提煉三角精髓放飛數(shù)學(xué)思想

■李 勇

三角函數(shù)中蘊(yùn)含了許多數(shù)學(xué)思想,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓主要是思想方法的學(xué)習(xí)。同學(xué)們在掌握其基礎(chǔ)知識的同時(shí),還應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想的提煉、總結(jié)。那么,在三角函數(shù)中有哪些思想方法呢? 下面詳細(xì)介紹,供同學(xué)們參考。

一、函數(shù)與方程思想

例1 已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(5t,5t+1),且,求t的值。

分析:欲求t的值,需找出關(guān)于α的等式關(guān)系,利用三角函數(shù)的定義即可求解。

評注:方程思想就是用方程的觀點(diǎn)分析所求的量,通過建立等量關(guān)系,然后解方程(組)使問題得到解決。

二、整體思想

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=asin1000·,其中a,b,α,β為非零實(shí)數(shù),已知f(2011)=-9,求f(2009)的值。

分析:觀察題設(shè)及所求式子的特點(diǎn),可采用整體代入法求解。

評注:利用整體思想解決問題時(shí),要把握問題的全局,認(rèn)清問題中相關(guān)元素的聯(lián)系,從整體上利用條件進(jìn)行簡化求解。

三、正難則反思想

例3 將函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)+B的圖像上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍,將橫坐標(biāo)縮短到原來的,再將整個(gè)圖像沿x軸向左平移個(gè)單位,沿y軸向下平移1個(gè)單位,可得函數(shù)y=2sinx的圖像,則原來的函數(shù)f(x)=____。

分析:因?yàn)槿亲儞Q具有可逆性,所以從結(jié)論反推,則簡單易行。

評注:利用正難則反的思想,反向思考問題,使得問題順利獲解。

四、數(shù)形結(jié)合思想

例4 方程sin2x=sinx在區(qū)間(0,2π)內(nèi)的解的個(gè)數(shù)是____。

分析:在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出函數(shù)y=sin2x和y=sinx的圖像,由圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方程解的個(gè)數(shù)。

解:在(0,2π)內(nèi),作出函數(shù)y=sin2x和y=sinx的圖像,如圖1所示。

圖1

在(0,2π)內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是方程解的個(gè)數(shù)。因?yàn)閮蓚€(gè)圖像共有3 個(gè)交點(diǎn),所以原方程解的個(gè)數(shù)是3。

評注:方程f(x)=g(x)的實(shí)根個(gè)數(shù)就是函數(shù)y=f(x)和函數(shù)y=g(x)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

五、分類討論思想

六、轉(zhuǎn)化與化歸思想

分析:由于條件比較復(fù)雜,涉及α+β,α-β,2α,2β等角,所以可考慮先將條件化簡,得到關(guān)于α,β的三角函數(shù),再逐步向條件靠近。

評注:通過化繁為簡,使原來不易看到的關(guān)系顯露出來,這是問題轉(zhuǎn)化的原則之一。