“線性規(guī)劃”復(fù)習(xí)的“三把鑰匙”

■四川省綿陽外國語學(xué)校 李學(xué)軍

從近幾年的高考試卷來看,線性規(guī)劃考點(diǎn)的試題多出現(xiàn)在選擇題和填空題中?？疾榉较蛑饕性谌齻€(gè)方面:一是求目標(biāo)函數(shù)的最值;二是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍;三是運(yùn)用“線性規(guī)劃”思想解決綜合性問題。考查方向的三類問題的一般解法就是“線性規(guī)劃”問題的“三把鑰匙”。以下舉例說明在高考復(fù)習(xí)備考中如何獲取這“三把鑰匙”。

一、掌握求目標(biāo)函數(shù)最值的基本方法,取得“入門鑰匙”

1.求線性目標(biāo)函數(shù)的最值

例1若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件求z=2x+y的取值范圍。

解析：根據(jù)約束條件作出可行域,如圖1所示。

圖1

目標(biāo)函數(shù)的特征直線l與AC:2x+y-4=0 平行,易得點(diǎn)A(2,0),聯(lián)立可得點(diǎn)B(6,2)。平移直線l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),z取最小值,zmin=2×2+0=4;平移直線l經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),z取最大值,zmax=2×6+2=14。所以z的取值范圍為[4,14]。

歸納：求線性目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟:①正確作圖表示可行域,注意邊界的虛實(shí);②將目標(biāo)函數(shù)變形為斜截式y(tǒng)=-2x+z;③找到目標(biāo)函數(shù)的特征直線;④在目標(biāo)函數(shù)的斜截式方程中,分析縱截距最大或最小時(shí)與目標(biāo)函數(shù)取最大或最小值的對應(yīng)關(guān)系,從而確定要計(jì)算的最優(yōu)解;⑤計(jì)算最優(yōu)解,并代入目標(biāo)函數(shù)求出目標(biāo)函數(shù)的最值。

變式1已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件

(1)求使目標(biāo)函數(shù)z=3x+y取最小值的最優(yōu)解對應(yīng)的點(diǎn)(x,y)。

(2)求使目標(biāo)函數(shù)z=x+y取最小值的最優(yōu)解對應(yīng)的點(diǎn)(x,y)。

分析：(1)如圖2,目標(biāo)函數(shù)z=3x+y化為y=-3x+z,其特征直線y=-3x的傾斜角小于可行域的邊界直線AC的傾斜角,故使z=3x+y取最小值的最優(yōu)解對應(yīng)的點(diǎn)為C(1,2)。

圖2

(2)如圖3,目標(biāo)函數(shù)z=x+y化為y=-x+z,其特征直線y=-x的傾斜角大于可行域的邊界直線AC的傾斜角,故使z=x+y取最小值的最優(yōu)解對應(yīng)的點(diǎn)為A(2,0)。

圖3

歸納：①特征直線與邊界直線的傾斜角的大小關(guān)系,直接影響最優(yōu)解的位置;②目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解有可能不止一個(gè)。

變式2若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件求x-2y的取值范圍。

分析：根據(jù)約束條件作出可行域,如圖4所示。令z=x-2y,則,易得點(diǎn)A(2,0),聯(lián)立可得點(diǎn)C(1,2)。平移直線l:經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),z取最大值,zmax=2-2×0=2;平移直線l經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),z取最小值,zmin=1-2×2=-3。

圖4

所以x-2y的取值范圍為[-3,2]。

歸納：目標(biāo)函數(shù)的最值要與截距的最值正確對應(yīng),避免在最優(yōu)解的選擇上出現(xiàn)錯(cuò)誤。

2.求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值

例2若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件的取值范圍。

解析：根據(jù)約束條件作出可行域,如圖5 所示。表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)D(6,1)連線的斜率,易得邊界直線AD的斜率=,根據(jù)傾斜角的變化范圍可知的取值范圍為。

圖5

歸納：求非線性目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟:①正確作圖表示可行域,注意邊界的虛實(shí);②把目標(biāo)函數(shù)抽象成可行域內(nèi)的點(diǎn)滿足的幾何(如斜率、距離等)要素;③根據(jù)幾何要素進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析,找到滿足條件的可行解的邊界;④根據(jù)可行解區(qū)域范圍及邊界的幾何要素的取值,寫出目標(biāo)函數(shù)的最值。

變式1若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件的取值范圍。

分析：根據(jù)約束條件作出可行域,如圖6所示。表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)E(3,4)連線的斜率,計(jì)算邊界直線的斜率得kCE=1,,受傾斜角范圍的影響,斜率(即目標(biāo)函數(shù)值)的范圍不連續(xù),故的取值范圍為。

圖6

變式2若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件求|3x+4y-3|的取值范圍。

分析：根據(jù)約束條件作出可行域,如圖7所示。|3x+4y-3|可化為,其幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)到定直線3x+4y-3=0 的距離的5 倍,其最小值為=3,最大值為=23,故|3x+4y-3|的取值范圍為[3,23]。

圖7

歸納：①抽象為斜率的非線性目標(biāo)函數(shù),應(yīng)根據(jù)傾斜角可行的變化范圍對應(yīng)出斜率的取值范圍,該范圍不一定是一個(gè)連續(xù)區(qū)間。②個(gè)別非線性目標(biāo)函數(shù)在進(jìn)行變形(配方、分離常數(shù)、配湊)后,可以抽象出斜率、距離等幾何要素,故也可以用線性規(guī)劃思想求其值域。

二、學(xué)會(huì)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)最值求參數(shù)的值,獲得“進(jìn)階鑰匙”

1.參數(shù)出現(xiàn)在約束條件中

例3已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件其中a∈R,若點(diǎn)(x,y)構(gòu)成的圖形面積為6,則實(shí)數(shù)a的值為_____。

解析：如圖8所示,直線2x+ay-4=0經(jīng)過定點(diǎn)A(2,0),由題意知△ABC的面積為6,即|BC|=6,由故點(diǎn)B(6,2),于是點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2),把C(0,2)代入2x+ay-4=0,解得a=2。

圖8

歸納：約束條件中含有參數(shù)的分析思路:①分析含有參數(shù)的邊界直線所過的定點(diǎn),及參數(shù)對此邊界直線位置的影響;②分析題目中與參數(shù)有關(guān)的數(shù)量關(guān)系,確定求解參數(shù)的方法。

2.參數(shù)出現(xiàn)在目標(biāo)函數(shù)中

歸納：目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)的分析思路:①將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式,分析參數(shù)對目標(biāo)函數(shù)的位置及最優(yōu)解的影響;②根據(jù)目標(biāo)函數(shù)取值的特征,建立參數(shù)的數(shù)量關(guān)系求參數(shù)的值。

三、掌握“線性規(guī)劃”綜合性問題的分析方法,獲得“通關(guān)鑰匙”

例5設(shè)f(x)是定義在R 上的增函數(shù),對任意的x都有f(1-x)+f(1+x)=0恒成立,若實(shí)數(shù)m,n滿足不等式組則m2+n2的取值范圍為_____。

解析：由f(1-x)+f(1+x)=0 得f(1-x)=-f(1+x)。

由f(m2-6m+23)+f(n2-8n)＜0得f(m2-6m+23)＜-f[1+(n2-8n-1)]。

所以f(m2-6m+23)＜f[1-(n2-8n-1)]=f(2-n2+8n)。

因?yàn)閒(x)是R上的增函數(shù),所以m2-6m+23＜2-n2+8n,即(m-3)2+(n-4)2＜4,所以已知約束條件可轉(zhuǎn)化為

可行域是以(3,4)為圓心,2為半徑的圓的右半部分(不含圓周和直徑),如圖10 所示,目標(biāo)函數(shù)m2+n2表示原點(diǎn)到可行域內(nèi)的點(diǎn)的距離的平方。

圖10

所以(m2+n2)min=|OA|2=32+22=13;(m2+n2)max=|OB|2=。

由于不含圓周和直徑,故m2+n2的取值范圍為(13,49)。

歸納：①注意挖掘題目中隱含的約束條件(二元一次不等式組);②靈活應(yīng)用線性和非線性目標(biāo)函數(shù)最值的求法,解決實(shí)際問題。

變式若函數(shù)f(x)=x2+1 的定義域?yàn)閇a,b],值域?yàn)閇1,5],則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)(a,b)與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為_____。

分析：由函數(shù)f(x)=x2+1的圖像(圖略)知a,b需滿足所以點(diǎn)(a,b)與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形是邊長為2的正方形,故面積為4。