依惑而教：從物的等分到計(jì)數(shù)單位的等分
——“兩位數(shù)除以一位數(shù)”筆算教學(xué)的思考與實(shí)踐

□章 穎

一、學(xué)生在筆算除法中的兩個(gè)困惑

除法豎式步驟多、書寫繁雜，學(xué)生計(jì)算正確率往往不太高，是小學(xué)階段筆算教學(xué)的重難點(diǎn)。其中，北師大版教材三年級下冊“兩位數(shù)除以一位數(shù)”內(nèi)容是學(xué)生第一次接觸多層記錄的除法，理解起來有一定難度，因而學(xué)生通常會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)典型的困惑。

困惑一：除法豎式為什么要寫“兩層”？

教學(xué)68÷2 的筆算時(shí)，教師通常先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀操作，再通過分物過程與豎式記錄的對接，幫助學(xué)生理解算理。但事實(shí)上，教師教的過程與學(xué)生想的內(nèi)容并不一致，學(xué)生存在困惑。

教師教的：把68 根小棒平均分成2 份，先分6捆，把6 個(gè)“十”平均分成2 份，每份30 根，即60÷2=30（根）；再把8根平均分成2份，每份4根，即8÷2=4（根）；最后相加，即30+4=34（根）。兩次分的過程用兩層豎式進(jìn)行記錄（如圖1）。

圖1

學(xué)生想的：“把68根小棒平均分成2份，6捆（6個(gè)‘十’）和8根一起分，一次就能分好，寫一層豎式更簡單！”“二年級時(shí)學(xué)的除法豎式也只寫一層。”“寫兩層太復(fù)雜了，直接寫一層就能算出得數(shù)?！保ㄈ鐖D2）

圖2

教師在課后訪談中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生心里一直存有這樣一個(gè)困惑：明明可以用一層豎式來記錄，為什么還要寫兩層呢？可見，學(xué)生心里并不認(rèn)同兩層豎式的寫法。這說明上述教學(xué)方式并沒有體現(xiàn)兩層豎式記錄的必要性。

困惑二：除法豎式為什么要從高位算起？

教學(xué)68÷2 的筆算時(shí)，教師一再強(qiáng)調(diào)：要先分6捆（6 個(gè)“十”）小棒，再分8 根小棒。試圖讓學(xué)生明白從十位算起的必要性。然而，在分小棒時(shí)，仍有學(xué)生直接把68 根小棒一起分，不存在先高位再低位的過程；甚至還有學(xué)生先分8根小棒，再分6捆（6個(gè)“十”）小棒。這是因?yàn)?8÷2這個(gè)例子比較簡單、特殊，對幫助學(xué)生歸納“先分什么，再分什么”的過程的作用并不明顯，所以才導(dǎo)致學(xué)生在應(yīng)用豎式計(jì)算時(shí)不禁疑惑：加法、減法和乘法豎式都是從個(gè)位算起的，除法豎式為什么要從高位算起？

二、學(xué)生兩個(gè)困惑產(chǎn)生的原因分析

從學(xué)生角度看，既然二年級時(shí)筆算18÷3用“一層”豎式來表示，那么三年級時(shí)筆算48÷3也可以用“一層”豎式來表示（如圖3）。而學(xué)生之所以會(huì)這么認(rèn)為，主要有兩方面原因。

圖3

原因一：學(xué)生的思維仍然停留在物的等分上

二年級時(shí)學(xué)習(xí)除法豎式18÷3是學(xué)生第一次接觸除法豎式。教材中，不論是把18 根小棒平均分成3 份，還是把18 個(gè)蘋果平均分成3 份，其實(shí)都是對物的一次等分，即把18 個(gè)一平均分成3 份，每份是6個(gè)一，相應(yīng)地用一層豎式來記錄。到了三年級學(xué)習(xí)除法豎式48÷3 時(shí)，教材一般呈現(xiàn)4 捆（40 根）小棒和8 根小棒，學(xué)生自然會(huì)把它看成一個(gè)整體，即48 根小棒。把48 根小棒平均分成3 份，每份就是16 根小棒，即16 個(gè)一（由于數(shù)據(jù)比較小，學(xué)生能直接得出答案）。這一過程，學(xué)生是一次完成的，不需要轉(zhuǎn)換計(jì)數(shù)單位，因此就用一層豎式來表示，導(dǎo)致學(xué)生很難體會(huì)“先分幾個(gè)十，再分幾個(gè)一”的除法豎式分層記錄和“要從高位算起”的道理。

事實(shí)上，整數(shù)除法的核心在于“計(jì)數(shù)單位的等分”。在等分的過程中，先等分大的計(jì)數(shù)單位，有余時(shí)再與更小的計(jì)數(shù)單位合起來繼續(xù)等分；在繼續(xù)等分的過程中，先將大的計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)換成更小的計(jì)數(shù)單位，再與更小的計(jì)數(shù)單位合起來，使計(jì)數(shù)單位的數(shù)量增加，從而能繼續(xù)等分下去。從二年級的“表內(nèi)除法”到三年級的“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算除法”，等分過程變得更加復(fù)雜。兩位數(shù)除以一位數(shù)對應(yīng)以十、一為計(jì)數(shù)單位的兩次等分，相應(yīng)地用兩層豎式來表示；三、四位數(shù)除以一位數(shù)乃至多位數(shù)除法，不能通過口算直接得到商，需要多次等分，通過多層豎式依次記錄才能得到正確答案?？梢姡寣W(xué)生理解“除法豎式寫兩層”“要從高位算起”的道理，教師的教學(xué)就要由物的等分上升到計(jì)數(shù)單位的等分。

原因二：教學(xué)未能幫助學(xué)生從物的等分上升到計(jì)數(shù)單位的等分

為什么經(jīng)過三年級的學(xué)習(xí)之后，很多學(xué)生仍然停留在物的等分，而對“除法豎式寫兩層”“要從高位算起”心存困惑呢？這可能與教師的教學(xué)設(shè)計(jì)有關(guān)。對于這一內(nèi)容，教師通常會(huì)采用以下環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)。

【環(huán)節(jié)一】經(jīng)歷平均分物的過程

教師呈現(xiàn)學(xué)習(xí)材料：把68個(gè)桃子平均分給2只猴子，每只猴子分到多少個(gè)桃子？

1.讓學(xué)生先列出算式68÷2，再用小棒替代桃子進(jìn)行分物活動(dòng)：先分6 捆小棒，再分8 根小棒（如圖4）。

圖4

2.抽象出口算過程：60÷2=30，8÷2=4，30+4=34。

【環(huán)節(jié)二】用除法豎式記錄分物的過程

1.學(xué)生嘗試用豎式記錄分小棒的過程。

2.交流展示學(xué)生寫的不同的豎式。

3.對比交流：將“先分6捆小棒，再分8根小棒”這兩次均分小棒的過程與豎式的兩層記錄對接起來，再用分小棒的過程來解釋豎式每一層記錄所表示的意思。

4.學(xué)生規(guī)范書寫除法豎式，并小結(jié)除法豎式的計(jì)算方法。

……

從上面的教學(xué)環(huán)節(jié)看，學(xué)生對算理的理解，與直觀形象的“分”緊密結(jié)合。教師讓學(xué)生先用小棒代替實(shí)物來操作，再將兩次分小棒的過程與除法豎式的兩層記錄對應(yīng)起來。在這一過程中，教師強(qiáng)化的是用除法豎式記錄兩次分物過程的表面現(xiàn)象，而沒有分析其實(shí)質(zhì)是計(jì)數(shù)單位的等分。試想，當(dāng)學(xué)生將6 捆小棒和8 根小棒平均分成2 份時(shí)，他們看到的是分物，還是分計(jì)數(shù)單位“十”和“一”？答案顯而易見。學(xué)生用小棒進(jìn)行操作活動(dòng)，體驗(yàn)的自然是小棒的等分。當(dāng)把成捆的小棒拆分開來，學(xué)生看見的直接就是“10 個(gè)一”，并不需要“把1 個(gè)十轉(zhuǎn)換成10個(gè)一”，因此很難理解“先分幾個(gè)十，再分幾個(gè)一”的道理。

從以上分析中可以看出，學(xué)生產(chǎn)生這兩個(gè)學(xué)習(xí)困惑的原因，是分小棒沒有幫助學(xué)生從物的等分上升到計(jì)數(shù)單位的等分。

三、解決學(xué)生兩個(gè)困惑的關(guān)鍵

如何解決學(xué)生的兩個(gè)學(xué)習(xí)困惑，幫助學(xué)生從物的等分上升到計(jì)數(shù)單位的等分呢？關(guān)鍵是要凸顯計(jì)數(shù)單位的轉(zhuǎn)換。教學(xué)中，教師應(yīng)借助適合的學(xué)具（磁扣）來體現(xiàn)計(jì)數(shù)單位的轉(zhuǎn)換過程。

以筆算42÷3為例，教師可以用4個(gè)大磁扣和2個(gè)小磁扣來表示42（如圖5），引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到計(jì)數(shù)單位“十”和“一”。把4個(gè)大磁扣和2個(gè)小磁扣平均分成3份，應(yīng)先分4個(gè)大磁扣，平均分成3份，每份1個(gè)大磁扣，余下1個(gè)大磁扣；再根據(jù)“退一作十”，將余下的1個(gè)大磁扣轉(zhuǎn)換成10個(gè)小磁扣。這種“把1個(gè)十換成10個(gè)一”的大小磁扣轉(zhuǎn)換過程，促使學(xué)生用兩層豎式表示等分過程，幫助學(xué)生完成等分中的升級，即先分十位上的幾個(gè)十，將余下的1 個(gè)十轉(zhuǎn)換成10個(gè)一，和個(gè)位上的幾個(gè)一合起來再分，從而讓學(xué)生理解“除法豎式寫兩層”和“要從十位算起”的道理，同時(shí)也為后續(xù)學(xué)習(xí)三位數(shù)除以一位數(shù)和小數(shù)除法奠定基礎(chǔ)。

圖5

具體而言，教師可以設(shè)計(jì)以下兩個(gè)教學(xué)活動(dòng)。

教學(xué)活動(dòng)一：磁扣操作，體驗(yàn)計(jì)數(shù)單位的等分

這一學(xué)習(xí)內(nèi)容教材安排了2 個(gè)課時(shí)，先學(xué)習(xí)68÷2（首位能除盡），再學(xué)習(xí)48÷3（首位不能除盡）。教師設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)時(shí)，將2個(gè)課時(shí)整合為1個(gè)課時(shí)，并將48÷3 改為42÷3，作為例題進(jìn)行教學(xué)。這樣設(shè)計(jì)主要有兩方面原因：一方面，首位不能除盡的除法更具有一般性，易于遷移到首位能除盡的除法；另一方面，42÷3比48÷3更方便學(xué)生操作學(xué)具。

1.任務(wù)驅(qū)動(dòng)：42÷3 的豎式怎么寫？自己先試一試。

2.教學(xué)反饋：預(yù)設(shè)學(xué)生主要有兩種不同的豎式寫法（如圖6）。

圖6

3.比較分析：如果這兩種寫法都對，你喜歡哪一種？

大部分學(xué)生喜歡豎式A，因?yàn)樨Q式A和他們之前學(xué)習(xí)表內(nèi)除法時(shí)的寫法一樣。而豎式B 要寫兩層，比較復(fù)雜。

4.教師提問：既然我們都認(rèn)為豎式A 比較好，為什么書上會(huì)選用豎式B呢？

這個(gè)提問是學(xué)生最困惑的問題。學(xué)生因?yàn)樵诙昙売袑W(xué)習(xí)除法豎式12÷3 的經(jīng)歷，所以會(huì)從除法的意義進(jìn)行思考。

5.回顧除法的意義：42÷3表示什么意思？表示把42平均分成3份，每份是幾。

6.直觀操作。

教師出示4 個(gè)大磁扣和2 個(gè)小磁扣（如圖7），提問：這是42嗎？你是怎么知道的？

圖7

學(xué)生思考：如何把4 個(gè)大磁扣和2 個(gè)小磁扣平均分成3份。

教師提問：先分什么？余下的1個(gè)十不夠分怎么辦？再分什么？

交流：剛才我們分了兩次。第一次分4 個(gè)十，將其平均分成3 份，每份分到1 個(gè)十，分掉3 個(gè)十，還剩1 個(gè)十。余下1 個(gè)十不夠分，轉(zhuǎn)換成10 個(gè)一。第二次分12個(gè)一，平均分成3份，每份分到4個(gè)一，分掉12個(gè)一，正好分完。

教師直接讓學(xué)生嘗試不同的算法，呈現(xiàn)學(xué)生的兩種不同豎式，直面學(xué)生的疑問，而這疑問恰恰指向背后的算理，指向基于意義的操作明理。然后引導(dǎo)學(xué)生將教材中的操作學(xué)具小棒替換為大小磁扣，在平均分的過程中突出計(jì)數(shù)單位的轉(zhuǎn)換。學(xué)生第1 次先分4 個(gè)十，剩下1 個(gè)十不夠分，發(fā)現(xiàn)必須把1個(gè)十換成10 個(gè)一。由此，將兩次平均分的過程呈現(xiàn)在學(xué)生面前。

教學(xué)活動(dòng)二：體會(huì)記錄，將除法豎式與兩次等分過程進(jìn)行關(guān)聯(lián)

1.問題討論：根據(jù)分的過程，你覺得這兩種豎式寫法，哪一種比較合理？很多學(xué)生認(rèn)為豎式B比較合理。

2.教師追問：為什么豎式B比較合理呢？很多學(xué)生認(rèn)為豎式B很好地記錄了兩次平均分的過程。

3.教師繼續(xù)追問：你能在豎式B中找到兩次平均分的過程嗎？先分的4 個(gè)十對應(yīng)什么？要轉(zhuǎn)換的1個(gè)大磁扣呢？在豎式A中能找到嗎？

4.規(guī)范寫法：用課件動(dòng)態(tài)演示兩次平均分的過程，學(xué)生用豎式記錄。教師示范寫法，并說一說計(jì)算過程。

5.比較：同樣是兩位數(shù)除以一位數(shù)，為什么12÷3 的豎式只需用一層來表示，而42÷3的豎式卻要用兩層？

6.結(jié)論：12÷3平均分了一次，所以是一層豎式。42÷3 平均分了兩次，所以是兩層豎式。

在充分體驗(yàn)計(jì)數(shù)單位的等分后，學(xué)生馬上能將兩次等分過程與兩層豎式一一對應(yīng)起來。這不僅體現(xiàn)了豎式分步記錄的合理性，還將學(xué)具操作與口頭表述、豎式書寫之間進(jìn)行多向溝通，從而使學(xué)生深刻理解除法豎式就是對兩次等分過程的記錄。學(xué)生在筆算除法中的“惑”自然就解了。

回顧整個(gè)教學(xué)過程，教師基于學(xué)生學(xué)習(xí)筆算除法的典型困惑，分析困惑產(chǎn)生的主要原因，依惑而教，將操作學(xué)具從小棒變?yōu)榇趴?，在?jì)數(shù)單位的轉(zhuǎn)換中凸顯兩次等分記錄，最終解決學(xué)生的困惑。

在小學(xué)階段，學(xué)生一定還有不少類似的學(xué)習(xí)困惑。俞正強(qiáng)老師在《種子課2.0：如何教對數(shù)學(xué)課》一書中寫道：為什么那么多學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感到困惑，繼而感到困難？這一定是有原因的。這個(gè)原因不是知識(shí)本身的對與否，而是教師“教”的這一行為的對與否。很多學(xué)生出現(xiàn)的學(xué)習(xí)困惑，與教師對教材和學(xué)情分析不到位，導(dǎo)致教學(xué)內(nèi)容邏輯失序、學(xué)習(xí)素材選擇失當(dāng)、教學(xué)設(shè)計(jì)定位不準(zhǔn)等有很大的關(guān)聯(lián)。因此，教師應(yīng)直面學(xué)生的學(xué)習(xí)困惑，認(rèn)真解讀教材，合理選擇學(xué)習(xí)素材，精心設(shè)計(jì)教學(xué)預(yù)案，朝著正確的方向，上好每一節(jié)數(shù)學(xué)課。