讓轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學課堂中落地生根

楊麗娟

摘 要：文章以專題“圓中角的轉(zhuǎn)化”的課堂教學為例，說明如何在數(shù)學課堂教學中滲透轉(zhuǎn)化思想——巧設情境，增強轉(zhuǎn)化的意識；知識回顧，尋找轉(zhuǎn)化的中介；解決問題，獲得轉(zhuǎn)化的方法。以此使學生理解轉(zhuǎn)化的作用，領會數(shù)學思想的重要性。

關鍵詞：數(shù)學思想；轉(zhuǎn)化意識；轉(zhuǎn)化中介；轉(zhuǎn)化方法

美國教育心理學家布魯納指出：掌握基本的數(shù)學思想，能使數(shù)學更易于理解和記憶。數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂和精髓，領會科學的數(shù)學思想對提升思維品質(zhì)、促進終身學習具有十分重要的意義［1］。

轉(zhuǎn)化也稱化歸，是一種常用的數(shù)學思想，是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用某種手段將問題進行變換、轉(zhuǎn)化，進而解決問題的一種思維策略。其實質(zhì)就是在已有知識的基礎上，利用各種變換解決問題。在教學中，教師可適當?shù)赝诰蚪虒W內(nèi)容中蘊含的轉(zhuǎn)化思想，并逐步實現(xiàn)滲透和應用。本文以數(shù)學專題“圓中角的轉(zhuǎn)化”的課堂教學為例，說明如何從增強轉(zhuǎn)化意識、尋找轉(zhuǎn)化中介、獲得轉(zhuǎn)化方法三方面著手，幫助學生理解轉(zhuǎn)化思想。

一、巧設情境，增強轉(zhuǎn)化意識

圓是重要的基本圖形，在長期的探索與研究中，人們發(fā)現(xiàn)了許多圓的相關性質(zhì)。同時，角是圖形的重要元素，很多較為復雜的圖形都涉及角。圓錐曲線是初中階段的難點知識，學生在初次接觸時容易感到困難。而圓的特征賦予角極強的活性，如果將圓中的角進行靈活轉(zhuǎn)化，許多難題便能迎刃而解。教師可以在教學中創(chuàng)設有趣的問題情境，讓學生在解決問題的過程中感受轉(zhuǎn)化思想、增強轉(zhuǎn)化意識。

情境引入：

如圖1，在“世界杯”足球預選賽中，甲帶球向?qū)Ψ角蜷TPQ進攻。當他帶球沖到A點時，同伴乙已經(jīng)助攻沖到B點?，F(xiàn)有兩種射門方式：第一種，甲直接射門；第二種，甲將球傳給乙，由乙射門。僅從射門角度考慮，應選擇哪種射門方式？為什么？

分析：僅從射門角度考慮射門方式即比較∠A與∠B的大小。連接PD，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，發(fā)現(xiàn)∠PDQ=∠B，而∠PDQ是△PAD的外角，∠PDQ＞∠A，于是∠B＞∠A。因此，由乙在點B處射門有利。

如果連接QC，同樣可以得出答案。

設計意圖：添加輔助線，就是利用同弧所對的圓周角相等，將∠B轉(zhuǎn)化到∠PDQ，從而實現(xiàn)∠A與∠B的大小比較。這一問題情境可以讓學生意識到圓內(nèi)角轉(zhuǎn)化的重要性，產(chǎn)生探究轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)需。

二、知識回顧，尋找轉(zhuǎn)化中介

中介是指在不同事物或同一事物內(nèi)部對立兩極之間起居間聯(lián)系作用的部分。要進行圓中角的轉(zhuǎn)化，就要尋找轉(zhuǎn)化的中介。

例：如圖2-1，點A、B、C在⊙O上。

問題1：你找到了哪些與⊙O有關的角？這些角之間有怎樣的數(shù)量關系？

分析：利用圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等，得∠BOC=100°，利用圓周角的度數(shù)等于它所對的弧上圓心角度數(shù)的一半，得∠BAC=50°；利用等邊對等角，由半徑OB=OC，得∠OBC=∠OCB=40°。由此獲得轉(zhuǎn)化中介——半徑，實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化。

分析：利用同弧或等弧所對的圓周角相等，由∠BAC=50°得∠BDC=50°。由此強調(diào)轉(zhuǎn)化中介——弧，說明位置變化，數(shù)量關系不變。

分析：利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補，由∠BAC= 50°，得∠BEC=130°，進而得∠BEF =50°，因此∠BEF=∠BAC，說明圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角。由此獲得轉(zhuǎn)化中介——圓的內(nèi)接四邊形，實現(xiàn)圓外角與圓內(nèi)角的轉(zhuǎn)化。

分析：利用切線的性質(zhì)，得∠OCG=∠OCH= 90°；利用余角的性質(zhì)，由∠OCB=40°得∠BCH= 50°，因此∠BCH=∠BAC。由此獲得轉(zhuǎn)化中介——切線，實現(xiàn)弦切角與圓內(nèi)角的轉(zhuǎn)化。

設計意圖：以一道操作題引出問題串，使圖形由淺入深。在保證學生思維連貫的前提下，通過動手動腦，既對圓中角的相關知識進行了回顧，又探索獲得了圓中角轉(zhuǎn)化的中介，為利用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學問題做好鋪墊。

三、解決問題，獲得轉(zhuǎn)化方法

轉(zhuǎn)化的方法靈活多樣，既與實際問題的內(nèi)容和特點有關，也與學生的認知結構有關。對于圓中角的轉(zhuǎn)化，在解決問題的過程中通過體驗獲得方法，不僅可以豐富經(jīng)驗積累，還能提升數(shù)學素養(yǎng)。

（一）通過熱身練習，直接發(fā)現(xiàn)，應用轉(zhuǎn)化

教師可以設計一組簡單練習，直接利用轉(zhuǎn)化中介解決問題，使學生加深對轉(zhuǎn)化中介的掌握，鞏固對圓中角的轉(zhuǎn)化的理解及應用。學生經(jīng)歷思考、交流，認知會更深刻。

練習1：如圖3-1，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的點，則∠C+∠D= 。

方法1——由弧看角

方法2——由角看弧

設計意圖：由弧看角，直接進行圓周角之間的等量轉(zhuǎn)化，學生容易想到。由角看弧，將圓周角轉(zhuǎn)化到圓弧上，實現(xiàn)抽象到直觀的轉(zhuǎn)變，非常簡潔。

練習2：已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠A∶∠B∶∠C=4∶3∶5，則∠D的度數(shù)是（ ）

A.60° B.80° C.100° D.120°

設計意圖：利用圓的內(nèi)接四邊形對角互補，求∠D的度數(shù)，直接轉(zhuǎn)化到∠B。由已知條件可知∠A=80°，∠B=60°，∠C=100°，因此∠D=120°。

練習3：如圖4，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AD與BC的延長線交于點E，BA與CD的延長線交于點F，若∠DCE=80°，∠F=25°，那么∠EDC的度數(shù)為 。

方法1：由已知條件∠DCE=80°，∠F=25°，可知∠B=55°，利用圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，則∠EDC=∠B=55°。

方法2：利用圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，由∠DCE=80°，知∠DAB=∠DCE=80°，于是∠FDA=55°，因此∠FDA的對頂角∠EDC=55°。

設計意圖：兩種方法都利用“圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角”的性質(zhì)，將圓外角轉(zhuǎn)化為圓內(nèi)角來解決問題。方法1綜合考慮兩個已知條件，思路相對簡潔。

（二）借助難點突破，添線構造，獲得轉(zhuǎn)化

可以設計有難度的練習，引導學生利用圓中角的轉(zhuǎn)化方法進行添線，構造轉(zhuǎn)化中介。學生經(jīng)歷實踐探索，對獲得的數(shù)學經(jīng)驗進行反思，能夠掌握解題策略，有效突破教學重難點。

A.120° B.130° C.140° D.150°

分析：如圖5-2，連接AC，利用直徑BC構造直角∠BAC。在Rt△ABC中，由三角函數(shù)可知∠B=30°，于是得到∠D=150°。

設計意圖：利用直徑構造直角，借助直角三角形實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化。

練習5：如圖6-1，PA是⊙O的切線，切點為A，PO的延長線交⊙O于點B，連接AB。若∠P=40°，則∠B的度數(shù)為（ ）

A.20° B.25° C.40° D.50°

分析：如圖6-2，連接OA，利用切線PA構造直角∠PAO。在Rt△PAO中，由∠P=40°得到∠POA=50°，從而求得∠B=25°。

設計意圖：利用切線構造直角，借助直角三角形的兩個銳角互余，實現(xiàn)圓中角的轉(zhuǎn)化。

練習6：如圖7-1，已知AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，CD⊥AB于點D，E是OB上一點，CE、AG交于點F。求證△ACG∽△AFC。

分析：題目已經(jīng)滿足一對公共角相等的條件，即∠CAG=∠FAC。因為已知條件不涉及兩三角形的邊長，所以考慮借助圓中角的轉(zhuǎn)化，再求證一對角相等，從而證得兩三角形相似。

方法1：利用同弧，構造等角。如圖7-2，連接BC，得∠B=∠F；由直徑AB知∠ACB=90°?！逤D⊥AB，∴∠ADC=90°。由同角的余角相等，得到∠B=∠ACD，因而∠F=∠ACD，證得結論。

設計意圖：方法2通過添加輔助線，構造垂徑定理基本圖形，由垂徑定理得到等弧。由等弧得到等角，進行圓中角的轉(zhuǎn)化，有利于學生將陌生圖形轉(zhuǎn)變?yōu)樽约菏煜さ膱D形。

練習7：如圖8-1，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，則∠CAD的度數(shù)為（ ）

A.68° B.88° C.90° D.112°

設計意圖：有些圖形問題雖然從表面上看與圓無關，但若能發(fā)現(xiàn)其中共圓的點、隱含的圓，就能運用圓中角的轉(zhuǎn)化解決問題，讓問題實現(xiàn)從復雜到簡單、從隱性到顯性的轉(zhuǎn)變。

結語

文中以圓中角的轉(zhuǎn)化為例，讓學生掌握如何應用轉(zhuǎn)化思想解決問題，感受轉(zhuǎn)化的作用，即化抽象為直觀、化生疏為熟悉、化復雜為簡單、化隱性為顯性，進而領會數(shù)學思想，提升數(shù)學素養(yǎng)。

［參考文獻］

王永春.小學數(shù)學與數(shù)學思想方法［M］.上海：華東師范大學出版社，2014.