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    讓轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)課堂中落地生根

    2023-12-17 16:38:16楊麗娟
    求知導(dǎo)刊 2023年28期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)思想

    楊麗娟

    摘 要:文章以專題“圓中角的轉(zhuǎn)化”的課堂教學(xué)為例,說明如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透轉(zhuǎn)化思想——巧設(shè)情境,增強(qiáng)轉(zhuǎn)化的意識;知識回顧,尋找轉(zhuǎn)化的中介;解決問題,獲得轉(zhuǎn)化的方法。以此使學(xué)生理解轉(zhuǎn)化的作用,領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想的重要性。

    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)思想;轉(zhuǎn)化意識;轉(zhuǎn)化中介;轉(zhuǎn)化方法

    美國教育心理學(xué)家布魯納指出:掌握基本的數(shù)學(xué)思想,能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓,領(lǐng)會科學(xué)的數(shù)學(xué)思想對提升思維品質(zhì)、促進(jìn)終身學(xué)習(xí)具有十分重要的意義[1]。

    轉(zhuǎn)化也稱化歸,是一種常用的數(shù)學(xué)思想,是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題進(jìn)行變換、轉(zhuǎn)化,進(jìn)而解決問題的一種思維策略。其實(shí)質(zhì)就是在已有知識的基礎(chǔ)上,利用各種變換解決問題。在教學(xué)中,教師可適當(dāng)?shù)赝诰蚪虒W(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想,并逐步實(shí)現(xiàn)滲透和應(yīng)用。本文以數(shù)學(xué)專題“圓中角的轉(zhuǎn)化”的課堂教學(xué)為例,說明如何從增強(qiáng)轉(zhuǎn)化意識、尋找轉(zhuǎn)化中介、獲得轉(zhuǎn)化方法三方面著手,幫助學(xué)生理解轉(zhuǎn)化思想。

    一、巧設(shè)情境,增強(qiáng)轉(zhuǎn)化意識

    圓是重要的基本圖形,在長期的探索與研究中,人們發(fā)現(xiàn)了許多圓的相關(guān)性質(zhì)。同時,角是圖形的重要元素,很多較為復(fù)雜的圖形都涉及角。圓錐曲線是初中階段的難點(diǎn)知識,學(xué)生在初次接觸時容易感到困難。而圓的特征賦予角極強(qiáng)的活性,如果將圓中的角進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化,許多難題便能迎刃而解。教師可以在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)有趣的問題情境,讓學(xué)生在解決問題的過程中感受轉(zhuǎn)化思想、增強(qiáng)轉(zhuǎn)化意識。

    情境引入:

    如圖1,在“世界杯”足球預(yù)選賽中,甲帶球向?qū)Ψ角蜷TPQ進(jìn)攻。當(dāng)他帶球沖到A點(diǎn)時,同伴乙已經(jīng)助攻沖到B點(diǎn)。現(xiàn)有兩種射門方式:第一種,甲直接射門;第二種,甲將球傳給乙,由乙射門。僅從射門角度考慮,應(yīng)選擇哪種射門方式?為什么?

    分析:僅從射門角度考慮射門方式即比較∠A與∠B的大小。連接PD,根據(jù)同弧所對的圓周角相等,發(fā)現(xiàn)∠PDQ=∠B,而∠PDQ是△PAD的外角,∠PDQ>∠A,于是∠B>∠A。因此,由乙在點(diǎn)B處射門有利。

    如果連接QC,同樣可以得出答案。

    設(shè)計意圖:添加輔助線,就是利用同弧所對的圓周角相等,將∠B轉(zhuǎn)化到∠PDQ,從而實(shí)現(xiàn)∠A與∠B的大小比較。這一問題情境可以讓學(xué)生意識到圓內(nèi)角轉(zhuǎn)化的重要性,產(chǎn)生探究轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)需。

    二、知識回顧,尋找轉(zhuǎn)化中介

    中介是指在不同事物或同一事物內(nèi)部對立兩極之間起居間聯(lián)系作用的部分。要進(jìn)行圓中角的轉(zhuǎn)化,就要尋找轉(zhuǎn)化的中介。

    例:如圖2-1,點(diǎn)A、B、C在⊙O上。

    問題1:你找到了哪些與⊙O有關(guān)的角?這些角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?

    分析:利用圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等,得∠BOC=100°,利用圓周角的度數(shù)等于它所對的弧上圓心角度數(shù)的一半,得∠BAC=50°;利用等邊對等角,由半徑OB=OC,得∠OBC=∠OCB=40°。由此獲得轉(zhuǎn)化中介——半徑,實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化。

    分析:利用同弧或等弧所對的圓周角相等,由∠BAC=50°得∠BDC=50°。由此強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化中介——弧,說明位置變化,數(shù)量關(guān)系不變。

    分析:利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ),由∠BAC= 50°,得∠BEC=130°,進(jìn)而得∠BEF =50°,因此∠BEF=∠BAC,說明圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角。由此獲得轉(zhuǎn)化中介——圓的內(nèi)接四邊形,實(shí)現(xiàn)圓外角與圓內(nèi)角的轉(zhuǎn)化。

    分析:利用切線的性質(zhì),得∠OCG=∠OCH= 90°;利用余角的性質(zhì),由∠OCB=40°得∠BCH= 50°,因此∠BCH=∠BAC。由此獲得轉(zhuǎn)化中介——切線,實(shí)現(xiàn)弦切角與圓內(nèi)角的轉(zhuǎn)化。

    設(shè)計意圖:以一道操作題引出問題串,使圖形由淺入深。在保證學(xué)生思維連貫的前提下,通過動手動腦,既對圓中角的相關(guān)知識進(jìn)行了回顧,又探索獲得了圓中角轉(zhuǎn)化的中介,為利用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題做好鋪墊。

    三、解決問題,獲得轉(zhuǎn)化方法

    轉(zhuǎn)化的方法靈活多樣,既與實(shí)際問題的內(nèi)容和特點(diǎn)有關(guān),也與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有關(guān)。對于圓中角的轉(zhuǎn)化,在解決問題的過程中通過體驗(yàn)獲得方法,不僅可以豐富經(jīng)驗(yàn)積累,還能提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

    (一)通過熱身練習(xí),直接發(fā)現(xiàn),應(yīng)用轉(zhuǎn)化

    教師可以設(shè)計一組簡單練習(xí),直接利用轉(zhuǎn)化中介解決問題,使學(xué)生加深對轉(zhuǎn)化中介的掌握,鞏固對圓中角的轉(zhuǎn)化的理解及應(yīng)用。學(xué)生經(jīng)歷思考、交流,認(rèn)知會更深刻。

    練習(xí)1:如圖3-1,AB是⊙O的直徑,C、D、E都是⊙O上的點(diǎn),則∠C+∠D= 。

    方法1——由弧看角

    方法2——由角看弧

    設(shè)計意圖:由弧看角,直接進(jìn)行圓周角之間的等量轉(zhuǎn)化,學(xué)生容易想到。由角看弧,將圓周角轉(zhuǎn)化到圓弧上,實(shí)現(xiàn)抽象到直觀的轉(zhuǎn)變,非常簡潔。

    練習(xí)2:已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,若∠A∶∠B∶∠C=4∶3∶5,則∠D的度數(shù)是( )

    A.60° B.80° C.100° D.120°

    設(shè)計意圖:利用圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ),求∠D的度數(shù),直接轉(zhuǎn)化到∠B。由已知條件可知∠A=80°,∠B=60°,∠C=100°,因此∠D=120°。

    練習(xí)3:如圖4,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,AD與BC的延長線交于點(diǎn)E,BA與CD的延長線交于點(diǎn)F,若∠DCE=80°,∠F=25°,那么∠EDC的度數(shù)為 。

    方法1:由已知條件∠DCE=80°,∠F=25°,可知∠B=55°,利用圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角,則∠EDC=∠B=55°。

    方法2:利用圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角,由∠DCE=80°,知∠DAB=∠DCE=80°,于是∠FDA=55°,因此∠FDA的對頂角∠EDC=55°。

    設(shè)計意圖:兩種方法都利用“圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角”的性質(zhì),將圓外角轉(zhuǎn)化為圓內(nèi)角來解決問題。方法1綜合考慮兩個已知條件,思路相對簡潔。

    (二)借助難點(diǎn)突破,添線構(gòu)造,獲得轉(zhuǎn)化

    可以設(shè)計有難度的練習(xí),引導(dǎo)學(xué)生利用圓中角的轉(zhuǎn)化方法進(jìn)行添線,構(gòu)造轉(zhuǎn)化中介。學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐探索,對獲得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行反思,能夠掌握解題策略,有效突破教學(xué)重難點(diǎn)。

    A.120° B.130° C.140° D.150°

    分析:如圖5-2,連接AC,利用直徑BC構(gòu)造直角∠BAC。在Rt△ABC中,由三角函數(shù)可知∠B=30°,于是得到∠D=150°。

    設(shè)計意圖:利用直徑構(gòu)造直角,借助直角三角形實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化。

    練習(xí)5:如圖6-1,PA是⊙O的切線,切點(diǎn)為A,PO的延長線交⊙O于點(diǎn)B,連接AB。若∠P=40°,則∠B的度數(shù)為( )

    A.20° B.25° C.40° D.50°

    分析:如圖6-2,連接OA,利用切線PA構(gòu)造直角∠PAO。在Rt△PAO中,由∠P=40°得到∠POA=50°,從而求得∠B=25°。

    設(shè)計意圖:利用切線構(gòu)造直角,借助直角三角形的兩個銳角互余,實(shí)現(xiàn)圓中角的轉(zhuǎn)化。

    練習(xí)6:如圖7-1,已知AB是⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),CD⊥AB于點(diǎn)D,E是OB上一點(diǎn),CE、AG交于點(diǎn)F。求證△ACG∽△AFC。

    分析:題目已經(jīng)滿足一對公共角相等的條件,即∠CAG=∠FAC。因?yàn)橐阎獥l件不涉及兩三角形的邊長,所以考慮借助圓中角的轉(zhuǎn)化,再求證一對角相等,從而證得兩三角形相似。

    方法1:利用同弧,構(gòu)造等角。如圖7-2,連接BC,得∠B=∠F;由直徑AB知∠ACB=90°?!逤D⊥AB,∴∠ADC=90°。由同角的余角相等,得到∠B=∠ACD,因而∠F=∠ACD,證得結(jié)論。

    設(shè)計意圖:方法2通過添加輔助線,構(gòu)造垂徑定理基本圖形,由垂徑定理得到等弧。由等弧得到等角,進(jìn)行圓中角的轉(zhuǎn)化,有利于學(xué)生將陌生圖形轉(zhuǎn)變?yōu)樽约菏煜さ膱D形。

    練習(xí)7:如圖8-1,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,則∠CAD的度數(shù)為( )

    A.68° B.88° C.90° D.112°

    設(shè)計意圖:有些圖形問題雖然從表面上看與圓無關(guān),但若能發(fā)現(xiàn)其中共圓的點(diǎn)、隱含的圓,就能運(yùn)用圓中角的轉(zhuǎn)化解決問題,讓問題實(shí)現(xiàn)從復(fù)雜到簡單、從隱性到顯性的轉(zhuǎn)變。

    結(jié)語

    文中以圓中角的轉(zhuǎn)化為例,讓學(xué)生掌握如何應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決問題,感受轉(zhuǎn)化的作用,即化抽象為直觀、化生疏為熟悉、化復(fù)雜為簡單、化隱性為顯性,進(jìn)而領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

    [參考文獻(xiàn)]

    王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2014.

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