基本不等式應(yīng)用的常見技巧策略

■徐州中學(xué) 孫 慧

基本不等式及其應(yīng)用是不等式模塊中的一個重要知識點,也是高考中直接應(yīng)用或間接應(yīng)用的一個重要考查點與工具,在眾多的數(shù)學(xué)知識與相關(guān)內(nèi)容中都有基本不等式的影子。利用基本不等式解決問題時,需要注意“一正,二定,三相等”這三個基本條件,這是應(yīng)用基本不等式的關(guān)鍵所在。本文結(jié)合基本不等式應(yīng)用中的常見技巧策略加以實例剖析,引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解題研究,起到拋磚引玉的作用。

一、常量巧引入,配湊法應(yīng)用

配湊法的目的就是構(gòu)建適合基本不等式應(yīng)用的基本條件——“和為定值”或“積為定值”的形式,借助對應(yīng)代數(shù)式的恒等變形與轉(zhuǎn)化,通過添加項、拆分項等技巧方法,進而利用基本不等式來解決問題。常見的配湊法就是對相應(yīng)的代數(shù)式進行配系數(shù)、湊常數(shù)等變形處理。

點評:配湊法的根本目的就是合理創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件,創(chuàng)設(shè)“積為定值”或“和為定值”這一前提條件,這就需要對題設(shè)條件或所求結(jié)論的關(guān)系式進行一些必要的配湊處理,配系數(shù)、湊常數(shù)等技巧方法經(jīng)常是借助因式分解、平方處理、增減常數(shù)等方式來達(dá)到目的,實現(xiàn)利用基本不等式來解決問題的目的。

二、乘“1”后變形,代換法應(yīng)用

代換法就是利用常數(shù)的變形,以及代數(shù)式與“1”的積、商都是自身的性質(zhì),通過代數(shù)式的變形構(gòu)造出滿足“和為定值”或“積為定值”的基本形式,符合基本不等式的應(yīng)用條件。代換法的本質(zhì)就是常數(shù)與參數(shù)之間的靈活變形與轉(zhuǎn)化,常數(shù)化成“1”是代數(shù)式等價變形的基礎(chǔ)。

例2已知x＞0,y＞0,且滿足x+2y=3xy,則2x+y的最小值為_____。

點評:代換法應(yīng)用的根本就是通過常數(shù)與關(guān)系式之間的等價關(guān)系加以合理代換處理,具體代換時,可以是乘“1”后變形,也可是乘以其他常數(shù)進行處理,特別要注意乘常數(shù)后要加以同除處理,保證代數(shù)關(guān)系式的恒等變形。

三、雙變元首選,消元法應(yīng)用

消元法就是用來解決一些比較復(fù)雜的多變元的代數(shù)式最值問題,借助題設(shè)條件,合理減少變量的個數(shù),經(jīng)常是轉(zhuǎn)化為只含有一個變量的代數(shù)式,進而利用基本不等式來分析與應(yīng)用。消元法的實質(zhì)就是減元,將多變元問題轉(zhuǎn)化為單變元問題來處理。

例3已知x＞0,y＞0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為____。

點評:消元法的根本目的就是減少變量的個數(shù),方便配湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的基本形式,為基本不等式的應(yīng)用指明方向,從而更加直觀有效地利用基本不等式來分析與求解最值。

四、多層次推進,分步法應(yīng)用

分步法就是用來解決一些比較復(fù)雜的多變元(一般是三變元及以上)的代數(shù)式最值問題,結(jié)合分步法處理,分層次合理加以逐步消元,不斷減少變量的個數(shù),進而吻合基本不等式應(yīng)用的條件,從而得以求解最值。分步法的實質(zhì)就是逐步消元,注意在多次利用基本不等式時,要保證等號成立時條件的一致性。

點評:分步法就是綜合應(yīng)用配湊法、換元法或消元法等,通過兩次及以上的基本不等式的應(yīng)用來分析與求解對應(yīng)復(fù)雜代數(shù)式的最值問題。注意在多次利用基本不等式進行分步時,要注意每步中取等號的條件的前后一致性,不能出現(xiàn)前后矛盾,這也是分步法中比較容易出錯的地方。

在實際應(yīng)用基本不等式來解決問題時,抓住基本不等式應(yīng)用的三個基本條件,或配湊法應(yīng)用,或代換法處理,或消元法解決,或分步法應(yīng)用等,掌握解決問題的“通技通法”,舉一反三,融會貫通,從而進一步養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣,提升數(shù)學(xué)能力,更好地借助基本不等式來解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。