探究性創(chuàng)設(shè)情境,存在性問題解決
——圓錐曲線

■福建省尤溪第一中學(xué) 周 平

探究性問題是一種古老的題型,對(duì)被測(cè)試對(duì)象的潛能及創(chuàng)新能力的考查具有獨(dú)特之處,雖歷經(jīng)滄桑,但經(jīng)久不衰,是試題類型的一顆常青樹;無(wú)論是何種類型、何種層次的考試,探究性問題總是備受命題者的青睞。圓錐曲線中的探究性問題經(jīng)常以點(diǎn)的存在性、直線的存在性及參數(shù)的存在性等方式創(chuàng)新設(shè)置,借助是否存在的判斷來(lái)考查。解決的方法往往是把探究性問題轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等,再加以巧妙地轉(zhuǎn)化與應(yīng)用。

一、點(diǎn)的存在性問題

例1已知雙曲線0,b＞0)的離心率為,點(diǎn)A(6,4)在雙曲線C上。

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程。

(2)已知過點(diǎn)B(1,0)的直線l與雙曲線C交于D,E兩點(diǎn),試問:在x軸上是否存在定點(diǎn)P,使得為常數(shù)? 若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及該常數(shù)的值;若不存在,請(qǐng)說明理由。

點(diǎn)評(píng):在處理此類點(diǎn)的存在性探究問題時(shí),經(jīng)常是借助題設(shè)條件設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo),假設(shè)所探究的問題存在,進(jìn)而將該點(diǎn)的坐標(biāo)作為“已知”代入題設(shè)條件中去推理、去運(yùn)算,如果推理或運(yùn)算的結(jié)果得到的是一個(gè)確定的答案,這就說明假設(shè)成立,由此作出正面的回答;如果推理或運(yùn)算的結(jié)果得到的是一個(gè)矛盾的結(jié)果,這就說明假設(shè)不成立,由此作出反面的回答。結(jié)合題中信息,通過點(diǎn)的結(jié)構(gòu)特征,合理設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵所在。

二、直線的存在性問題

例2已知雙曲線Γ。

解析：(1)由,又a2+b2=c2,得b2=4,所以b=2。

因?yàn)閍=1,所以雙曲線Γ的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0),漸近線方程為y=±2x。

假設(shè)存在被點(diǎn)M(1,1)平分的弦,設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2,y1+y2=2。

因?yàn)锳,B在雙曲線Γ上,所以=1,兩式相減得(x1+x2)(x1-x2)=。

代入雙曲線Γ的方程得20x2-40x+21=0,因?yàn)棣?402-4×20×21=-80＜0,故AB與雙曲線Γ無(wú)交點(diǎn),假設(shè)不成立。

故不存在被點(diǎn)M(1,1)平分的弦。

點(diǎn)評(píng):在解決一些圓錐曲線中的探究性問題時(shí),對(duì)于結(jié)論不存在的探究,往往可以假設(shè)其結(jié)論的存在性,通過合理的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算,產(chǎn)生一些矛盾的結(jié)果,進(jìn)而判斷結(jié)論不存在。以上問題中利用滿足條件的弦所在的直線與雙曲線沒有交點(diǎn),由此可以判斷滿足條件的弦不存在。

三、參數(shù)的存在性問題

例3已知F1,F2分別是雙曲線C:的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),A(-1,0)是左頂點(diǎn),且雙曲線C的離心率e=2。設(shè)過右焦點(diǎn)F2的直線l與雙曲線C的右支交于P,Q兩點(diǎn),其中點(diǎn)P位于第一象限。

(1)求雙曲線C的方程。

(2)是否存在常數(shù)λ,使得∠AF2P=λ∠PAF2恒成立? 若存在,求出常數(shù)λ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由。

解析：(1)由題意知a=1,因?yàn)?,所以c=2。

由a2+b2=c2,可得,所以雙曲線C的方程為。

(2)當(dāng)直線l的方程為x=2,即直線l的斜率不存在時(shí),解得P(2,3),數(shù)形結(jié)合可知此時(shí)△AF2P為等腰直角三角形,其中,即∠AF2P=2∠PAF2,所以λ=2。

下面證明:關(guān)系式∠AF2P=2∠PAF2對(duì)直線l的斜率存在時(shí)的情形也成立。

所以存在λ=2,使得∠AF2P=λ∠PAF2恒成立。

點(diǎn)評(píng):在解決此類探究性問題時(shí),經(jīng)常要借助探究方向的轉(zhuǎn)化來(lái)確定目的,其主要是將所探究的問題轉(zhuǎn)化為其他明確的問題,使所探究的問題更加具體、易求。特別地,在圓錐曲線問題中,對(duì)于角度、垂直等相關(guān)問題的探究,一般可以轉(zhuǎn)化為直線的斜率、向量的數(shù)量積等情況來(lái)研究。

其實(shí),涉及圓錐曲線中的探究性問題,經(jīng)常有肯定型、否定型、探索型等,形式各樣,探究的本質(zhì)不變。對(duì)于圓錐曲線中的探究性問題,往往可以根據(jù)相關(guān)的類型加以轉(zhuǎn)化,借助相關(guān)元素的存在性加以化歸,利用圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)及曲線間的位置關(guān)系等來(lái)加以解決。