p2(x;θ)=αλα(λ+x)-(α+1)},

其中α>0,λ>0.

定理9Pareto分布流形的Fisher的信息矩陣為

證明Pareto分布的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

l(x;θ)=lnp2(x;θ)=lnα+αlnλ-(α+1)ln(x+λ).

對(duì)對(duì)數(shù)似然函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可得

從而,計(jì)算Fisher信息矩陣分量如下

由此可計(jì)算出Pareto分布的信息矩陣對(duì)應(yīng)的行列式為

它的行列式值圖像如圖1所示,隨著α和λ的增大,行列式值斷崖式下降,整個(gè)圖像呈現(xiàn)瀑布型.

圖1 Pareto分布流形的行列式值圖像

定理10Pareto分布流形的信息矩陣[gij]所對(duì)應(yīng)的逆矩陣[gij]分量分別為

g11=α2(α+1)2,g12=λα(α+1)(α+2),

定理11根據(jù)公式(2),可以計(jì)算出Pareto分布流形的克里斯托符號(hào)為

定理12通過(guò)公式(3),可以計(jì)算Pareto分布流形的α-聯(lián)絡(luò)分別為

定理13根據(jù)公式(4),Pareto分布流形的黎曼曲率為

Pareto分布流形的黎曼曲率圖像如圖2所示,隨著α和λ的增大,黎曼曲率值不斷下降,不斷接近于零.

圖2 Pareto分布流形的黎曼曲率圖像

4 總結(jié)

本文通過(guò)信息幾何的理論建立了三參數(shù)burr分布流形及其子流形,根據(jù)計(jì)算得到了三參數(shù)burr分布流形及其子流形的幾何結(jié)構(gòu),其中主要計(jì)算了其Fisher信息矩陣及其逆矩陣、行列式值、α-聯(lián)絡(luò)系數(shù)以及黎曼曲率等幾何量.這對(duì)于三參數(shù)burr分布的幾何結(jié)構(gòu)會(huì)有更加深刻的理解,在后續(xù)的保險(xiǎn)精算、概率研究、公路與水力運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用.另外,在解決更加復(fù)雜的問(wèn)題時(shí),或許從信息幾何的角度來(lái)看,三參數(shù)burr分布的幾何結(jié)構(gòu)有更大的研究?jī)r(jià)值,如何將這些結(jié)果運(yùn)用到與三參數(shù)burr分布相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題中,并且得到有效的解決方法是未來(lái)將要進(jìn)行的研究.