2023 年高考“三角變換”問題聚焦

■王美亭

2023年高考“三角變換”主要圍繞“三角函數(shù)的定義、利用三角公式求值、方程組觀念的應(yīng)用、合理的降次和輔助角公式,以及三角換元求最值”等展開,彰顯“目標(biāo)意識下合理選擇公式,通過變角、變名稱、變結(jié)構(gòu),達到化異為同”的解題理念,以及“整體變量和方程組觀念”“轉(zhuǎn)化化歸和數(shù)形結(jié)合”素養(yǎng)的具體應(yīng)用。

聚焦1:利用“同角關(guān)系和三角函數(shù)定義”求值

體驗:三角函數(shù)求值要注意消元法與方程思想的應(yīng)用。利用sin2α+cos2α=1 可實現(xiàn)正弦、余弦的互化,開方時要根據(jù)角α所在象限確定符號;利用可實現(xiàn)角α的弦切互化。

變式1:(2023 年高考北京卷)已知是角α的終邊上一點,則cosα=____,角α的最小正值是____。

聚焦2:利用“和差角和倍角公式”求值

例2 (2023 年高考上海卷)若tanα=3,則tan2α=____。

解:直接利用二倍角的正切公式求值。因為tanα=3,所 以

體驗:對于和差角公式和倍角公式,要掌握公式的推導(dǎo)和公式推導(dǎo)過程中所隱含的三角變換方法。

變式2:角α,β滿足sin(α+β)+cos(α+,則( )。

A.tan(α+β)=1

B.tan(α+β)=-1

C.tan(α-β)=1

D.tan(α-β)=-1

提示:(直接法)由已知得sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=2(cosαsinα)sinβ,即sinαcosβ-cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0,也即sin（α-β）+cos(α-β)=0,所以tan（α-β）=-1。應(yīng)選D。

(特殊值排除法)設(shè)β=0,結(jié)合條件得sinα+cosα=0,排除A,C。取α=0,結(jié)合條件得sinβ+cosβ=2sinβ,即cosβ-sinβ=0,排除B。應(yīng)選D。

聚焦3:方程組觀念和二倍角公式的應(yīng)用

例3 (2023 年新高考卷)已知sin(α-,則cos(2α+2β)=____。

體驗:本題實質(zhì)是利用sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ和sin(α-β)=sinα·cosβ-cosαsinβ構(gòu)建方程組,借助cosαsinβ=進行溝通求解,凸顯方程組觀念的應(yīng)用。

變式3:已知α∈（0 ,π）,且3cos2α-8cosα=5,則sinα=_____。

提示:由3cos2α-8cosα=5,可得6cos2α-8cosα-8=0,即3cos2α-4cosα-4=0,解得或cosα=2(舍去)。因為α∈（0 ,π）,所以

聚焦4:利用三角換元法求最值

例4 (2023 年高考全國卷)已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0,則x-y的最大值是_____。

體驗:上述解法凸顯三角的工具性的應(yīng)用。

變式4:若x,y滿足x2+y2-xy=1,則( )。

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1