三角函數(shù)解析式中ω 的求解策略

■翁志堅

在三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)中,求解參數(shù)ω的值或取值范圍問題一直是高考命題的一個熱點,也是同學(xué)們學(xué)習(xí)的一個難點。下面結(jié)合實例,從三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值、零點,以及圖像的視角應(yīng)用,說明在不同條件下求解參數(shù)ω的技巧與策略。

一、根據(jù)函數(shù)的周期性求ω

在三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)中,函數(shù)的最小正周期T與參數(shù)ω密切相關(guān),利用三角函數(shù)的周期公式構(gòu)建兩者之間的聯(lián)系,從而確定參數(shù)ω的值或取值范圍。

分析:根據(jù)題設(shè)條件,先利用函數(shù)f(x)的周期構(gòu)建參數(shù)ω的不等式,得到參數(shù)ω的取值范圍,再利用函數(shù)的對稱中心,構(gòu)建參數(shù)ω的關(guān)系式,求得參數(shù)ω的值。

二、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求ω

對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)性,一方面與參數(shù)ω的值的正負有關(guān),另一方面,單調(diào)區(qū)間的長度也與周期有關(guān)。周期的大小由參數(shù)ω決定,三角函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間與參數(shù)ω的值密切相關(guān),因此利用三角函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可以確定參數(shù)ω的值或取值范圍。

分析:利用函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的兩個端點處的三角函數(shù)值恰好位于正弦函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi),建立相應(yīng)的不等式,結(jié)合參數(shù)ω的限制條件,即可求出ω的取值范圍。

三、根據(jù)函數(shù)的最值(或極值)求ω

三角函數(shù)的最值(或極值)與其單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的長度密切相關(guān),而這些都與三角函數(shù)的周期密不可分,因此利用三角函數(shù)的最值(或極值)可以確定參數(shù)ω的值或取值范圍。

分析:利用三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性的關(guān)系及周期公式,結(jié)合三角函數(shù)的最值即可求解。

四、根據(jù)函數(shù)的零點求ω

研究三角函數(shù)的零點問題時,可采取整體換元思想,即通過ωx+φ的取值確定三角函數(shù)的零點情況。反之,可根據(jù)三角函數(shù)的零點確定參數(shù)ω的值或取值范圍。

例4 記函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為T。若f(T)=為函數(shù)f(x)的零點,則ω的最小值為_____。

分析:先利用條件中的三角函數(shù)關(guān)系式及變量的取值范圍確定函數(shù)f(x)的解析式,再利用函數(shù)的零點建立三角方程,結(jié)合整體思維構(gòu)建關(guān)于參數(shù)ω的關(guān)系式,最后確定參數(shù)ω的最小值。