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    感悟等號意義 提高運算能力

    2023-11-25 04:25:45于莎
    關(guān)鍵詞:分式括號等式

    于莎

    摘要:學(xué)生在等式的計算中常常容易出錯,因此在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解運算的算理,尋求合理簡潔的解決問題的途徑.學(xué)生對等號的意義有了深刻的理解和感悟,才能夠提高運算能力,培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)品質(zhì).

    關(guān)鍵詞:等號的性質(zhì);運算能力

    等號是數(shù)學(xué)中常見的運算符號,與等號相關(guān)的計算是代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).等號是用來表示左右相等關(guān)系的,如果等號兩邊的數(shù)字、字母或者式子不對等,學(xué)生往往會因為對等號的理解不深刻,導(dǎo)致解題出現(xiàn)錯誤.

    等號的對等性是數(shù)值大小的相等,計算的關(guān)鍵在于不改變數(shù)值的對等性.圍繞這一對等性,進(jìn)行移項、去括號、添括號、配方、約分等運算是代數(shù)運算的法則和基礎(chǔ).

    1 學(xué)生計算中常出現(xiàn)的問題以及解決策略

    1.1 運用配方法時只對等號一邊進(jìn)行運算

    例1? 解方程:3x2+8x-3=0.

    常見錯解:原方程可變形為3x2+8x=3,則

    x2+83x=3,

    x2+83x+169=3,

    x+432=3.

    于是x+43=3,x+43=-3.

    所以x1=3-43,x2=-3-43.

    錯解分析:學(xué)生解一元二次方程時,通常比較注重配方,但往往忽視了與等式性質(zhì)的結(jié)合.在將二次項系數(shù)化為1進(jìn)行配方時,容易忽略等號的右邊也要進(jìn)行同樣的運算,計算過程中等號應(yīng)兩邊始終保持相等.配方運算是建立在等式的基本性質(zhì)之上.

    在教授配方法解一元二次方程時,教師要強調(diào)等式的性質(zhì).將二次項系數(shù)化為1,不是僅僅對二次項系數(shù)化為1,而是要運用等式的性質(zhì)2,將等式中的每一項都除以二次項系數(shù),這一過程沒有改變等號兩邊的平衡.運用完全平方公式進(jìn)行配方時,配方的過程運用的是等式的性質(zhì)1,方程兩邊要同時加上一次項系數(shù)一半的平方.教學(xué)中要讓學(xué)生明白算理,展現(xiàn)前后兩個算式的形和大小是如何變化的.

    正解:將方程二次項系數(shù)化1,得x2+83x-1=0.

    移項,得x2+83x=1.

    配方,得x2+83x+432=1+432.

    即x+432=532.

    所以x+43=53,或x+43=-53.

    故x1=13,x2=-3.

    分析:等式的性質(zhì)是等式固有的運算規(guī)律,代數(shù)中的很多運算都要用到等式的性質(zhì).靈活運用等式的性質(zhì)是解決方程問題的關(guān)鍵,也是一些化簡求值題的關(guān)鍵.

    例1中將方程兩邊同時除以3把二次項系數(shù)化為1,運用的是等式的性質(zhì)2,要讓學(xué)生明白等號的右邊不是沒有除以3,只不過0除以任何數(shù)都是0.配方運用的是等式的性質(zhì)1,等號兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方,學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤是左邊加了而右邊沒加.

    例2? 求二次函數(shù)y=-12x2+x-52的頂點坐標(biāo)和對稱軸,并畫出函數(shù)圖象.

    無論是人教版還是魯教版,課本中的例題都沒有呈現(xiàn)如何將二次函數(shù)一般式轉(zhuǎn)化為頂點式.實際教學(xué)中,轉(zhuǎn)化運算是難點,也是易錯點.由于這部分內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)完利用配方法解一元二次方程后學(xué)習(xí)的,學(xué)生有了一定的基礎(chǔ),可類比計算,但兩者有不同之處.一元二次方程等號一邊是0,而二次函數(shù)等號一邊是y,計算過程中,一元二次方程若不能直接配方,則將常數(shù)項移到等號的右邊,而二次函數(shù)的一邊是y,學(xué)生不知如何運算.將二次函數(shù)一般式化為頂點式有如下三種方法.

    方法1:y=-12x2+x-52=-12(x2-2x)-52

    =-12(x2-2x+1)+12-52

    =-12(x-1)2-2.

    方法2:y=-12x2+x-52=-12(x2-2x+5)

    =-12(x2-2x+1-1+5)

    =-12(x2-2x+1)-2

    =-12(x-1)2-2.

    方法3:將二次項系數(shù)化為1(等式兩邊同時乘-2),得-2y=x2-2x+5.

    移項,得-2y-5=x2-2x.

    配方,得-2y-5+1=x2-2x+1,則-2y-4=(x-1)2,即-2y=(x-1)2+4.

    兩邊同時除以-2,得y=-12(x-1)2-2.

    分析:方法3與用配方法解一元二次方程類似,可類比學(xué)習(xí),這樣學(xué)生更易理解.方法1和方法2的不同之處在常數(shù)項的處理上面,兩種方法區(qū)別不大,用的都比較多.學(xué)生類比配方法解二次函數(shù)的相關(guān)問題時,常常出現(xiàn)的問題是等號右邊二次項系數(shù)化為1,而等號左邊的y保持不變.究其根本原因是沒有深刻理解等式的性質(zhì).提取二次項系數(shù)后,括號里面要配方,還要把多余的數(shù)字再與二次項系數(shù)相乘后放到括號外面,這里十分容易出錯.教學(xué)中要讓學(xué)生明白等號之所以成立,是因為兩邊的變形改變的只是形式,沒有改變大小.二次函數(shù)一般式化為頂點式后,教師可再次引導(dǎo)學(xué)生將頂點式通過去括號化為一般式,讓學(xué)生感受其中的變化,深刻理解等號的意義.

    1.2 解一元一次方程去分母常出現(xiàn)的問題

    例3? 解方程:3x-14-1=5x-76.

    例3是解分式方程常出現(xiàn)的習(xí)題類型,學(xué)生在解這個方程時,常常忘記1也要乘最小公倍數(shù)12.很多學(xué)生以為去分母只是去掉3x-14和5x-76這兩項的分母.教學(xué)時應(yīng)讓學(xué)生明白為何去分母以及去分母的依據(jù),只有深刻理解等號的意義,才能避免計算錯誤.

    例4? 解方程:x-30.4-x+20.5=2.5.

    學(xué)生解例4時,與例3混淆了,將分式的分子分母同時乘10時,等號的右邊2.5也乘了10.學(xué)生看到分母中有數(shù)字,就認(rèn)為要找最小公倍數(shù),而之前并沒有學(xué)習(xí)過兩個分?jǐn)?shù)之間的最小公倍數(shù),因此這個題學(xué)生無從入手.例4課本中的做法是首先通過分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),將等式中的小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù).學(xué)生出現(xiàn)的問題是將等號左邊分式的分子、分母乘10時,等號的右邊2.5也乘了10,錯誤地得到10x-304-10x+205=25.分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)也是等號意義的體現(xiàn),解這個題時,可先以0.20.5=25=410=615=0.4是如何進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化的來引導(dǎo)學(xué)生,讓學(xué)生感受分子、分母同時變化,分?jǐn)?shù)的值是不改變的.x-30.4和x+20.5運用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)整理后,沒有改變大小,講解時,可將二者上下對比,得到如下方法一.

    方法一:

    x-30.4? -? x+20.5=2.5

    10x-304-10x+205=2.5

    針對這個題,也可以拓展一下,由兩個分母0.4,0.5的最小公倍數(shù)為2,得到如下方法二.

    方法二:將方程x-30.4-x+20.5=2.5

    去分母(分母乘最小公倍數(shù)2),可得5(x-3)-4(x+2)=5,解得x=28.

    方法三:分別對x-30.4和x+20.5進(jìn)行如下化簡,得

    x-30.4=(x-3)÷0.4=(x-3)÷25=5(x-3)2,

    x+20.5=(x+2)÷0.5=(x+2)÷12=2(x+2).

    整理,得5(x-3)2-2(x+2)=2.5.

    例4的三種方法可以使學(xué)生充分理解等號的意義,等號之所以相等,體現(xiàn)在數(shù)值的不變性上.運用等式的基本性質(zhì)對式子左右兩邊進(jìn)行整體運算,運用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)對式子進(jìn)行局部化簡.

    1.3 解分式方程與分式的運算中出現(xiàn)的問題

    例5? (1)計算:4x2-4-1x-2.

    (2)解方程:1x-2=3x.

    學(xué)生進(jìn)行分式的加減時,常與解分式方程發(fā)生混淆,根源還在于沒有理解等號的意義以及運算法則.學(xué)生學(xué)完解分式方程后進(jìn)行異分母分式的加減,會按照解分式方程的步驟乘最簡公分母去掉分式的分母.分式方程是等式,解分式方程與例3解一元一次方程方程是類似的,運用的都是等式的性質(zhì);而分式的加減不是等式,運用等式的性質(zhì)顯然是錯誤的,應(yīng)該運用分式的基本性質(zhì).

    2 教學(xué)中要多角度理解等號的意義

    2.1 等式的運算只是形的改變,是等量轉(zhuǎn)化

    例6? 若3x+5y-3=0,求8x·32y的值.

    可將8和32轉(zhuǎn)化為23和25,改變了形,將數(shù)字轉(zhuǎn)化為冪的形式,進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化,運用的是轉(zhuǎn)化思想,沒有改變數(shù)值的大小.

    8x·32y=(23)x·(25)y=23x·25y=23x+5y=23=8.

    2.2 等號的左右相等可進(jìn)行互逆運算

    例8? 已知x-2y=3,求代數(shù)式3-2x+4y的值.

    分析:去括號與添括號、整式的乘除與因式分解等等都可看做互逆運算.學(xué)生對于去括號的運算學(xué)習(xí)容易理解,添括號就難一點.例8這個習(xí)題在六年級的習(xí)題中經(jīng)??疾?,包含了添括號和整體思想.3-2x+4y=3-(2x-4y)=3-2(x-2y)=3-2×3=-3.

    計算過程中,雖然出現(xiàn)了括號,形式發(fā)生了改變,但大小沒有改變,教學(xué)中可進(jìn)行互逆轉(zhuǎn)化,讓學(xué)生深刻感受等號的意義.

    2.2 借助等號的意義實現(xiàn)簡便運算

    例7? 解方程:(1)96 000x=102 000x+500;

    (2)1 400x-14002.8x=9.

    實際問題中方程的數(shù)值都比較大,學(xué)生計算容易出現(xiàn)錯誤.運用等式的性質(zhì)或者分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可使運算更加簡便.

    (1)對于方程96 000x=102 000x+500,等式兩邊同時除以2 000,可化簡為48x=51x+500.

    (2)對于方程1 400x-1 4002.8x=9,可運用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)將其化簡為1 400x-500x=9,從而使計算量大大減少.

    等號的意義不僅僅在于表示運算的結(jié)果,更要讓學(xué)生理解其中的算理.學(xué)生雖然已經(jīng)有一定的抽象運算能力,但很大程度上還停留在具體數(shù)字的運算層面,初中學(xué)生的思維正處在從具體到抽象的過渡期.因此,教師在授課時,要注意借助具體、形象的模型或事物幫助學(xué)生理解問題,促進(jìn)其數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展.

    運算能力是初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一,提升運算能力有助于學(xué)生理解運算的算理,尋求合理簡潔的途徑解決問題.學(xué)生對等號的意義有了深刻的理解和感悟,才能夠提高運算能力,培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)品質(zhì).

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