幾何畫板，讓初中數(shù)學(xué)課“活”起來

章苗

［摘? 要］ 幾何畫板是數(shù)學(xué)教學(xué)中幫助學(xué)生直觀體驗(yàn)圖形變化，培養(yǎng)學(xué)生空間意識(shí)的重要工具. 幾何畫板的使用，使抽象的圖形變化更加具體形象，從而從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，激發(fā)課堂的活力，使學(xué)生從親身體驗(yàn)中生成自我認(rèn)識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)和內(nèi)涵，感受數(shù)學(xué)的魅力.

［關(guān)鍵詞］ 幾何畫板；課堂活力；實(shí)質(zhì)內(nèi)涵

函數(shù)與幾何是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩個(gè)重要方面，對(duì)于初中階段的學(xué)生剛剛接觸幾何圖形的相關(guān)證明來說，是一個(gè)困擾許多學(xué)生的難點(diǎn). 同時(shí)初中階段開始初步體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)圖象的變化也常常讓很多學(xué)生“望而生畏”，然而這些內(nèi)容又是初中數(shù)學(xué)教學(xué)和考察的重點(diǎn)內(nèi)容，不容忽視. 圖形的變化較為抽象，學(xué)生缺少實(shí)際的體驗(yàn)和感受，在學(xué)習(xí)過程中只能依靠記憶和模仿，生硬的套用公式或者總結(jié)的規(guī)律進(jìn)行運(yùn)用，難以調(diào)動(dòng)知識(shí)進(jìn)行綜合運(yùn)用，在遇到復(fù)雜性的綜合題時(shí)就變得一籌莫展了. 因此教師要嘗試創(chuàng)造學(xué)生能夠親身感受的平臺(tái)，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展，真正開展思維活動(dòng)，激發(fā)思維碰撞的火花，才能為課堂注入鮮活的生命力.

幾何畫板的使用為教師的教學(xué)提供了一個(gè)更加便捷的工具，使圖形變化的呈現(xiàn)更加生動(dòng)，使數(shù)學(xué)課堂“活”了起來. 幾何畫板能夠使靜止的圖形呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)性，具備非常強(qiáng)大的圖形、圖象變化和動(dòng)畫演示功能，并且?guī)缀萎嫲迨褂梅奖?，?jiǎn)明樸素，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了一種便捷的方法. 幾何畫板可以給學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)時(shí)提供一種幾何實(shí)驗(yàn)的情境，為教學(xué)中研究幾何圖形的變化提供了更加便捷的平臺(tái). 因此，教學(xué)中研究幾何畫板如何更加有效地使用具有非常重要的價(jià)值.

幾何畫板，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶給很多學(xué)生的感受都是枯燥乏味的，為了應(yīng)試被動(dòng)學(xué)習(xí)，常常容易產(chǎn)生厭倦的不良情緒，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提不起興趣. 事實(shí)上，數(shù)學(xué)是一門非常有魅力的學(xué)科，仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)生活中處處都有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的神奇無處不在. 之所以學(xué)生難以感受數(shù)學(xué)之美，是因?yàn)樵诮虒W(xué)中教師的教學(xué)模式過于僵化，一直停留在“教師講學(xué)生聽”的層面，沒有為學(xué)生創(chuàng)造思考互動(dòng)的平臺(tái)，留給學(xué)生交流練習(xí)的空間非常有限，導(dǎo)致學(xué)生感受不到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣. 新課程的學(xué)習(xí)理念要求課程內(nèi)容活動(dòng)化，學(xué)生能夠在活動(dòng)中收獲知識(shí)，就需要教師在教學(xué)中開展豐富的體驗(yàn)活動(dòng)，使學(xué)生增強(qiáng)自身感受，獲得體悟. 幾何畫板能夠向?qū)W生展示圖形變化的全部過程，使圖形、色彩、聲音、文字集于一體，將復(fù)雜、靜止的畫面表現(xiàn)得更加簡(jiǎn)便、生動(dòng)，枯燥的知識(shí)變得更加生動(dòng)和具體，激發(fā)學(xué)生探究的好奇心.

幾何畫板，創(chuàng)設(shè)問題情境

問題是教學(xué)載體，有效的問題情境可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和好奇心，使教學(xué)過程更加順暢，課堂氣氛更加融洽. 利用幾何畫板進(jìn)行問題情境的創(chuàng)設(shè)可以使教學(xué)中的問題更加貼近學(xué)生的實(shí)際生活，更加生動(dòng)具體.

案例1? 九年級(jí)“圖形的旋轉(zhuǎn)”.

教師通過多媒體展示出幾個(gè)圖形動(dòng)畫，動(dòng)畫結(jié)束后，出現(xiàn)了一些圖案（如圖1所示）.

學(xué)生都被這樣驚奇的變化吸引住了，立即產(chǎn)生了濃厚的探究興趣，這樣的導(dǎo)入可以使學(xué)生很快進(jìn)入學(xué)習(xí)的狀態(tài)，調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的好奇心. 好的開始是成功的一半，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣已經(jīng)為課堂教學(xué)的順利展開奠定了基礎(chǔ)，在學(xué)習(xí)動(dòng)力的驅(qū)使下，學(xué)生能夠結(jié)合具體的學(xué)習(xí)情境，調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)，運(yùn)用思維能力進(jìn)行分析、聯(lián)想和類比等方法，深入學(xué)習(xí)探索，掌握?qǐng)D形的“平移”“旋轉(zhuǎn)”等概念和知識(shí)，并且會(huì)運(yùn)用知識(shí)遷移解決具體問題，學(xué)會(huì)怎樣進(jìn)行自主作圖. 教師引導(dǎo)學(xué)生深入理解圖形旋轉(zhuǎn)的概念，不僅學(xué)會(huì)圖形的旋轉(zhuǎn)知識(shí)，并且引領(lǐng)學(xué)生自己設(shè)計(jì)圖案，課堂進(jìn)行展示，讓學(xué)生感受收獲學(xué)習(xí)成果的喜悅.

在本章節(jié)中的中心對(duì)稱知識(shí)也可以利用幾何畫板進(jìn)行演示，加強(qiáng)學(xué)生的印象，深入理解變換過程中坐標(biāo)的變化. 如圖2中，任意移動(dòng)圖中的點(diǎn)A、B、C以及A′、B′、C′中的任意一點(diǎn)，改變?cè)芯€段的長(zhǎng)度或者方向，圖中的坐標(biāo)也會(huì)隨之改變，呈現(xiàn)出具體的數(shù)值，可以讓學(xué)生直觀地看到各對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的變化與原有的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系.

幾何畫板，指引思考方向

學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的增加是從體驗(yàn)中不斷獲得知識(shí)和產(chǎn)生感受的過程，只有從直接的體驗(yàn)中才能收獲知識(shí)學(xué)習(xí)的意義. 因此教師需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)學(xué)生體驗(yàn)的情境和活動(dòng)，讓學(xué)生能夠從做中學(xué)，實(shí)踐和做事的過程就是學(xué)習(xí)的過程.

案例2? “直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué).

本課的教學(xué)內(nèi)容較為抽象，因此學(xué)生在理解直線與圓的不同位置關(guān)系時(shí)容易出現(xiàn)較大的困擾，為了便于學(xué)生的理解，筆者在課前要求學(xué)生收集大量相關(guān)的實(shí)際素材，從實(shí)際生活中查找相關(guān)的資料. 同時(shí)筆者在研究具體教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上預(yù)設(shè)了相關(guān)的探究問題，嘗試?yán)脦缀萎嫲逯谱鹘虒W(xué)課件增強(qiáng)感官刺激，加強(qiáng)視覺印象，為理性探究奠定基礎(chǔ). 這一教學(xué)內(nèi)容中，直線與圓的相切關(guān)系是其中的思維難點(diǎn)也是這一課的教學(xué)重點(diǎn). 課件操作如下：

（1）如圖3所示，畫出一條任意直線l和一個(gè)圓O，圓O的半徑為r，過該圓圓心O作直線l的垂線，垂足為E.

（2）拖動(dòng)直線l或直線l上的任意一點(diǎn)A或點(diǎn)B，使直線與圓的位置發(fā)生改變，學(xué)生可以從不同的位置動(dòng)態(tài)地觀察直線與圓位置的變化，并讓學(xué)生思考：直線與圓有幾個(gè)交點(diǎn)？同時(shí)注意觀察圓心到直線的距離，即線段OE的長(zhǎng)度的變化，猜想它的長(zhǎng)度與圓的半徑之間的關(guān)系.

經(jīng)過實(shí)踐操作，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)在圓與直線變化的過程中呈現(xiàn)的規(guī)律和特征：當(dāng)圓心與直線的距離小于圓的半徑時(shí)，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，它們的位置關(guān)系稱為相交；當(dāng)圓心與直線的距離與圓的半徑相等時(shí)，直線與圓只有一個(gè)交點(diǎn)，它們的位置關(guān)系稱為相切；當(dāng)圓心與直線的距離大于圓的半徑時(shí)，直線與圓沒有交點(diǎn)，它們的位置關(guān)系稱為相離.

通過幾何畫板的使用，學(xué)生的觀察更加直接，得到的感受更加深刻，擺脫了依靠生硬的記憶和生硬模仿的學(xué)習(xí)方式，提升了對(duì)知識(shí)的理解程度.

案例3圓的內(nèi)接四邊形.

教師首先應(yīng)用幾何畫板展示如圖4所示的圖形，引導(dǎo)學(xué)生思考四邊形ABCD與圓O之間的關(guān)系，同時(shí)帶領(lǐng)學(xué)生回顧已學(xué)的平行四邊形、菱形、正方形等四邊形的相關(guān)知識(shí). 接著借助幾何畫板學(xué)生開始動(dòng)手操作，任意畫圓以及圓的內(nèi)接四邊形，通過親手度量四邊形的邊、角等要素，開展小組討論，梳理四邊形的邊、角等與圓的半徑之間的關(guān)系. 經(jīng)過觀察、動(dòng)手實(shí)踐、度量等過程，學(xué)生證明了自己的猜想，得到了相關(guān)的結(jié)論.

以探究性問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐操作，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)觀察，總結(jié)形成結(jié)論，這種在問題引導(dǎo)下進(jìn)行的探究學(xué)習(xí)類似于數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的探究過程. 正是這種探究實(shí)踐和精神啟發(fā)學(xué)生能夠主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、獨(dú)立思考研究，在主動(dòng)獲取中感受數(shù)學(xué)知識(shí)形成的神奇過程，體會(huì)數(shù)學(xué)之美，感受知識(shí)的發(fā)展和形成. 實(shí)踐體驗(yàn)真理，學(xué)生在自己的親手實(shí)踐中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，能夠增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，拉近數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的距離，從而主動(dòng)輕松地掌握數(shù)學(xué)知識(shí).

幾何畫板，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

幾何畫板不僅能夠幫助學(xué)生理解一些圖形的變化和抽象的數(shù)學(xué)概念以及定理，使課堂教學(xué)更加生動(dòng)外，還能使傳統(tǒng)解題中枯燥乏味的講解更加直觀和立體，使生硬的講解更加生動(dòng)，可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)講解的缺陷.

案例4? 證明等腰三角形底邊上的點(diǎn)到腰的距離與腰上的高之間的關(guān)系.

如圖5所示，等腰三角形ABC中，AB與AC相等，BC上有任意一點(diǎn)D，DE與AB垂直，垂足為E，DF與AC垂直，垂足為F，BH與AC垂直，垂足為H. 證明：DE與DF的和與BH相等.

這是一道經(jīng)典的證明題，難度雖然不大，但是題型經(jīng)典，方法多樣，問題較為開放，對(duì)于訓(xùn)練學(xué)生的思維具有非常好的作用. 傳統(tǒng)的解題方式是通過幾何的證明完成的，較為抽象，利用幾何畫板通過平移線段可以讓學(xué)生直觀地觀察圖形之間的變化，強(qiáng)化思維印象.

變化1：當(dāng)延長(zhǎng)線或者反向延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)D，結(jié)論就和剛才不一樣了，即DE與DF的差的絕對(duì)值等于BH.

變化2：當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到等腰三角形的內(nèi)部設(shè)為點(diǎn)O（如圖6所示），根據(jù)等腰三角形的形狀進(jìn)行分類討論. 第一種，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀切∮?0度時(shí)，三角形三段高的和比腰上的高大. 第二種，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀谴笥?0度時(shí)，三角形三段高的和比腰上的高小. 第三種，當(dāng)?shù)妊切问钦切螘r(shí)，即每個(gè)角都等于60度，就可以得到結(jié)論：正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三條邊的距離的和都等于等邊三角形的一條高.

變化3：如果這個(gè)點(diǎn)不在三角形的內(nèi)部，而運(yùn)動(dòng)到等邊三角形的外面時(shí)，那么結(jié)論與剛才有所不同，但是研究的方法是一樣的. 下面我們就來進(jìn)行研究：

如圖7所示，設(shè)正三角形ABC的外面有一點(diǎn)P，點(diǎn)P到正三角形ABC三條邊或者延長(zhǎng)線即AB，AC，BC的距離分別為h，h，h，正三角形ABC的高為h，通過觀察和數(shù)據(jù)計(jì)算，學(xué)生很容易能夠發(fā)現(xiàn)等邊三角形外一點(diǎn)到邊的距離與等邊三角形的高之間的關(guān)系. 利用幾何畫板使深?yuàn)W難懂的知識(shí)變得較為容易理解，同時(shí)提高學(xué)生的抽象思維和概括能力. 學(xué)生通過自己的親手操作后，使本來無形的知識(shí)通過現(xiàn)實(shí)的有形操作來呈現(xiàn)，便于學(xué)生進(jìn)行掌握，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也從無趣變得更加生動(dòng)有趣，學(xué)生對(duì)知識(shí)的形成感到非常親切，對(duì)知識(shí)的理解自然水到渠成，學(xué)習(xí)變得輕松愉快.

幾何畫板，發(fā)展數(shù)學(xué)思想

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題中的一種重要的數(shù)學(xué)思想，圖形為數(shù)學(xué)的運(yùn)算提供了直觀的表現(xiàn)，數(shù)字為圖形的展示提供了依據(jù)，兩者結(jié)合可以使問題的解決更加形象和便捷. 在數(shù)學(xué)的發(fā)展變化中，數(shù)字與圖形在內(nèi)容上是相互聯(lián)系的，兩者相輔相成，互相推進(jìn)，在一定的條件下還能進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化. 數(shù)形結(jié)合思想使代數(shù)與幾何方法在解題時(shí)相互滲透，融合了兩種方法的優(yōu)勢(shì)，能夠使形象思維與邏輯思維完美統(tǒng)一. 幾何畫板為數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用提供了平臺(tái)，能夠有效將兩者結(jié)合在一起，為解題能力的提高提供了條件.

由于圖形和圖象的靜態(tài)性使原本相互聯(lián)系的知識(shí)和事物割裂開來，導(dǎo)致學(xué)生不能從整體上進(jìn)行觀察，也難以察覺知識(shí)之間的內(nèi)部聯(lián)系，在探究解題路徑時(shí)出現(xiàn)了障礙，難以調(diào)動(dòng)知識(shí)進(jìn)行綜合應(yīng)用. 教學(xué)中通過幾何畫板的應(yīng)用，動(dòng)態(tài)地展示問題，學(xué)生能夠自然地從整體上觀察事物，克服了靜態(tài)圖形的缺陷，調(diào)動(dòng)了思維，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的綜合運(yùn)用.

案例5九年級(jí)“相似”一章中研究隨著動(dòng)點(diǎn)變化引起的三角形內(nèi)接矩形的面積變化.

如圖8所示，在△ABO中，OA邊上任意一點(diǎn)C，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)作△ABO的內(nèi)接矩形CDEF，使矩形的一邊CD在OA邊上，點(diǎn)C在邊OA上運(yùn)動(dòng)，矩形CDEF的面積也在發(fā)生變化. 設(shè)OC為x，建立x與矩形面積之間的函數(shù)關(guān)系. 當(dāng)x發(fā)生變化時(shí)，矩形面積也會(huì)相應(yīng)變化，總結(jié)變化規(guī)律. 矩形的面積有最大值嗎？最大值是多少？

利用幾何畫板制圖，建立關(guān)于x與矩形面積之間的函數(shù)關(guān)系，接著利用幾何畫板自動(dòng)顯示當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)I（x，S）（S為矩形的面積）的運(yùn)動(dòng)軌跡，改變△ABO的形狀，當(dāng)△ABO的底邊OA或者OA邊上的高發(fā)生變化時(shí)，拋物線的形狀也隨之變化. 如果已知底邊OA或者OA邊上的高，可以計(jì)算出矩形的最大面積.

數(shù)學(xué)中的綜合性復(fù)雜問題需要運(yùn)用抽象思維能力、邏輯推理能力等，單純依靠教師很難講清楚，利用幾何畫板的強(qiáng)大功能，可以充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將數(shù)字與圖形充分結(jié)合起來，使學(xué)生被課堂教學(xué)深深地吸引，增強(qiáng)了課堂的趣味，活躍了課堂氛圍，大大激發(fā)了學(xué)生的好奇心，落實(shí)了學(xué)生的主體地位.

綜上所述是筆者在教學(xué)中對(duì)于如何使用幾何畫板進(jìn)行的教學(xué)實(shí)踐，應(yīng)用幾何畫板與信息技術(shù)相結(jié)合可以大大提高數(shù)學(xué)教學(xué)的生動(dòng)性、準(zhǔn)確性和趣味性，為傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)注入新的活力，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)課堂“活”了起來. 學(xué)生在幾何畫板的助力下探究問題，真正實(shí)現(xiàn)主體地位的落實(shí)，有效提高了課堂教學(xué)的實(shí)效性，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和綜合素質(zhì)的提高提供了有利的條件.