幾何構造法在初中數學解題過程中的妙用

李琴霞

摘要：針對初中數學解題過程中常見的數學問題，巧妙利用幾何構造法突破并巧解幾種特殊角的三角函數值、線段比例問題、三角形角與線段關系、代數最值問題、幾何最值問題，提升學生數學解題能力與綜合素養(yǎng).

關鍵詞：幾何構造；初中數學；解題過程；巧妙運用

構造法是一種富有創(chuàng)造性的解題方法，它很好地體現了數學中發(fā)現、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、試驗、探索、歸納、概括、特殊化等重要的數學方法.

利用構造法解題的思維模式是建立在靈活運用數學思想方法的基礎之上的，效果獨特，思維跨度之大，有時出乎意料，但構造不是輕而易舉之事，只有對數學知識有深刻的理解，把握其內在聯系，這樣才會從“山重水復”至“柳暗花明”.特別是在構造一些特殊幾何圖形的過程中，能更加巧妙地突破難點，解決相關問題.本文中歸納了初中數學解題過程中幾種幾何構造法的巧妙運用.

1 構造直角三角形巧解特殊角的三角函數值

例1? 求sin 15°，cos 15°，tan 15°的值.

針對此類問題，我們一般都是利用相關工具書來解答，直接求出它們具體值的大小有些困難，但如果考慮到構造直角三角形則可以巧妙破解這類問題.

如圖1，先構造Rt△ABC，令∠BAC=30°，∠C=90°，再延長CA至點D，使得AD=AB，連接BD，這樣再次構造了直角三角形BCD，從中可以計算得到∠D=15°，從而利用線段之間的關系可求解sin 15°，cos 15°，tan 15°的值.

同樣地，根據上述構造方法，也可以求出75°和22.5°的三角函數值.

2 構造最短路徑模型巧解代數最值問題

例2? 已知x為實數，則x2－4x+13+x2+2x+2的最小值為.

遇到此類問題，很難一下子找到解題思路.但是根據題意發(fā)現，x2－4x+13與x2+2x+2可以轉化為（x－2）2+32與（x+1）2+12.根據式子結構特點可以看作點P（x，0）到點A（2，3）和點B（-1，1）的距離之和.

于是，建立平面直角坐標系xOy，如圖2，點P在x軸上，[KF（]（x-2）2+3+（x+1）2+1

即表示點P到點A，B的距離和，求其最小值，符合最短路徑問題，從而建立將軍飲馬模型，巧妙解答此題.

3 構造相似三角形巧解線段比例問題

在解答求長度、比值、乘積的問題時，常要借助相似三角形的性質，這就需要在問題情景所體現的圖形中找到相似三角形.如果沒有明顯的相似三角形模型，則需要根據條件構造相似三角形[1].

例3? 如圖3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2.D為邊AB上的一點，連接CD，且tan ∠BCD=12，E為BC的中點，連接AE交CD于點F，求EFAE的值.

遇到此類問題，很難一下子找到求EF和AE的值的思路.如圖4，根據E是BC的中點，按常規(guī)思路可以延長中線構造全等三角形.故延長AE至點K，使EK=AE，連接CK，得到△ABE≌△KCE，則∠BAE=∠CKE，從而得到AB∥CK.于是得到△ADF與△KCF是相似三角形，則AFFK=ADCK，再結合tan ∠BCD=12設出EF的長度，構造方程求出相應線段的大小，從而問題得解.

4 構造三角形中位線巧解角的有關問題

當問題條件中出現兩個或兩個以上的中點條件時，常常可將它們分別看成是三角形兩邊的中點構造第三邊或者搭建具有公共邊的兩個三角形，使其能構造出兩個三角形的中位線，并轉化為相等的兩條邊，從而轉化為等腰三角形，進而解決角的有關問題[2].

例4? 如圖5，在四邊形ABCD中，AB=CD，E，F分別是BC，AD的中點，連接EF并延長，分別與BA，CD的延長線交于點M，N，則∠BME=∠CNE.

看到這個問題，我們發(fā)現∠BME和∠CNE沒有直接聯系，故不好直接比較兩個角的大小，但我們看到題干中多次提到了中點，而點E，F又不能直接連在一起形成中位線，所以此時可以根據它們所在的位置，重新構造線段.如圖6，連接BD，取BD的中點為H，連接HE，HF，從而構造了兩個三角形的中位線，很容易根據AB=CD得到HE=HF，從而得到∠HFE=∠HEF.又∠HFE=∠BME，∠HEF=∠CNE，所以∠BME=∠CNE，問題得證.

5 構造全等三角形巧解線段問題

如圖7，四邊形ABCD是正方形，一個等腰直角三角板的一個銳角頂點與點A重合，將此三角板繞點A旋轉時，兩邊分別交線段BC，CD于點M，N，試判斷BM，MN，DN長度的關系.

對于幾條線段長度之間的關系，解題時不可能采用測量的辦法，這就需要通過線段的位置進行轉化，將它們放在一條線段上或者一個三角形中，故需要重新構造三角形才能突破難點，將問題化繁為簡.于是過點A作AG⊥AN交CB的延長線于點G（如圖8），證明△ABG≌△ADN（ASA），由全等三角形的性質得出AG＝AN，BG＝DN．再證明△AMG≌△AMN（SAS）．由全等三角形的性質得出MN＝MG＝MB+BG＝MB+DN.

6 構造圓巧解幾何最值問題

例5? 如圖9，E，F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為1，試求線段DH長度的最小值．

幾何動態(tài)最值問題，最好的解決辦法就是根據題意化動為靜，確定取得最小值時的靜態(tài)問題，從而借助相關條件可以得到解答[3].根據條件很容易證明△ABE和△DCF全等，△ADG和△CDG全等，從而可得∠ABE=∠DCG，∠DCG＝∠DAG，則∠ABE＝∠DAG，然后求出∠AHB＝90°.這樣不管EF如何運動，H都是以AB為斜邊的直角三角形的頂點，故可以考慮構造圓.如圖10，以AB的中點O為圓心，以AB為直徑在正方形內部作半圓，連接OD交半圓于點H′，此時DH′即為DH的為最小值，再利用相關條件即可求解.

綜上所述，可以看出構造法在解決一些問題過程中的巧妙之處，這就需要教師在教學中要特別注意構造幾何圖形，再借助數形結合突破問題難點，讓學生從疑難之中解脫出來，提高分析解題的能力，從而更好地借助訓練提升綜合素養(yǎng).

參考文獻：

［1］王春鳳.挖掘題目信息 構造幾何模型——例談直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)[J].中學數學教學參考，2020（Z3）：3-4.

[2]宋亞洲.構造幾何模型 巧解競賽難題[J].中學生數學，2021（17）：33-34.

[3]鐵馨.“構造法”在數學解題中的運用[J].中學生數理化（學習研究），2016（10）：13.