解決問題中線段圖表征的斷層剖析與改進路徑
——以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)為例

□方蘇云

在現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，“解決問題”是學(xué)習(xí)內(nèi)容的重要組成部分。根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）的要求，“幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑”，學(xué)生應(yīng)能“利用圖表分析實際情境和數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路”，發(fā)展幾何直觀。線段圖既具有直觀性，又兼?zhèn)涓爬ㄐ?，是幾何直觀的體現(xiàn)形式之一。它能夠化“難”為“易”，幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，由形象思維走向抽象思維。在“解決問題”中，用線段圖代替實物示意圖或半具體半抽象的示意圖，對解決問題和發(fā)展學(xué)生思維有不可替代的作用。

然而，各版本教材中線段圖出現(xiàn)的次數(shù)并不多，且呈現(xiàn)的都是“成品”，對線段圖的具體使用也未作出明確要求。教師對此深感迷惑：是要求學(xué)生畫線段圖，還是只要求學(xué)生讀懂線段圖？如何在教學(xué)中把握線段圖的使用程度？為此，筆者以人教版教材為例，對教材的教學(xué)內(nèi)容進行了剖析，發(fā)現(xiàn)教材編排存在線段圖表征斷層的問題，導(dǎo)致線段圖教學(xué)出現(xiàn)斷裂，教師“不善用”線段圖，學(xué)生也“不待見”線段圖。

一、對解決問題中線段圖表征斷層的剖析

筆者對人教版12冊教材中用線段圖表征解決問題的情況進行梳理，發(fā)現(xiàn)教材編排呈現(xiàn)比較清晰的結(jié)構(gòu)（如圖1）。

圖1

（一）線段圖表征的雛形

線段圖的雛形出現(xiàn)在一、二年級加減法的解決問題中。教材從一年級下冊退位減法中的“擺擺看”到二年級上冊加減法中的“畫一畫”，都采用具體示意圖來表征；到二年級下冊混合運算中的“用上面的圖示分析”，開始用橫條形來表征，線段圖的“影子”清晰可見（如圖2）。

圖2

（二）線段圖表征的起始

線段圖表征在三年級上冊乘除法的解決問題中才正式出現(xiàn)。教材從例2“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”中的用示意圖表征，過渡到例3“求一個數(shù)的幾倍是多少”中的用線段圖表征；從歸一問題中的示意圖分析，過渡到歸總問題中的線段圖分析（如圖3）。通過多次過渡，正式引入線段圖。

圖3

（三）線段圖表征的后續(xù)應(yīng)用

線段圖表征的應(yīng)用在六年級上冊分數(shù)、百分數(shù)的解決問題中體現(xiàn)得最為明顯。如圖4所示，線段圖表征主要集中在分數(shù)除法的解決問題中，以幫助學(xué)生分析從“正向”到“逆向”的解題思路；分數(shù)乘法、百分數(shù)除法中分別出現(xiàn)了借助線段圖分析數(shù)量關(guān)系，百分數(shù)乘法中則沒有出現(xiàn)。可見，線段圖表征的后續(xù)應(yīng)用雖然較多但配置不均衡。

圖4

（四）線段圖表征存在的斷層

通過對教材的梳理發(fā)現(xiàn)，用于分析數(shù)量關(guān)系的線段圖，在四年級上冊“常見數(shù)量關(guān)系”的解決問題中出現(xiàn)了斷層。眾所周知，“常見數(shù)量關(guān)系”在小學(xué)階段起著承前啟后的重要作用，其本質(zhì)是乘法模型（與個數(shù)有關(guān)和與物理量有關(guān)兩種形式）“幾個幾”，即每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。線段圖通過具體形象表征“幾個幾”，加深學(xué)生對其意義的理解。然而，從圖5中可以清楚地看到，除用語言表征外，“常見數(shù)量關(guān)系”的解決問題中沒有使用其他的表征方式。

圖5

基于以上分析，教師需要進一步思考：人教版教材在線段圖的雛形階段編排的實物示意圖和半具體半抽象示意圖比較充足，這為線段圖的引入打下了基礎(chǔ)。那么，在線段圖起始階段，教師在教學(xué)生讀懂線段圖的同時，要不要教學(xué)生怎樣畫線段圖？解決問題中線段圖表征的斷層應(yīng)該如何彌補？在線段圖表征的后續(xù)應(yīng)用階段，如何培養(yǎng)學(xué)生主動使用線段圖的意識，讓學(xué)生體會到線段圖在解決稍復(fù)雜分數(shù)、百分數(shù)乘除法問題中的作用？為解決這些問題，筆者嘗試在教學(xué)實踐中，依托教材改進線段圖表征的學(xué)習(xí)路徑。

二、解決問題中線段圖表征的改進路徑

2022 年版課標在“課程目標”中就有“學(xué)生能夠直觀理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識及其現(xiàn)實背景”的闡述。據(jù)此，教師可基于學(xué)生思維發(fā)展的需求創(chuàng)造性地使用教材，通過構(gòu)造線段圖、分析線段圖，增強學(xué)生的幾何直觀意識；在不斷應(yīng)用線段圖解決問題的過程中，發(fā)展學(xué)生的思維，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。限于篇幅，筆者選取三、四、六年級的案例來闡述用線段圖表征的改進路徑。

（一）從“一”到“二”，充實線段圖表征

基于一、二年級學(xué)習(xí)的示意圖，教師可在三年級上冊學(xué)生初學(xué)線段圖時，打破教材原有的“間隔性”編排線段圖的方式，即從“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”中的用實物示意圖表征過渡到“求一個數(shù)的幾倍是多少”中的用線段圖表征，從歸一問題中的實物示意圖過渡到歸總問題中的線段圖，嘗試在歸一問題的教學(xué)中同時使用示意圖和線段圖進行表征，并比較兩者的異同，從“一”到“二”，充實線段圖的表征。具體改進路徑如圖6所示。

圖6

根據(jù)改進后的學(xué)習(xí)路徑，在“求一個數(shù)的幾倍是多少”的教學(xué)中，要讓學(xué)生初步體會用線段圖表征時需清楚“畫什么”“怎么畫”及線段圖中的一份可以表示5、10、30……在歸一問題的教學(xué)中，要將原來的單一示意圖變?yōu)槭疽鈭D、線段圖兩種表征方式同時呈現(xiàn)，讓學(xué)生在示意圖和線段圖的對比中，進一步體會“畫什么”“怎么畫”及用線段圖表征的優(yōu)勢，并在教材編排的基礎(chǔ)上，借助畫示意圖和線段圖的方法呈現(xiàn)實際問題中包含的數(shù)學(xué)信息，體現(xiàn)以數(shù)形結(jié)合分析數(shù)量關(guān)系。據(jù)此，筆者對歸一問題中用線段圖表征的學(xué)習(xí)路徑進行具體設(shè)計與實施，如圖7所示。

圖7

在歸一問題中充實線段圖表征，并非忽略教材半具體半抽象示意圖的表征，而是將兩者進行有機融合，讓學(xué)生在三次對比中理解線段圖表征。按照教材的編排方式，原先只在歸總問題中有線段圖表征，改進編排方式后，變成在歸一問題、歸總問題中都要學(xué)習(xí)用線段圖表征，雙管齊下，從而將教材原有的“間隔性”編排方式變?yōu)椤斑B續(xù)性”編排方式，呈現(xiàn)兩次從“一”到“二”的迭代過程。

（二）從“無”到“有”，補充線段圖表征

在三年級連續(xù)學(xué)習(xí)線段圖表征的基礎(chǔ)上，教師要在四年級“常見數(shù)量關(guān)系”這一乘法模型中補充線段圖表征，為后續(xù)五年級理解用方程解決問題中的“等量關(guān)系”打下基礎(chǔ)。具體改進路徑如圖8所示。

圖8

在整體認識“常見數(shù)量關(guān)系”的視角下，要讓學(xué)生體會線段圖中的“一段”既可表示“單價”也可表示“速度”，“幾段”既可表示“數(shù)量”也可表示“時間”，總長度既可表示“總價”也可表示“路程”，意在引導(dǎo)學(xué)生將對這兩種常見數(shù)量關(guān)系的理解主動納入“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”的原有認知結(jié)構(gòu)中，以跨越線段圖在該內(nèi)容中的斷層。具體學(xué)習(xí)路徑如圖9所示。

圖9

改進后的學(xué)習(xí)路徑整合“單價×數(shù)量=總價”和“速度×?xí)r間=路程”兩種常見的數(shù)量關(guān)系，將二者進行“平行式”教學(xué)。圍繞算式60×4，讓學(xué)生利用線段圖對比剖析“每一段表示60，這樣的4 段”與“每一段表示4，這樣的60 段”，理解“每一段”可以表示“單價”“速度”，即“每份數(shù)”，“這樣的幾段”可以表示“數(shù)量”“時間”，即“份數(shù)”；通過繪制線段圖，體悟常見數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)就是“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”，即求“幾個幾”。在這樣從“無”到“有”的線段圖表征過程中，更好地培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括思維。

（三）從“偏”到“全”，豐富線段圖表征

在六年級的分數(shù)乘法、百分數(shù)乘除法解決問題中用線段圖表征（如圖10），首先要豐富類型，從無線段圖或只有一題用線段圖表征變?yōu)槎囝}用線段圖表征，然后利用這些線段圖分析數(shù)量關(guān)系，從而解決問題。其次要辨析結(jié)構(gòu)，分數(shù)、百分數(shù)乘除法解決問題中的每個例題，都要通過線段圖分析數(shù)量關(guān)系，厘清乘法與除法間的區(qū)別與聯(lián)系，如辨析“求‘單位1’的幾分之幾是多少”和“已知‘單位1’的幾分之幾是多少，求‘單位1’”。最后要以形建模，利用線段圖構(gòu)建分數(shù)、百分數(shù)乘除法解決問題的聯(lián)系及運用策略，根據(jù)“量率”，建立對應(yīng)的分數(shù)、百分數(shù)乘除法解決問題的數(shù)學(xué)模型。由此，幫助學(xué)生積累用線段圖表征的經(jīng)驗，助推后續(xù)學(xué)習(xí)。

圖10

教材偏向于將線段圖表征用在分數(shù)除法的解決問題中，改進后的學(xué)習(xí)路徑則將線段圖表征全面涵蓋每一類問題。在練習(xí)、復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師在將分數(shù)、百分數(shù)乘除法解決問題用線段圖表征后，組織學(xué)生觀察異同，讓學(xué)生在對比分析中把握這四類問題用線段圖表征的“共通點”，深入理解這四類問題的結(jié)構(gòu)特征，使學(xué)生類比掌握解題策略，并讓“豐厚”的線段圖變得簡潔而概括。由此，學(xué)生經(jīng)歷一個“薄—厚—薄”的思辨過程，其高階思維得以發(fā)展。

數(shù)學(xué)教學(xué)要立足學(xué)生發(fā)展視角。為解決人教版教材“解決問題”中線段圖表征斷層的問題，教師要把握教材整體結(jié)構(gòu)，用好教材，根據(jù)知識的學(xué)習(xí)邏輯和學(xué)生的認知規(guī)律對教材作出調(diào)整，改進線段圖表征的學(xué)習(xí)路徑，為探究解決問題的有效策略提供有力幫助。