感悟等號意義 提高運算能力

于莎

摘要：學(xué)生在等式的計算中常常容易出錯，因此在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解運算的算理，尋求合理簡潔的解決問題的途徑.學(xué)生對等號的意義有了深刻的理解和感悟，才能夠提高運算能力，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)品質(zhì).

關(guān)鍵詞：等號的性質(zhì)；運算能力

等號是數(shù)學(xué)中常見的運算符號，與等號相關(guān)的計算是代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).等號是用來表示左右相等關(guān)系的，如果等號兩邊的數(shù)字、字母或者式子不對等，學(xué)生往往會因為對等號的理解不深刻，導(dǎo)致解題出現(xiàn)錯誤.

等號的對等性是數(shù)值大小的相等，計算的關(guān)鍵在于不改變數(shù)值的對等性.圍繞這一對等性，進(jìn)行移項、去括號、添括號、配方、約分等運算是代數(shù)運算的法則和基礎(chǔ).

1 學(xué)生計算中常出現(xiàn)的問題以及解決策略

1.1 運用配方法時只對等號一邊進(jìn)行運算

例1? 解方程：3x2+8x－3=0.

常見錯解：原方程可變形為3x2+8x=3，則

x2+83x=3，

x2+83x+169=3，

x+432=3.

于是x+43=3，x+43=－3.

所以x1=3－43，x2=－3－43.

錯解分析：學(xué)生解一元二次方程時，通常比較注重配方，但往往忽視了與等式性質(zhì)的結(jié)合.在將二次項系數(shù)化為1進(jìn)行配方時，容易忽略等號的右邊也要進(jìn)行同樣的運算，計算過程中等號應(yīng)兩邊始終保持相等.配方運算是建立在等式的基本性質(zhì)之上.

在教授配方法解一元二次方程時，教師要強調(diào)等式的性質(zhì).將二次項系數(shù)化為1，不是僅僅對二次項系數(shù)化為1，而是要運用等式的性質(zhì)2，將等式中的每一項都除以二次項系數(shù)，這一過程沒有改變等號兩邊的平衡.運用完全平方公式進(jìn)行配方時，配方的過程運用的是等式的性質(zhì)1，方程兩邊要同時加上一次項系數(shù)一半的平方.教學(xué)中要讓學(xué)生明白算理，展現(xiàn)前后兩個算式的形和大小是如何變化的.

正解：將方程二次項系數(shù)化1，得x2+83x－1=0.

移項，得x2+83x=1.

配方，得x2+83x+432=1+432.

即x+432=532.

所以x+43=53，或x+43=－53.

故x1=13，x2=－3.

分析：等式的性質(zhì)是等式固有的運算規(guī)律，代數(shù)中的很多運算都要用到等式的性質(zhì).靈活運用等式的性質(zhì)是解決方程問題的關(guān)鍵，也是一些化簡求值題的關(guān)鍵.

例1中將方程兩邊同時除以3把二次項系數(shù)化為1，運用的是等式的性質(zhì)2，要讓學(xué)生明白等號的右邊不是沒有除以3，只不過0除以任何數(shù)都是0.配方運用的是等式的性質(zhì)1，等號兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤是左邊加了而右邊沒加.

例2? 求二次函數(shù)y=－12x2+x－52的頂點坐標(biāo)和對稱軸，并畫出函數(shù)圖象.

無論是人教版還是魯教版，課本中的例題都沒有呈現(xiàn)如何將二次函數(shù)一般式轉(zhuǎn)化為頂點式.實際教學(xué)中，轉(zhuǎn)化運算是難點，也是易錯點.由于這部分內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)完利用配方法解一元二次方程后學(xué)習(xí)的，學(xué)生有了一定的基礎(chǔ)，可類比計算，但兩者有不同之處.一元二次方程等號一邊是0，而二次函數(shù)等號一邊是y，計算過程中，一元二次方程若不能直接配方，則將常數(shù)項移到等號的右邊，而二次函數(shù)的一邊是y，學(xué)生不知如何運算.將二次函數(shù)一般式化為頂點式有如下三種方法.

方法1：y=－12x2+x－52=－12（x2－2x）－52

=－12（x2－2x+1）+12－52

=－12（x－1）2－2.

方法2：y=－12x2+x－52=－12（x2－2x+5）

=－12（x2－2x+1－1+5）

=－12（x2－2x+1）－2

=－12（x－1）2－2.

方法3：將二次項系數(shù)化為1（等式兩邊同時乘-2），得－2y=x2－2x+5.

移項，得－2y－5=x2－2x.

配方，得－2y－5+1=x2－2x+1，則－2y－4=（x－1）2，即－2y=（x－1）2+4.

兩邊同時除以-2，得y=－12（x－1）2－2.

分析：方法3與用配方法解一元二次方程類似，可類比學(xué)習(xí)，這樣學(xué)生更易理解.方法1和方法2的不同之處在常數(shù)項的處理上面，兩種方法區(qū)別不大，用的都比較多.學(xué)生類比配方法解二次函數(shù)的相關(guān)問題時，常常出現(xiàn)的問題是等號右邊二次項系數(shù)化為1，而等號左邊的y保持不變.究其根本原因是沒有深刻理解等式的性質(zhì).提取二次項系數(shù)后，括號里面要配方，還要把多余的數(shù)字再與二次項系數(shù)相乘后放到括號外面，這里十分容易出錯.教學(xué)中要讓學(xué)生明白等號之所以成立，是因為兩邊的變形改變的只是形式，沒有改變大小.二次函數(shù)一般式化為頂點式后，教師可再次引導(dǎo)學(xué)生將頂點式通過去括號化為一般式，讓學(xué)生感受其中的變化，深刻理解等號的意義.

1.2 解一元一次方程去分母常出現(xiàn)的問題

例3? 解方程：3x－14－1=5x－76.

例3是解分式方程常出現(xiàn)的習(xí)題類型，學(xué)生在解這個方程時，常常忘記1也要乘最小公倍數(shù)12.很多學(xué)生以為去分母只是去掉3x－14和5x－76這兩項的分母.教學(xué)時應(yīng)讓學(xué)生明白為何去分母以及去分母的依據(jù)，只有深刻理解等號的意義，才能避免計算錯誤.

例4? 解方程：x－30.4－x+20.5=2.5.

學(xué)生解例4時，與例3混淆了，將分式的分子分母同時乘10時，等號的右邊2.5也乘了10.學(xué)生看到分母中有數(shù)字，就認(rèn)為要找最小公倍數(shù)，而之前并沒有學(xué)習(xí)過兩個分?jǐn)?shù)之間的最小公倍數(shù)，因此這個題學(xué)生無從入手.例4課本中的做法是首先通過分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將等式中的小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù).學(xué)生出現(xiàn)的問題是將等號左邊分式的分子、分母乘10時，等號的右邊2.5也乘了10，錯誤地得到10x－304－10x+205=25.分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)也是等號意義的體現(xiàn)，解這個題時，可先以0.20.5=25=410=615=0.4是如何進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化的來引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生感受分子、分母同時變化，分?jǐn)?shù)的值是不改變的.x－30.4和x+20.5運用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)整理后，沒有改變大小，講解時，可將二者上下對比，得到如下方法一.

方法一：

x-30.4? -? x+20.5=2.5

10x-304-10x+205=2.5

針對這個題，也可以拓展一下，由兩個分母0.4，0.5的最小公倍數(shù)為2，得到如下方法二.

方法二：將方程x－30.4－x+20.5=2.5

去分母（分母乘最小公倍數(shù)2），可得5（x－3）－4（x+2）=5，解得x=28.

方法三：分別對x－30.4和x+20.5進(jìn)行如下化簡，得

x－30.4=（x－3）÷0.4=（x－3）÷25=5（x－3）2，

x+20.5=（x+2）÷0.5=（x+2）÷12=2（x+2）.

整理，得5（x－3）2－2（x+2）=2.5.

例4的三種方法可以使學(xué)生充分理解等號的意義，等號之所以相等，體現(xiàn)在數(shù)值的不變性上.運用等式的基本性質(zhì)對式子左右兩邊進(jìn)行整體運算，運用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)對式子進(jìn)行局部化簡.

1.3 解分式方程與分式的運算中出現(xiàn)的問題

例5? （1）計算：4x2－4－1x－2.

（2）解方程：1x－2=3x.

學(xué)生進(jìn)行分式的加減時，常與解分式方程發(fā)生混淆，根源還在于沒有理解等號的意義以及運算法則.學(xué)生學(xué)完解分式方程后進(jìn)行異分母分式的加減，會按照解分式方程的步驟乘最簡公分母去掉分式的分母.分式方程是等式，解分式方程與例3解一元一次方程方程是類似的，運用的都是等式的性質(zhì);而分式的加減不是等式，運用等式的性質(zhì)顯然是錯誤的，應(yīng)該運用分式的基本性質(zhì).

2 教學(xué)中要多角度理解等號的意義

2.1 等式的運算只是形的改變，是等量轉(zhuǎn)化

例6? 若3x+5y－3=0，求8x·32y的值.

可將8和32轉(zhuǎn)化為23和25，改變了形，將數(shù)字轉(zhuǎn)化為冪的形式，進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，運用的是轉(zhuǎn)化思想，沒有改變數(shù)值的大小.

8x·32y=（23）x·（25）y=23x·25y=23x+5y=23=8.

2.2 等號的左右相等可進(jìn)行互逆運算

例8? 已知x－2y=3，求代數(shù)式3－2x+4y的值.

分析：去括號與添括號、整式的乘除與因式分解等等都可看做互逆運算.學(xué)生對于去括號的運算學(xué)習(xí)容易理解，添括號就難一點.例8這個習(xí)題在六年級的習(xí)題中經(jīng)?？疾?，包含了添括號和整體思想.3－2x+4y=3－（2x－4y）=3－2（x－2y）=3－2×3=－3.

計算過程中，雖然出現(xiàn)了括號，形式發(fā)生了改變，但大小沒有改變，教學(xué)中可進(jìn)行互逆轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生深刻感受等號的意義.

2.2 借助等號的意義實現(xiàn)簡便運算

例7? 解方程：（1）96 000x=102 000x+500；

（2）1 400x－14002.8x=9.

實際問題中方程的數(shù)值都比較大，學(xué)生計算容易出現(xiàn)錯誤.運用等式的性質(zhì)或者分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可使運算更加簡便.

（1）對于方程96 000x=102 000x+500，等式兩邊同時除以2 000，可化簡為48x=51x+500.

（2）對于方程1 400x－1 4002.8x=9，可運用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)將其化簡為1 400x－500x=9，從而使計算量大大減少.

等號的意義不僅僅在于表示運算的結(jié)果，更要讓學(xué)生理解其中的算理.學(xué)生雖然已經(jīng)有一定的抽象運算能力，但很大程度上還停留在具體數(shù)字的運算層面，初中學(xué)生的思維正處在從具體到抽象的過渡期.因此，教師在授課時，要注意借助具體、形象的模型或事物幫助學(xué)生理解問題，促進(jìn)其數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展.

運算能力是初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，提升運算能力有助于學(xué)生理解運算的算理，尋求合理簡潔的途徑解決問題.學(xué)生對等號的意義有了深刻的理解和感悟，才能夠提高運算能力，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)品質(zhì).