解析幾何中軌跡問(wèn)題的破解策略

■江蘇省蘇州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 陳建圣

解析幾何中軌跡方程的求解一直是該知識(shí)模塊中一個(gè)最基本的問(wèn)題。在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下,解析幾何中軌跡問(wèn)題的求解也呈現(xiàn)出一些新的變化與創(chuàng)新。解析幾何中軌跡方程的求解是新高考中的一個(gè)基本考點(diǎn),結(jié)合軌跡方程的破解策略,從不同方法與技巧入手,通過(guò)實(shí)例剖析新高考軌跡方程求解的一些創(chuàng)新與變化,引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)備考。

1.直譯法

直接通過(guò)題目條件加以直譯,抓住破解的基本策略,即通過(guò)建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代換、證明這五個(gè)步驟來(lái)構(gòu)建關(guān)系與確定軌跡。

例1在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),平面內(nèi)兩點(diǎn)G,M同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:①G是△ABC三條邊中線的交點(diǎn);②M是△ABC的外心;③GM∥AB。

(1)求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程;

(2)若點(diǎn)P(2,0)與(1)中軌跡上的點(diǎn)E,F三點(diǎn)共線,求|PE|·|PF|的取值范圍。

解析：(1)設(shè)C(x,y)(y≠0),G(x0,y0),M(xM,yM)。因?yàn)镸是△ABC的外心,所以M在線段AB的中垂線上,可得xM=0。因?yàn)镚M∥AB,所以yM=y0。

(2)因?yàn)镻,E,F三點(diǎn)共線,所以P,E,F三點(diǎn)所在直線斜率存在且不為0。

點(diǎn)評(píng):此題借助動(dòng)點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的△ABC的相關(guān)幾何特征,從更高的視角、間接條件并融合多個(gè)信息加以巧妙設(shè)置,難度中等,但信息量大,對(duì)同學(xué)們的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的要求更高,這也是新高考命題關(guān)注數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力方面的創(chuàng)新點(diǎn)之一。

2.定義法

根據(jù)題目條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線(如圓、橢圓、雙曲線或拋物線),結(jié)合對(duì)應(yīng)曲線的定義來(lái)探求對(duì)應(yīng)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

例2如圖1,在一張紙上有一圓C:,折疊紙片使圓C上某一點(diǎn)M1恰好與點(diǎn)M重合,這樣每次折疊都會(huì)留下一條折痕EF,設(shè)折痕EF與直線M1C的交點(diǎn)為T。

(1)求證:||TC|-|TM||為定值,并求出點(diǎn)T的軌跡Г的方程。

(2)已知點(diǎn)A(2,1),直線l交軌跡Г于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ的斜率之和為0。若,求△PAQ的面積。

(2)由(1)知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線Г的右支上,因?yàn)橹本€AP,AQ的斜率之和為0,不妨設(shè)kAP＞0,則kAQ＜0。

點(diǎn)評(píng):此題巧妙地設(shè)置“||TC|-|TM||為定值”的證明,這也是問(wèn)題的切入點(diǎn),合理設(shè)置“臺(tái)階”指引同學(xué)們思考并加以探究,并有效結(jié)合圓錐曲線的定義,利用定義法來(lái)確定對(duì)應(yīng)的軌跡問(wèn)題,從而有效降低難度,這也是新高考在命制試題時(shí)關(guān)注試題的梯度性與可操作性的一個(gè)重要體現(xiàn)。

3.代入法(或相關(guān)點(diǎn)法)

利用動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(a,b)(該動(dòng)點(diǎn)在某已知曲線上)的變化而變化,進(jìn)而通過(guò)構(gòu)建參數(shù)之間的關(guān)系,將參數(shù)a、b代入已知曲線的方程而得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

例3已知直線x-2y+1=0 與圓C:x2+y2-4x+2y-a=0交于A,B兩點(diǎn),CA⊥CB。

(1)求實(shí)數(shù)a的值;

(2)若點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng),O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。

點(diǎn)評(píng):此題借助平面向量這一基本數(shù)學(xué)工具,構(gòu)建動(dòng)點(diǎn)與相關(guān)點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系,為軌跡的確定與方程的求解構(gòu)建聯(lián)系。此類問(wèn)題經(jīng)常通過(guò)線段長(zhǎng)度的比較關(guān)系來(lái)設(shè)置,利用向量知識(shí)的引入或向量法的應(yīng)用,這是命題人關(guān)注試題的交匯性與應(yīng)用性的一種手段。

4.交軌法

當(dāng)問(wèn)題涉及兩動(dòng)曲線的交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題時(shí),往往通過(guò)解方程組的方法確定交點(diǎn)(含參數(shù))的坐標(biāo),借助消參數(shù)求得對(duì)應(yīng)的軌跡方程。交軌法往往與參數(shù)法綜合起來(lái)應(yīng)用。

例4已知拋物線C:x2=4y,過(guò)其焦點(diǎn)F的直線與C相交于A,B兩點(diǎn),分別以A,B為切點(diǎn)作C的切線,相交于點(diǎn)P。

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;

(2)若PA,PB與x軸分別交于Q,R兩點(diǎn),令△PAB的面積為S1,四邊形PRFQ的面積為S2,的最小值。

解析：(1)拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F(0,1),設(shè)。

設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,與拋物線的方程聯(lián)立,消去參數(shù)y并整理可得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4。

點(diǎn)評(píng):此題其實(shí)是拋物線方程的一個(gè)“二級(jí)結(jié)論”:過(guò)拋物線的焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)的切線方程的交點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,是一個(gè)定值問(wèn)題。涉及圓錐曲線的一些定值(定點(diǎn)、定直線、定曲線等)問(wèn)題,這也是新高考在命制試題時(shí)創(chuàng)新設(shè)置的基本類型之一,以“二級(jí)結(jié)論”的形式來(lái)考查基礎(chǔ)知識(shí)與基本能力等。

在“三新”(新教材、新課程、新高考)背景下,進(jìn)一步落實(shí)“雙減”政策與新課改理念,積極貫徹《總體方案》要求,解析幾何中軌跡問(wèn)題的求解成為該知識(shí)模塊中落實(shí)“四基”的常見方式,探究基礎(chǔ),挖掘本質(zhì),嘗試創(chuàng)新,著力能力,進(jìn)而堅(jiān)持開放創(chuàng)新與核心素養(yǎng)導(dǎo)向,更加注重?cái)?shù)學(xué)的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用。