立足解析幾何本質(zhì),拾級(jí)而上提升素養(yǎng)
——2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷解析幾何試題的評(píng)析和建議

■江西師范大學(xué)附屬中學(xué) 陳選明

2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷對(duì)解析幾何部分主要考查了直線、圓和三類圓錐曲線內(nèi)容,實(shí)現(xiàn)了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的全方位覆蓋。試題雖然看似平和,卻極具思維含量,真正體現(xiàn)了求解入口寬,思路多樣,突出通性通法等特點(diǎn),真實(shí)反映考生的基礎(chǔ)理解水平,在“反刷題”“反套路”上下功夫,抑制“秒殺”,不提倡一知半解所謂的“高觀點(diǎn)”。突出強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念和基本方法的深入理解和靈活掌握,注重考查學(xué)科知識(shí)的綜合應(yīng)用能力。問題設(shè)置了合理的思維強(qiáng)度,在解決問題時(shí)設(shè)置合適的運(yùn)算過程和運(yùn)算量,下面從試題的考查形式進(jìn)行評(píng)析。

一、直線與圓：回歸圓心,注重考查圓的幾何性質(zhì)

高考試題一般不會(huì)單獨(dú)考查圓,往往都是結(jié)合直線、橢圓等,這類試題的難度為中低檔。對(duì)于涉及圓的問題,只要從圓心出發(fā)思考問題,回歸圓心基本上都是可行的,也是最好的視角,正所謂“圓不離心”。

例1(2023 年全國(guó)乙卷理科第12題)已知☉O的半徑為1,直線PA與☉O相切于點(diǎn)A,直線PB與☉O交于B,C兩點(diǎn),D為BC的中點(diǎn),若的最大值為( )。

解析：由題意知,|OA|=1,,所以∠APO=45°。

故選A。

點(diǎn)評(píng):本題將直線與圓的位置關(guān)系和平面向量有機(jī)地進(jìn)行結(jié)合,同學(xué)們可以從向量數(shù)量積的概念、幾何意義、坐標(biāo)表示等多種角度進(jìn)行思考,命題人對(duì)這三種角度的難度做了比較有梯度的設(shè)置,用基本概念法需要同學(xué)們對(duì)三角函數(shù)的知識(shí)運(yùn)用熟練;用幾何意義法需要同學(xué)們有一定的平面幾何推理能力;用坐標(biāo)表示法需要同學(xué)們有較高的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理能力。該題全面考查了向量的基本概念、向量的數(shù)量積運(yùn)算、三角的恒等變形及最值、圓的幾何性質(zhì)等,深入考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想,以及同學(xué)們思維的靈活性與創(chuàng)新性。

二、圓錐曲線客觀題：回歸概念與性質(zhì),注重考查平面圖形的幾何特征

概念反映了數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征,如橢圓、雙曲線和拋物線的概念刻畫了相應(yīng)幾何對(duì)象必須滿足最典型的數(shù)量關(guān)系。首先,理解概念就是理解一個(gè)數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ),如果不理解概念,解題就無從談起。其次,解析幾何的對(duì)象是形,雖然解析幾何是用代數(shù)方法研究“形”的性質(zhì),但是其本身“形”的特征還是要充分尊重的,特別是客觀題“重概念考性質(zhì)”的特點(diǎn)更加決定了該類題的求解還是要從概念和性質(zhì)出發(fā),盡量減少運(yùn)算。

例2(2023 年全國(guó)乙卷理科第11題)設(shè)A,B為雙曲線上兩點(diǎn),則下列四個(gè)點(diǎn)中,可以作為線段AB的中點(diǎn)的是( )。

A.(1,1) B.(-1,2)

C.(1,3) D.(-1,-4)

對(duì)于選項(xiàng)A:可得kOM=1,kAB=9,則AB:y=9x-8,聯(lián)立消去y整理得72x2-2×72x+73=0,此時(shí)Δ=(-2×72)2-4×72×73=-288＜0,所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn),所以A 錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C:可得kOM=3,kAB=3,則直線AB:y=3x,由雙曲線方程可得a=1,b=3,則直線AB:y=3x為雙曲線的漸近線,所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn),故C錯(cuò)誤;

故選D。

點(diǎn)評(píng):本題涉及中點(diǎn)弦問題,解答思路為先求出以選項(xiàng)中的點(diǎn)為中點(diǎn)的直線AB的方程,再檢驗(yàn)所求直線的方程與雙曲線是否相交,若相交,則符合條件。解答本題需要逆向思維,對(duì)同學(xué)們有一定的挑戰(zhàn)性,需熟練掌握“點(diǎn)差法”、數(shù)形結(jié)合法,以及常用結(jié)論kAB·kOM=e2-1,在小題中利用一些常用結(jié)論,結(jié)合選擇支驗(yàn)證可避免小題大做。

三、解析幾何解答題：優(yōu)化解題路徑,減少解析幾何題的運(yùn)算量

解決解析幾何大題最頭疼的無疑就是運(yùn)算。解析幾何就是用代數(shù)的方法研究幾何問題,在這個(gè)過程中要經(jīng)歷文字信息、圖形特征和符號(hào)語言之間的多重轉(zhuǎn)換,大多數(shù)同學(xué)會(huì)遇到“不知如何下手”“運(yùn)算煩瑣,算不下去”等問題,他們往往對(duì)圖形的整體認(rèn)識(shí)不夠全面,對(duì)圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系把握不到位,找不到解題方法。

解析幾何的研究方法主要是代數(shù)方法,“算”是必須的,解答題的目標(biāo)定位之一就是考查運(yùn)算能力。優(yōu)化運(yùn)算需要從問題轉(zhuǎn)化與運(yùn)算途徑兩個(gè)方面進(jìn)行,將幾何問題翻譯為代數(shù)問題,充分利用幾何性質(zhì),從而減少運(yùn)算。代數(shù)方法具體體現(xiàn)為運(yùn)用方程的觀點(diǎn)與方法處理問題,運(yùn)算對(duì)象大多是建立在方程的基礎(chǔ)上,因此“方程”是求解解析幾何問題的一個(gè)“數(shù)學(xué)原點(diǎn)”,深入理解方程及其相關(guān)算理,是破除解析幾何中運(yùn)算障礙的一條可行且有效的途徑。同學(xué)們?cè)诮忸}過程中大多習(xí)慣于聯(lián)立方程,然后利用判別式、韋達(dá)定理,最后整體代入,但是一旦關(guān)系式過于復(fù)雜就可能半途而廢。因此,同學(xué)們不僅要能熟練運(yùn)用韋達(dá)定理,更要在細(xì)節(jié)上下功夫,從而優(yōu)化運(yùn)算,收到“化平庸為神奇”的效果。

例3(2023 年全國(guó)乙卷理科第20題)已知橢圓的離心率是,點(diǎn)A-2,0（ ）在橢圓C上。

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點(diǎn)(-2,3)的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M,N,證明:線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)。

所以線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)(0,3)。

點(diǎn)評(píng):本題考查的是調(diào)和線束的一個(gè)性質(zhì),即平行線被調(diào)和線束平分。當(dāng)然同學(xué)們?cè)诳紙?chǎng)中也可以用極限的觀點(diǎn)先猜測(cè)出定點(diǎn),再證明即可! 這道解析幾何很常規(guī),雖然說是極點(diǎn)極線背景下的問題,卻沒有落入套路,需要老老實(shí)實(shí)運(yùn)算,考查了解析幾何的基本思想和基本方法,對(duì)同學(xué)們的運(yùn)算能力要求很高。定點(diǎn)問題作為高考的熱點(diǎn),有很多好的方法和性質(zhì)值得探究。

通過對(duì)以上考題的分析我們可以看到,對(duì)于解析幾何部分的復(fù)習(xí),我們必須回歸教材,充分認(rèn)識(shí)解析幾何學(xué)習(xí)的本質(zhì),重視對(duì)基本概念和幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí),深化對(duì)基本知識(shí)與思想方法的理解。回歸試題的原點(diǎn),充分尊重問題的“個(gè)性特征”,進(jìn)一步展示具體問題具體分析,體現(xiàn)靈活性。回歸同學(xué)們學(xué)習(xí)的原點(diǎn),掌握問題的通性通法是根本出發(fā)點(diǎn),可以更好地促進(jìn)同學(xué)們的思維提升,全面提升同學(xué)們的核心素養(yǎng)。