高觀點(diǎn)下初等數(shù)學(xué)的教學(xué)問題

苗震

【摘 要】本文研究的內(nèi)容是高觀點(diǎn)下初等數(shù)學(xué)的教育問題，研究的背景是基于我國初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)存在著或多或少的脫節(jié)性，包括我在內(nèi)的很多師范專業(yè)的學(xué)生并不能從初高中時(shí)期的全面發(fā)展，過渡到大學(xué)中的專攻一科，并且他們對于大學(xué)在學(xué)期間學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)存在著些許質(zhì)疑，大多數(shù)人認(rèn)為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)對于他們未來的工作，即中小學(xué)老師，幫助是不太大的。本文從高觀點(diǎn)下來看初等數(shù)學(xué)教學(xué)問題。

【關(guān)鍵詞】初等數(shù)學(xué)教育；高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)方法

一、緒 論

北京師范大學(xué)、華東師范大學(xué)、首都師范大學(xué)等等高等院校的數(shù)學(xué)教育專業(yè)，都是以培養(yǎng)優(yōu)秀的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師為目標(biāo)，而這個(gè)專業(yè)的學(xué)生畢業(yè)之后也大都從事的是初等數(shù)學(xué)教育工作。大學(xué)在學(xué)期間，一個(gè)不爭的事實(shí)是，學(xué)生們大都學(xué)習(xí)的是高等數(shù)學(xué)，他們覺得，像“中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究”、“中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法（微格教學(xué)）”、“教育心理學(xué)”這類直接可以派上“用武之地”的課程幾乎在一個(gè)學(xué)年就可以學(xué)習(xí)完畢，學(xué)習(xí)其他高等數(shù)學(xué)的東西和未來從事的工作是“不對口”的。

菲利普斯·克萊因《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中明確表示，教師應(yīng)當(dāng)具備較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。其理由是，觀點(diǎn)越高，事物就顯得越清楚[1]。而近年來，隨著新課程的全面實(shí)施和全國命題制度的全面改革，越來越多的高等數(shù)學(xué)思想在初等數(shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行了潛移默化的滲透。這足以證明，我們正在努力解決初高等數(shù)學(xué)的脫節(jié)性問題。

二、高等數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透

（一）教材與考試中高等數(shù)學(xué)思想的滲透

（三）二次型思想的滲透

最后我們再來單獨(dú)說一下利用高等代數(shù)中的知識點(diǎn)可以解決的中學(xué)問題，順便來看一下高等代數(shù)中哪些在思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中哪些知識點(diǎn)里會有體現(xiàn)。

三、高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)教學(xué)問題

（一）運(yùn)算律的教學(xué)問題

在運(yùn)算的基本定律方面，系統(tǒng)地講解結(jié)合律、交換律、分配律這些運(yùn)算律是不在中學(xué)的考慮之列的。怪不得我們真真正正接觸高等代數(shù)的向量空間的定義、抽象代數(shù)中群、環(huán)、域的定義時(shí)，我們覺得很別扭，畢竟我們高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的那些概念都是這個(gè)集合中的元素滿足不止一兩個(gè)定律就可以的，比如Abel群，不僅要滿足集合中元素的封閉性、結(jié)合律、幺元、逆元還要滿足交換律，而連續(xù)記住那一大堆什么什么律是有些難度的。如何避免我們的學(xué)生在接觸高等數(shù)學(xué)的時(shí)候遇到的這些問題呢？很簡單，在學(xué)生對數(shù)的運(yùn)算有了具體的了解并已經(jīng)掌握牢固之后，準(zhǔn)備過渡到字母符號運(yùn)算的時(shí)候，我們當(dāng)老師的就應(yīng)該借機(jī)會敘述一下，至少應(yīng)該敘述一下結(jié)合律、交換律、分配律，并舉出許多明顯的數(shù)字例子來加以說明[1]。這時(shí)候我主張，每年大學(xué)的教授可以來到中學(xué)做一次從這些運(yùn)算律引入，深入到群論等的講座，至少應(yīng)該讓大家耳濡目染一下。這樣一來，事半功倍。

（二）純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

在說到我們下一個(gè)算術(shù)的問題——數(shù)的擴(kuò)張之前。我想先談一談關(guān)于數(shù)學(xué)的邏輯和直覺之間的關(guān)系、純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)之間的關(guān)系。

其實(shí)數(shù)學(xué)的發(fā)展像是一棵大樹，根扎的越深，枝葉的生長速度也就越快?？巳R因說，我們今天可能當(dāng)成最終原則來敘述的東西過了一段時(shí)間也必然會被超越[1]。這就與馬克思主義哲學(xué)中的發(fā)展問題扯到了一起。數(shù)學(xué)的教育水平與受教育水平也是如此。我非常欣賞克萊因先生的這一段描述或比喻“把應(yīng)用拒之于數(shù)學(xué)門外，就等于只從骨架中找活生生動(dòng)物的活力，而不是考慮肌肉、神經(jīng)和組織，不考慮動(dòng)物的本能，宗旨就是不考慮動(dòng)物的生命本身”[1]。

四、再談高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)

（一）負(fù)數(shù)的引入

先說一下負(fù)數(shù)，中學(xué)里面負(fù)數(shù)的引入是極為困難的一步，因?yàn)閷W(xué)生們已經(jīng)習(xí)慣于直觀形式，而現(xiàn)在他們會覺得運(yùn)算的符號和結(jié)果與以前不盡相同了。我們在上《中學(xué)生教材教法（微格教學(xué)）》時(shí)，小組里面有一位同學(xué)試講過兩次負(fù)數(shù)的引入問題，效果并不算好，而課本上的負(fù)數(shù)的定義寫道“正數(shù)前面加個(gè)‘負(fù)號就是負(fù)數(shù)”。我在這里告訴大家，負(fù)數(shù)及負(fù)數(shù)的運(yùn)算在發(fā)展中是緩慢的有機(jī)的發(fā)展，是與事物廣泛的打交道的結(jié)果，是字母記號的運(yùn)算將負(fù)數(shù)交給了人，而過了很長一段時(shí)間，人們才有了理性的，知道我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)與嚴(yán)格的邏輯相容的法則，這就是我前面所提到的邏輯和直覺的關(guān)系。

（二）有理數(shù)和無理數(shù)的引入

再來談一下有理數(shù)和無理數(shù)。中學(xué)里面引入有理數(shù)的概念是學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)與負(fù)數(shù)之后，具體指的是整數(shù)和分?jǐn)?shù)，而無理數(shù)則是10進(jìn)制下的無限不循環(huán)小數(shù)。具體提到高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的融合，我希望中學(xué)老師能夠在引入有理數(shù)概念的時(shí)候，著重講一下有理數(shù)點(diǎn)在坐標(biāo)軸是處處稠密的思想。就是任意一個(gè)區(qū)間，都有無數(shù)多個(gè)有理數(shù)的點(diǎn)，簡單的講法就是數(shù)形結(jié)合，畫一個(gè)坐標(biāo)軸，告訴學(xué)生們，每一個(gè)空當(dāng)之間都還有無數(shù)多個(gè)有理數(shù)，這對于我們大學(xué)中的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是推波助瀾的一筆。而無理數(shù)在中學(xué)頂多也就是那幾個(gè)例子，之類的，想一想我們接觸無理數(shù)時(shí)候的心理吧！我們當(dāng)時(shí)大多都是不愿意去相信這個(gè)世界上存在無限不循環(huán)小數(shù)的，所以我認(rèn)為對于普通程度的學(xué)生，讓他們知道這個(gè)世界上存在無理數(shù)就夠了，頂多再給他們舉一些個(gè)例子，讓他們確信，僅此而已。

我們知道虛數(shù)同負(fù)數(shù)一樣，剛剛開始進(jìn)入算術(shù)計(jì)算并為得到所有人的贊同，它只是運(yùn)算需要被證明了它有“用”，萊布尼茲曾說：“虛數(shù)是圣靈的完美而奇妙的避難所，也差不多是介于存在和不存在之前的兩棲類?！边@就是超越性逐漸被人們所認(rèn)知的過程，就像初等數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生們對于一個(gè)新的概念總是喜歡問為什么會有它，它是怎么被發(fā)現(xiàn)之類的問題，然而當(dāng)他們在練習(xí)題或是實(shí)際生活中用到了這個(gè)概念或者知識，他們就會發(fā)現(xiàn)這個(gè)概念不得不提及，“迫使需要”這四個(gè)字就是不言而喻的了。

五、高觀點(diǎn)下初等數(shù)學(xué)的教學(xué)進(jìn)程問題

拘泥于課本，沒有聯(lián)系高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容來進(jìn)行初等數(shù)學(xué)教育，會造成許多不良后果，我本人就是一個(gè)例子，下面就我本人我案例，談一談初高等數(shù)學(xué)的教育進(jìn)程。

我大一的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿了艱辛，到我真正“開竅”，是到了三個(gè)學(xué)期以后。在思考自己本身的不足以外，還思考了很多關(guān)于出高等數(shù)學(xué)的教育進(jìn)程問題，我認(rèn)為如果我們換一種教育進(jìn)程，從而可以避免要“開竅”的這個(gè)過程，讓初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者自然而然的進(jìn)入高等數(shù)學(xué)的研究，會不會有更好的效果。

從最簡單的函數(shù)、多項(xiàng)式以及以正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)為代表的一元有理函數(shù)的圖象表示開始，由此得出的曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是對應(yīng)多項(xiàng)式的零點(diǎn)等知識；

在純數(shù)學(xué)的積分過程中，其結(jié)果往往不能用有理函數(shù)表示，往往會產(chǎn)生一些新的函數(shù)，所以在這個(gè)時(shí)候從邏輯推邏輯就顯得十分自然，引入新的函數(shù)也就是前后統(tǒng)一的過程。

通過一個(gè)統(tǒng)一的原理，即Taylor定理，研究函數(shù)的無窮冪級數(shù)展開式；

最后這一步是上一步驟的推進(jìn)，得出柯西—黎曼復(fù)變解析函數(shù)論。

這個(gè)進(jìn)程就把重點(diǎn)放在了各個(gè)局部領(lǐng)域的結(jié)合與聯(lián)系上，使一切變得自然而然，讓直觀和邏輯緊密相連，如果教育部真的能夠利用這種方法進(jìn)行初等數(shù)學(xué)尤其是中學(xué)數(shù)學(xué)的教育，那么初高等數(shù)學(xué)的脫節(jié)性問題能夠解決，學(xué)生們不會再需要那么長的時(shí)間適應(yīng)大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活，作為初等教育工作者的我們也會深感欣慰。

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