面向幾何直觀的代數(shù)推理

黃邵宏 王光生

摘要：函數(shù)問題源于生活而高于生活.初中數(shù)學學習過程中，依據(jù)函數(shù)解析式作函數(shù)圖象于學生而言比較吃力.從知識邏輯順序的角度，根據(jù)函數(shù)解析式對函數(shù)圖象所處象限、變化趨勢、對稱性及函數(shù)圖象與坐標軸的交點等方面進行簡單的代數(shù)推理，猜出函數(shù)圖象，提前獲得函數(shù)圖象幾何上的直觀，幫助學生更高效作出函數(shù)圖象，積累函數(shù)作圖經(jīng)驗.本研究中例說對正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)解析式進行代數(shù)推理的過程及其優(yōu)越性，在一定程度上契合知識學習的順序，供教師教學參考.

關鍵詞：代數(shù)推理；幾何直觀；函數(shù)作圖

1 問題提出

核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同的表現(xiàn).《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出了初中階段數(shù)學核心素養(yǎng)的九種表現(xiàn)形式，其中包含幾何直觀和推理能力.

數(shù)學核心素養(yǎng)之間是密不可分、相輔相成的，幾何直觀和推理能力亦然.直覺與邏輯的完美結(jié)合是數(shù)學發(fā)展與學生思維發(fā)展的根本之道，應該追尋直覺背后的邏輯與引領邏輯的直覺.在培養(yǎng)學生幾何直觀素養(yǎng)的同時，也要注重學生邏輯推理素養(yǎng)的協(xié)同發(fā)展，更需要挖掘二者之間的聯(lián)系，以促進學生思維的發(fā)展.代數(shù)推理是邏輯推理素養(yǎng)的重要組成部分，幾何直觀同樣也是直觀想象的關鍵部分.由于初中學段尚未提出核心素養(yǎng)的概念，本研究聚焦代數(shù)推理和幾何直觀.為此，培養(yǎng)學生關鍵能力，厘清二者之間的脈絡至關重要.本研究從初中學段函數(shù)內(nèi)容出發(fā)，例說代數(shù)推理對幾何直觀的促進作用，把幾何直觀視為代數(shù)推理的起點之一.[JP]

函數(shù)是中學數(shù)學課程內(nèi)容的主線之一，也是學習的關鍵.依據(jù)初中數(shù)學學習的知識序，學生先學習函數(shù)的解析式，再利用列表、描點、連線三部曲，作出函數(shù)的圖象.由此，引發(fā)一些思考：

（1）這種作圖方法針對簡單的一次函數(shù)尚可，對于更深層次的反比例函數(shù)、二次函數(shù)等如何恰當列表？

（2）為何有的函數(shù)圖象是直線，有的函數(shù)圖象是曲線，有的函數(shù)圖象只是一些點？

（3）反比例函數(shù)、二次函數(shù)描點以后，為何使用光滑的曲線而非折線來連接？

如果能夠先對函數(shù)解析式進行簡單的代數(shù)推理，猜出函數(shù)的大致圖象，就能恰當把握好列表、描點、連線的過程，進而得到精準的函數(shù)圖象，同時對后續(xù)高中、大學學段函數(shù)模塊學習提供很大的幫助.

2 案例展示

2.1 正比例函數(shù)圖象的教學——猜圖象

已知正比例函數(shù)解析為y=kx（k≠0），不妨設k>0，此時可取y=2x.

根據(jù)表1中的推理，猜出函數(shù)y=2x的圖象如圖1所示.

作函數(shù)y=2x圖象的啟示：通過對解析式y(tǒng)=2x進行簡單的代數(shù)推理，學生猜出y=2x的圖象，經(jīng)歷直觀感受，列表時會聚焦坐標原點，向正負半軸取點，滿足列表的需求；這些點分布在第一、第三象限，保證了描點的精確性；明確圖象是一條直線，連線時可落筆出圖.代數(shù)推理使得數(shù)學教學更具有流暢性，而教學的流暢性能使得學生具備良好的數(shù)學學習心理準備狀態(tài)，從而更加輕松完成數(shù)學學習過程.此外，還可讓學生自主完成k<0時猜圖象的過程，實現(xiàn)代數(shù)推理對幾何直觀的輔助作用.

2.2 一次函數(shù)圖象的教學——猜圖象

已知一次函數(shù)解析為y=kx+b（k≠0），不妨設k>0，b>0，此時可取y=2x+3.

根據(jù)表2中的推理，猜出函數(shù)y=3x+3的圖象如圖2所示.

作函數(shù)y=2x+3圖象的啟示：通過對解析式y(tǒng)=2x+3進行簡單的代數(shù)推理，學生猜出y=2x+3的圖象，對其有了直觀的認識.由代數(shù)推理猜出函數(shù)圖象過兩定點，不難發(fā)現(xiàn)（0，3）是一個整點，可以據(jù)此作為列表的基調(diào)；同時，函數(shù)經(jīng)過第一、第二、第三象限，說明需要圍繞點（0，3）向左和向右取點，列表水到渠成；兩點、三象限限制落點的范圍，函數(shù)圖象大棋盤井然有序，接著順次把點連，函數(shù)圖象筆下生.對于水平較高的學生，依據(jù)一次函數(shù)圖象可由正比例函數(shù)圖象平移得到，明確其圖象為一條直線，再結(jié)合兩點確定一條直線，可直接得到一次函數(shù)圖象.“經(jīng)驗重構(gòu)”心理水平是后天學習活動的過程性結(jié)果，是長期“做數(shù)學”和“用數(shù)學”的經(jīng)驗緩存和補償.從某種意義上來說，猜函數(shù)圖象為這部分學生提供了經(jīng)驗重構(gòu)系統(tǒng)，實現(xiàn)了經(jīng)驗重構(gòu)，從而找到作一次函數(shù)圖象的便捷方法；亦可改變k，b的正負，讓學生自主完成知識的遷移，猜出其他類型一次函數(shù)的圖象，進而更流暢地作出一次函數(shù)的圖象.

2.3 反比例函數(shù)的教學——猜圖象

對于新授課的學生而言，反比例函數(shù)的圖象是復雜的、陌生的.劉海兵受授課教師的啟發(fā)，把由式想形到取點畫圖看成研究函數(shù)圖象的“序”，跟猜函數(shù)圖象的想法不謀而

（1）函數(shù)圖象在原點是間斷的；

（2）列表分兩步，可以先列x軸正半軸部分，再列負半軸部分；

（3）圖象越來越接近x軸和y軸，說明函數(shù)圖象是非均勻變化的，應為曲線而非折線；

（4）圖象關于原點和直線y=x對稱，使學生在描點和連線時更加流暢，同時水平稍高的學生可由第一象限的圖象對稱得到第三象限的函數(shù)圖象.

由此可見，猜函數(shù)圖象讓學生由式想形，亦可遷移完成k<0時的代數(shù)推理，突破了對反比例函數(shù)圖象的認知障礙，可高效完成反比例函數(shù)圖象的繪制.

2.4 二次函數(shù)的教學——猜圖象

初中數(shù)學二次函數(shù)圖象的學習始于函數(shù)y=x2，在作函數(shù)圖象之前，先對y=x2進行簡單的推理.

根據(jù)表4中的推理，猜出函數(shù)y=x2的圖象如圖4所示.

作函數(shù)y=x2圖象的啟示：對于剛接觸二次函數(shù)的學生來說，二次函數(shù)是個函數(shù)與一元二次方程結(jié)合的“怪物”，猜函數(shù)的圖象讓學生提前窺探其真面目.經(jīng)過對解析式y(tǒng)=x2進行簡單的代數(shù)推理，學生猜出y=x2的圖象，對其具有直觀感受，提供簡易作圖支持系統(tǒng)：

（1）列表時聚焦坐標原點，向正負半軸取點，干凈利落；

（2）點分布在第一、第三象限，描點心中有數(shù)；

（3）心中非均勻，筆下曲線連.

y軸對稱可取巧，先畫半軸再翻折.

不難看出，猜出函數(shù)y=x2的圖象，揭開了二次函數(shù)的神秘面紗，從而就能較為輕松作出二次函數(shù)的圖象.結(jié)合平移知識，亦可讓學生猜出函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象，體現(xiàn)代數(shù)推理對于幾何直觀的輔助功能.

3 根據(jù)代數(shù)推理猜函數(shù)圖象的過程

根據(jù)函數(shù)解析式進行代數(shù)推理猜函數(shù)圖象的過程如圖5所示.

4 總結(jié)與反思

4.1 凸顯解析式推理的魅力

根據(jù)解析式進行代數(shù)推理的魅力如圖6所示.

4.2 積累由數(shù)想形的基本活動經(jīng)驗

郭玉峰、張芳的研究表明，歸納概括、類比推廣、數(shù)學表達、證明是數(shù)學基本活動經(jīng)驗的4個關鍵因素，是學生數(shù)學創(chuàng)新能力培養(yǎng)的關鍵.通過解析式的簡單代數(shù)推理猜出函數(shù)圖象這一過程蘊含歸納、數(shù)學表達的基本活動經(jīng)驗.在學習了正比例函數(shù)圖象后，學生已經(jīng)具備了歸納和數(shù)學表達的能力.而正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)屬于同類知識，猜函數(shù)圖象本質(zhì)上是一致的，因此可以進行類比推廣，提高學習效率，參見表5.

從表5中不難發(fā)現(xiàn)，學習新函數(shù)時，學生對函數(shù)圖象是陌生的，圖象知識為0.同類知識學習過程中思維排序為at2>t3>t4，經(jīng)驗的積累、思維的提升使得學習的時長不斷降低，契合大單元教學的模式和理念.

4.3 領會數(shù)形結(jié)合的基本數(shù)學思想

始于千古第一大定理——勾股定理，感悟幾何與代數(shù)結(jié)合的美，至此數(shù)形結(jié)合不僅作為解決數(shù)學問題的工具，更被提煉成一種數(shù)學思想.函數(shù)可以視為數(shù)形結(jié)合的代名詞，但僅僅把函數(shù)解析式與三部曲圖象的聯(lián)系視為數(shù)形結(jié)合遠遠不夠，數(shù)形結(jié)合不是單行線，其過程是生生不息、循環(huán)往復的.如圖6，通過代數(shù)推理，由數(shù)猜形，由推理結(jié)果確定列表、描點、連線的過程是由形寫數(shù)，再通過三部曲作出函數(shù)圖象是由數(shù)定形，最后通過函數(shù)圖象驗證函數(shù)解析式是由形驗數(shù).只有經(jīng)歷循環(huán)往復的數(shù)形轉(zhuǎn)化才能從真正意義上領會數(shù)形結(jié)合思想，內(nèi)化于心，外化于行.

4.4 把握函數(shù)內(nèi)容的整體性

數(shù)學整體性教學的要求是：“數(shù)學知識的教學，要注重知識的‘生長點與‘延伸點，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數(shù)學的整體性，體會對于某些數(shù)學知識可以從不同的角度加以分析、從不同層次進行理解.”根據(jù)函數(shù)解析式，進行簡單的代數(shù)推理猜出函數(shù)圖象這一過程，由數(shù)猜形，再由形驗數(shù)，對于函數(shù)內(nèi)容的學習具有普適性.從一次函數(shù)到反比例函數(shù)、二次函數(shù)，再到高中、大學學段的函數(shù)學習均有重要的作用，表明函數(shù)內(nèi)容是一個有機整體，不可分割.每一類函數(shù)圖象猜的過程核心都不變，但猜的結(jié)果不盡相同，正體現(xiàn)了知識的“生長點”與“延伸點”.因此，教師在教學中引導學生猜函數(shù)圖象的活動，把握住了整體教學觀，站在了教學的高起點，有助于學生建立良好的認知結(jié)構(gòu).