不等式解法及證明復(fù)習(xí)策略

■江西省南昌市第三中學(xué) 劉紅坤 杜 寬

歷年高考中,不等式模塊主要考查絕對(duì)值不等式的解法、絕對(duì)值三角不等式和不等式證明等。將不等式融合到其他試題中,突出了不等式的工具性,淡化了其獨(dú)立性。下面我們對(duì)該模塊進(jìn)行分析,來(lái)理解不等式的本質(zhì),熟悉不同問(wèn)題的處理策略,積累不同題型的解題經(jīng)驗(yàn)與技巧,感悟其中蘊(yùn)含的思想方法,進(jìn)一步提高解題效率。

一、不等式的主要題型

1.含絕對(duì)值不等式的解法

評(píng)注:去掉絕對(duì)值的方法一般有以下幾種:(1)抓零點(diǎn)分區(qū)間討論;(2)平方法:利用|f(x)|＞|g(x)|?f2(x)＞g2(x)去絕對(duì)值;(3)幾何法:利用絕對(duì)值的幾何意義求解;(4)數(shù)形結(jié)合法:在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖像,利用函數(shù)圖像求解。

2.絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用

例2已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|x+3|。

(1)當(dāng)a=1時(shí),解不等式f(x)≥6;

(2)若f(x)＞-a,求a的取值范圍。

解析：(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x-1|+|x+3|。

若x≤-3,則f(x)=-2x-2≥6的解為x≤-4;

若-3＜x≤1,則f(x)=4≥6無(wú)解;若x＞1,則f(x)=2x+2≥6 的解為x≥2。

綜上可得,不等式f(x)≥6 的解集為{x|x≤-4或x≥2}。

(2)依題意f(x)＞-a,即|x-a|+|x+3|＞-a恒成立。

因?yàn)閨x-a|+|x+3|=|a-x|+|x+3|≥|a+3|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-x)(x+3)≥0時(shí)取等號(hào),所以f(x)min=|a+3|,故|a+3|＞-a,解得。

所以a的取值范圍是。

評(píng)注:運(yùn)用“f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a,f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a”可解決恒成立中的參數(shù)取值范圍問(wèn)題。

3.不等式的證明

評(píng)注:證明不等式的方法靈活多樣,但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的基本方法。要依據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行適當(dāng)變形,創(chuàng)造條件使用重要不等式、基本不等式、柯西不等式、權(quán)方和不等式等去證明,要熟悉各種證法中的推理思維方法,并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語(yǔ)言特點(diǎn)。

4.解絕對(duì)值不等式與證明不等式的綜合

例4已知關(guān)于x的不等式|2x|+|2x-1|≤m有解。

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)若a＞0,b＞0,a+b=1,證明:。

解析：(1)因?yàn)閨2x|+|2x-1|≥|2x-(2x-1)|=1,當(dāng)且僅當(dāng)2x(2x-1)≤0,即時(shí)取等號(hào),所以m≥1。

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為[1,+∞)。

(2)由題意知a+b=1,又因?yàn)?a+2b+2a+b)≥(a+b)2,所以。

評(píng)注:含絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題、存在性問(wèn)題、有解問(wèn)題是高考中的熱門(mén)題型。該類(lèi)題型常轉(zhuǎn)化為求不等式的最值問(wèn)題。在應(yīng)用柯西不等式時(shí),要注意等號(hào)成立的條件,柯西不等式在排列上規(guī)律明顯,具有簡(jiǎn)潔、對(duì)稱(chēng)的美感,運(yùn)用柯西不等式時(shí),要“一觀察、二構(gòu)造、三判斷、四運(yùn)用”。

二、不等式試題中的數(shù)學(xué)思想

例5(2023 年全國(guó)甲卷第23 題)已知a＞0,函數(shù)f(x)=2|x-a|-a。

(1)求不等式f(x)＜x的解集;

(2)若曲線y=f(x)與x軸所圍成的圖形的面積為2,求a。

解析：(1)當(dāng)x≤a時(shí),f(x)=2a-2xa＜x,即3x＞a,解得;

當(dāng)x＞a時(shí),f(x)=2x-2a-a＜x,解得x＜3a,即a＜x＜3a。

(2)結(jié)合分段函數(shù)知f(x)=畫(huà)出f(x)的草圖,如圖1所示,則f(x)與x軸圍成△ABC,△ABC的高為a,,所以|AB|=a,所以,解得a=2。

圖1

評(píng)注:本題將含有絕對(duì)值的函數(shù)先表示成分段函數(shù)的形式,綜合運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題。

在復(fù)習(xí)過(guò)程中,我們要對(duì)知識(shí)方法、數(shù)學(xué)思想歸納整理,追本溯源,提煉出通性通法所涉及的數(shù)學(xué)思想,提高運(yùn)算求解能力、變形能力、數(shù)形結(jié)合能力、邏輯推理能力等,并在具體問(wèn)題情境中能夠加以“靈活”“綜合”運(yùn)用,從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。