類比推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用原則與方法

張程

類比推理是結(jié)合兩類不同事物的類似特征，根據(jù)已知事物的特征，推導(dǎo)出另一類事物特征的一種方法.這種方法推導(dǎo)出來的結(jié)論不一定準確，但存在一定的合理性，可利用證明或反例來確定其可靠性.簡而言之，這是一種由特殊到特殊的推理形式，基本范式如下：

A的性質(zhì)有：a1，a2，a3……，an，a′；B的性質(zhì)有：b1，b2，……，bn.其中，ai和bi（i=1，2，3，……，n）類似或相同.據(jù)此可推斷B具有b′的性質(zhì)，b′與a′相似或相同[1].

類比推理作為科學(xué)研究的重要方法之一，也適用于初中數(shù)學(xué)概念、解題等的教學(xué)中.掌握好這種思維，能有效地幫助學(xué)生通過已知獲得未知，實現(xiàn)思維的創(chuàng)新.

1 應(yīng)用原則

1.1 參與性原則

新課標明確提出學(xué)生才是課堂的主人.隨著新課改的推進與深入，學(xué)生已然成為當前數(shù)學(xué)課堂中的主體，教師只是起引導(dǎo)作用.想要提高教學(xué)效率，首先需調(diào)動學(xué)生參與教學(xué)活動的積極性，鼓勵學(xué)生主動、自主地參與到類比推理過程中，為更好地獲得新知奠定基礎(chǔ).

1.2 過程性原則

教師不能將眼光局限于類比推理的結(jié)論，而應(yīng)關(guān)注學(xué)生在類比推理過程中思維的發(fā)展歷程，只有領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)思想方法，才能從真正意義上實現(xiàn)思維的進步.為了啟迪學(xué)生的思維，教師可將自己的思維過程暴露出來供學(xué)生參考，讓學(xué)生從中看到類比推理的邏輯關(guān)系，從而促進自身學(xué)習(xí)能力的發(fā)展.

2 應(yīng)用方法

2.1 引入概念

概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是知識學(xué)習(xí)的首要環(huán)節(jié)，它的重要性不言而喻.隨著新課改的推進，教師的教學(xué)觀念也逐漸發(fā)生了轉(zhuǎn)化，概念教學(xué)由原來靜態(tài)的文字形式轉(zhuǎn)化成動態(tài)的教學(xué)模式，常見的有結(jié)合學(xué)生的生活素材或原有的認知結(jié)構(gòu)進行概念的引入.

新課標特別強調(diào)數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系，要求教師結(jié)合學(xué)生的生活實際進行教學(xué).其實，不少數(shù)學(xué)概念在學(xué)生的實際生活里都能找到它的原型.為此，教師可在充分了解概念內(nèi)涵與外延的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)情，利用與學(xué)生生活相關(guān)的情境，幫助學(xué)生抽象概念.

案例1? “平面直角坐標系”的教學(xué)

平面直角坐標系是一個比較抽象的概念，若運用傳統(tǒng)的“講解+練習(xí)”方式，很難讓學(xué)生產(chǎn)生形象、深刻的認識.為此，筆者結(jié)合學(xué)生的生活，采取了以下類比推理的方法來引出概念.

第一步：展示一張18排18座的電影票，要求學(xué)生說說尋找該座位的具體方法.

初中學(xué)生都有看電影的生活經(jīng)歷，根據(jù)電影票尋找座位是一件簡單且有趣的事，學(xué)生很快就能表達清楚尋找座位的方法.

問題? 為什么電影票上要運用幾排幾座來表示每個人的具體位置呢？

學(xué)生經(jīng)過交流與分析，一致認為這么編排的作用就在于讓觀眾快速找到一對一的位置，避免出現(xiàn)擁擠或座位重復(fù)的情況，同時還利于售票工作的開展.

第二步：將電影院的座位抽象成點，一個座位用一個點表示，并在此基礎(chǔ)上滲透平面直角坐標系的概念.

學(xué)生很快就能根據(jù)對電影院座位的直觀感受及電影院座位的特點，類比推理出平面直角坐標系的基本特征.

此過程，教師通過一張電影票引出座位，再引入本節(jié)課的教學(xué)主題“平面直角坐標系的概念”，學(xué)生根據(jù)自己熟悉的生活素材，很快就能抓住本節(jié)課的重點，并對此產(chǎn)生直觀、形象、深刻的認識，使得概念教學(xué)更加生動、有效.

2.2 輔助解題

解題能力體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)綜合水平與素養(yǎng).類比推理是一種重要的解題方法，它能幫助學(xué)生突破思維障礙，找到解題思路，使得原本模糊的問題變得條理清晰，亦可將原本復(fù)雜的問題，變得簡潔.初中階段的數(shù)學(xué)解題涉及到的內(nèi)容比較多，如幾何、函數(shù)、方程等問題，均需用到類比推理法.

為此，筆者針對如何更好地將類比推理法應(yīng)用于解題教學(xué)中，作了大量實踐與研究，頗有收獲.實踐證明，類比推理應(yīng)用于解題教學(xué)中，能有效地激活學(xué)生的思維，可為提高課堂教學(xué)效率奠定基礎(chǔ).

案例2? “二次函數(shù)”的教學(xué)

“二次函數(shù)”是初中階段令不少學(xué)生頭疼的一個章節(jié)，本章內(nèi)容多且復(fù)雜，既是中考的重點，也是難點.中考試卷中常以綜合類問題呈現(xiàn)，對學(xué)生知識基礎(chǔ)與思維能力的要求比較高，歷年學(xué)生的失分現(xiàn)象都比較嚴重.

問題? 在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c過點A（－2，－4），O（0，0），B（2，0）.（1）求該拋物線的解析式；（2）若M為該拋物線對稱軸上的一點，則AM+OM的最小值是多少？

分析：本題的第（1）問比較容易，只要將A，O，B三點坐標代入拋物線解析式，即可通過解方程獲得結(jié)果.第（2）問對于學(xué)生而言有點難度，學(xué)生思維的障礙點在于求最小值的方法.因此，筆者引導(dǎo)學(xué)生類比之前求最短距離的問題，作對稱點，根據(jù)兩點間線段最短，將對稱點與另一個點相連，此時與對稱軸產(chǎn)生的交點就是所要找的點，再應(yīng)用勾股定理，很快就能獲得AM+OM的最小值.

解：（1）將A，O，B三點坐標代入y=ax2+bx+c中，得y=－12x2+x.

（2）拋物線y=－12x2+x的對稱軸是直線x=1，而點O，B關(guān)于直線x=1對稱，因此連接AB，與直線x=1相交于點M，則M為待求的點，此時AM+OM的值最小.

過點A作AN垂直x軸于點N，在Rt△ABN中，由AN=BN=4，得AB=AN2+BN2=42.所以O(shè)M+AM的最小值是42.

隨著與求最短距離問題的類比，本題的解題思路愈發(fā)清晰.若一味地從題目本身去思考，則很難突破思維障礙，從而導(dǎo)致解題失敗.由此可見，類比推理在解題教學(xué)中具有無可替代的重要作用.作為教師，應(yīng)利用好類比推理方法，將它滲透于解題過程中，啟發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

2.3 引發(fā)猜想

類比猜想是指應(yīng)用類比推理法，將兩個數(shù)學(xué)研究對象或問題中存在的相似之處進行比較，推測出事物的基本屬性，獲得新的命題或方法.解題中，不論從命題的本身來說，還是從解題的思路方法來看，類比推理都能引發(fā)學(xué)生的猜想，從中獲得命題的引申與推廣的基本動力[2].

最常見的類比猜想有：①根據(jù)命題相似的條件，猜想結(jié)論的相似性；②根據(jù)命題相似的形式，猜想推理方法的相似性.在應(yīng)用類比推理法求解問題時，應(yīng)注重輔助問題的引入，輔助問題作為類比的參照，是引發(fā)猜想、形成解題思路的重要載體，從輔助問題上可預(yù)見到問題的答案.

案例3? “軸對稱圖形”的教學(xué)

教師若從理論的角度再三強調(diào)軸對稱圖形的概念與性質(zhì)，學(xué)生也很難從本質(zhì)上掌握其內(nèi)涵.而引導(dǎo)學(xué)生一起動手操作，則能引發(fā)學(xué)生的共鳴，很容易抽象出軸對稱、對稱軸與軸對稱圖形的概念.

邊操作，邊結(jié)合理論，既能突出教學(xué)重點，又能促進學(xué)生產(chǎn)生知識的正遷移[3].在了解軸對稱圖形的基礎(chǔ)上，對等邊三角形、等腰三角形、正方形、長方形、圓等圖形的性質(zhì)進行類比猜想，并通過實際操作來驗證這種猜想.

活動中，教師鼓勵學(xué)生暢所欲言，積極參與實驗與探究，在親歷圖形性質(zhì)的抽象過程中獲得相應(yīng)的結(jié)論.如此，既展現(xiàn)了“做中學(xué)”的教育理念，又充分展現(xiàn)了“體驗、發(fā)展”的教育思想.從學(xué)生感知到數(shù)學(xué)定理的形成，需經(jīng)歷一個類比推理、猜想、驗證的過程，而每個環(huán)節(jié)無不透露出數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴謹性與思維的周密性.

通過活動的開展，學(xué)生親歷操作、推理與驗證的過程，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力與創(chuàng)新意識，同時也讓學(xué)生深刻體會到數(shù)學(xué)與生活的實際關(guān)系：數(shù)學(xué)來自生活，高于生活，為生活服務(wù).

綜上可知，教學(xué)中教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容與學(xué)情，巧妙地創(chuàng)設(shè)一些類比推理的機會，以推進學(xué)生思維的發(fā)展，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來的成就感，從而增強學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率.

總之，類比推理作為一種歷經(jīng)時代考驗的科學(xué)思維方法，可將舊知靈活地應(yīng)用到新知中，使得學(xué)生快速熟悉并接納新事物，尤其是面對靈活多變的數(shù)學(xué)問題，類比推理法的應(yīng)用，能有效地打開學(xué)生的思維，促進學(xué)生創(chuàng)新意識的形成與發(fā)展.

參考文獻：

[1]郎淑雷.類比推理：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的有效方法[J].安慶：安慶師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2007（3）：119-121.

[2]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.

[3]李小英.類比遷移對數(shù)學(xué)問題解決的研究綜述[J].考試周刊，2010（8）：66-67.