從通法到“秒殺”,用思維導(dǎo)圖解答中考?jí)狠S題

陳旭

摘要：利用思維導(dǎo)圖可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)研究一題多解來(lái)溝通各種知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生將已學(xué)的知識(shí)形成系統(tǒng)，同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的角度，采用合理的觀(guān)點(diǎn)去思考同一個(gè)問(wèn)題，提高思維的流暢性和變通性，提高解題能力.本文中以一道幾何問(wèn)題的一題多解為例，合理借助思維導(dǎo)圖，突破學(xué)生思維屏障，拓寬思維廣度和深度，提高學(xué)生幾何解題的有效性.

關(guān)鍵詞：思維導(dǎo)圖；一題多解；解題能力

1 對(duì)一道上海模考試題模型的解法探究

上海市中考數(shù)學(xué)命題以《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù)，近幾年，試卷的第24題一般都是平面幾何和二次函數(shù)的綜合題，其中幾何部分考查相似的情況比較多，而且通常解法不唯一，蘊(yùn)涵著多種數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)模型，充分體現(xiàn)了課改理念，深入考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力［1］.下面筆者以2018年上海市奉賢區(qū)一模第24題為例進(jìn)行說(shuō)明.

1.1 問(wèn)題呈現(xiàn)

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，連接AC，BC，DB，DC.

（1）求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）求證：△ACO∽△DBC；

（3）如果點(diǎn)E在x軸上，且位于點(diǎn)B的右側(cè)，∠BCE=∠ACO，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

1.2 課堂還原

呈現(xiàn)題目后，讓學(xué)生思考并展示思路.

第（1）（2）問(wèn)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)比較基礎(chǔ)，第（1）問(wèn)只需利用待定系數(shù)法即可求解.作為解決問(wèn)題的引入，第（2）問(wèn)提示學(xué)生本題重點(diǎn)涉及相似三角形的相關(guān)知識(shí)，在思維上起到啟示的作用.經(jīng)過(guò)討論，得到前兩問(wèn)的思維導(dǎo)圖（如圖2所示）.

第（3）問(wèn)是本題的難點(diǎn)，本文重點(diǎn)研究這一問(wèn).一方面，題設(shè)條件給出∠BCE=∠ACO，這是角相等的問(wèn)題，利用該條件如何切入呢？另外一方面，從要求的問(wèn)題來(lái)看，是求點(diǎn)E的坐標(biāo)，讓學(xué)生發(fā)散思維，又可以從哪些角度入手呢？觀(guān)察圖中的∠ACO，∠BCE，發(fā)現(xiàn)它們所在的兩個(gè)三角形△AOC和△BCE明顯不相似，進(jìn)一步追問(wèn)該怎么辦？學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，首先會(huì)想到構(gòu)造兩個(gè)相似三角形，這樣就可以和第（2）問(wèn)聯(lián)系起來(lái).

經(jīng)過(guò)教師引導(dǎo)和學(xué)生討論后，得出多種處理該問(wèn)題的思路.第（3）問(wèn)的思維導(dǎo)圖如圖3所示.

1.3 解法探究

第（1）（2）問(wèn)解答如下：

（1）把A（-1，0）和C（0，3）代入y=-x2+bx+c，得-1-b+c=0，c=3，解得b=2，c=3.

所以，拋物線(xiàn)的解析式為y=-x2+2x+3，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）.

（2）令-x2+2x+3=0，則x1=-1，x2=3，所以B（3，0）.利用兩點(diǎn)間距離公式，

可得BC=32，CD=2，BD=25，則BC2+CD2=BD2，于是∠BCD=90°，易

證得△ACO∽△DBC（過(guò)程略）.

下面重點(diǎn)研究第（3）問(wèn)，提供如下7種解法.

思路一：從構(gòu)造相似三角形的方向考慮相似模型，即利用相等角構(gòu)造相似三角形.

由于∠BCE=∠ACO，△AOC是一個(gè)含有∠ACO的直角三角形，因此只需再構(gòu)造一個(gè)含有∠BCE的直角三角形即可.基于這種思路，學(xué)生提出以下幾種構(gòu)造方法.

解法1：如圖4，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F，易證△AOC∽△BFC，所以AOBF=ACBC，

即1BF=1032，解得BF=355.

設(shè)E（m，0），利用兩點(diǎn)間距離公式，可得

BE=m-3，CE=m2+9.

由S△BCE=12BE·OC=12BF·CE，可得

3m-3=355[KG-1mm]m2+9.

解得m1=6，m2=32（舍）.

故E（6，0）.

事實(shí)上，解法1還利用了幾何中經(jīng)常使用的等面積法，成功地把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的方程問(wèn)題.此種解法比較常規(guī)，屬于通法，但是計(jì)算稍顯繁瑣.

解法2：如圖5，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥BC交CE于點(diǎn)F，易證△AOC∽△FBC.過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線(xiàn)，垂足為G，可知FG∥OC.由△AOC∽△FBC，

可得OABF=OCBC，

即1BF=332，解得BF=2.

又由OB=OC，即∠CBO=45°，得∠FBG=45°.

因此FG=BG=1.

由FG∥OC，可得FGOC=GEOE，即13=OE-4OE，解得

OE=6.

故E（6，0）.

解法2主要是注意到△COB是等腰直角三角形，進(jìn)而構(gòu)造出另外一個(gè)等腰直角三角形BGF，然后利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的基本事實(shí)，快速得到OE.與解法1相比，計(jì)算量大大減少，但是輔助線(xiàn)的添加較為繁瑣，也需要學(xué)生能夠注意到特殊的角度.

在解法2的基礎(chǔ)上，有學(xué)生提出了解法3.

解法3：如圖6，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，易證△AOC∽△EFC.

同解法2，注意到∠1=∠2=45°，可得

△BEF為等腰直角三角形，于是

BE=2EF=2BF.

由△AOC∽△EFC，

可得EFOA=CFOC，即EF1=32+EF3，解得

EF=322.

所以BE=2EF=3.故E（6，0）.

解法3其實(shí)也是注意到了特殊的45°角，但是與解法2相比，顯然輔助線(xiàn)相對(duì)簡(jiǎn)單，后續(xù)的計(jì)算過(guò)程也比較簡(jiǎn)便.

同樣地，也是注意到了特殊角，有學(xué)生提出可以用如下解法來(lái)構(gòu)造相似三角形.

解法4：如圖7，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，可得∠1=∠2=45° .

所以AF=BF=22AB=22，因此CF=2 .

由∠ACO=∠BCE，得∠ACF=∠OCE，

可證△ACF∽△ECO，所以AFOE=CFOC，

即22OE=23，解得OE=6.

故E（6，0）.

以上四種解法的共同點(diǎn)都是構(gòu)造相似三角形，前三種解法都是構(gòu)造不同的直角三角形與△AOC相似，解法4是構(gòu)造直角三角形與△EOC相似.同時(shí)，解法1還使用了兩點(diǎn)間的距離公式和等面積法，解法2利用了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的基本事實(shí)，解法3利用了△BEF是等腰直角三角形.相對(duì)來(lái)說(shuō)，解法1的輔助線(xiàn)學(xué)生比較容易想到；解法4中的△ABC中含有45°角，注意到這一點(diǎn)，就很容易聯(lián)想到作輔助線(xiàn)AF.解法3和解法4的計(jì)算過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單.

完成了上述四種解法后，有學(xué)生提出了利用圖中∠CBE=135°也可以構(gòu)造相似三角形，于是得到解法5.

解法5：如圖8，在OC上截取OF=OA=1，則CF=2.

連接AF，易得∠AFO=45°，∠AFC=135°，于是AF=2.

易證△CFA∽△CBE，

所以CFCB=AFBE，即232=2BE，

解得BE=3.

故E（6，0）.

上述解法5需要注意到∠CBE=135°，不容易想到輔助線(xiàn)的構(gòu)造，但是計(jì)算過(guò)程比較簡(jiǎn)便.

思路二：構(gòu)造直角三角形斜邊中線(xiàn)模型，即利用相等角（“秒殺”）.

上述五種解法都是構(gòu)造相似三角形，有沒(méi)有更加簡(jiǎn)便快捷的方法呢？跳出構(gòu)造相似三角形這一框架，要求點(diǎn)E的坐標(biāo)，在已知點(diǎn)C坐標(biāo)的情況下，可以通過(guò)求出直線(xiàn)CE的解析式，即先求出CE與BD的交點(diǎn)F的坐標(biāo)來(lái)得到.由于△BCD是直角三角形，因此利用第（2）問(wèn)的結(jié)論和第（3）問(wèn)的題設(shè)條件可以推出F為BD的中點(diǎn)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo).

解法6：如圖9，設(shè)CE與BD交于點(diǎn)F.由第（2）問(wèn)結(jié)論△ACO∽△DBC，可得∠DCB=∠AOC=90°，∠CBD=∠ACO，

于是∠CBD=∠BCE.

因此CF=BF.

因?yàn)椤螩BD+∠CDF=90°，∠DCF+∠BCE=90°，

所以∠DCF=∠CDF，即CF=DF，從而DF=BF.

于是F（2，2）.

故直線(xiàn)CF的解析式為 y=-12x+3，則E（6，0）.

思路三：全等模型，即利用相等角，構(gòu)造全等型（“秒殺”）.

利用隱含條件∠OBC=∠OCB=45°，∠1=∠BCE可進(jìn)一步推出∠OBD=∠OCE，延長(zhǎng)BD交y軸于點(diǎn)F，構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，將求OE的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求OF的長(zhǎng).由于直線(xiàn)BD的解析式非常容易得到，因此易求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，這種解法計(jì)算量也很小.

解法7：如圖10，延長(zhǎng)BD交y軸于點(diǎn)F， 和解法5一樣可證∠1=∠BCE.又由∠OBC=∠OCB=45°，可得∠OBF=∠OCE， 從而有△BOF≌△COE，可得OE=OF.由直線(xiàn)BD的解析式為y=-2x+6，可得F（0，6），即OF=6.故OE=6， 即E（6，0）.

解法7中，得到∠OBF=∠OCE后，由于這兩個(gè)角正好都在直角三角形中，因此也可以使用三角比來(lái)得到OE=OF.

解答如下：因?yàn)椤螼BF=∠OCE，所以tan∠OBF=tan∠OCE，則OFOB=OEOC，即OF3=OE3，因此OF=OE.

上述七種解法的輔助線(xiàn)構(gòu)造方法不同的一個(gè)重要原因是學(xué)生處理問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)不同，幾種相似模型的輔助線(xiàn)構(gòu)造方法也不同則是因?yàn)闃?gòu)造的相似三角形不同，這是很自然的過(guò)程，從本質(zhì)看，又屬于“形變質(zhì)通、殊途同歸”.輔助線(xiàn)通常是解決問(wèn)題的橋梁，巧妙的輔助線(xiàn)經(jīng)?？梢浴傲祷饔忠淮濉?

2 思考和啟迪

列夫托爾斯泰說(shuō)過(guò)：“知識(shí)，只有當(dāng)它是靠積極的思維得來(lái)，而不是憑記憶得來(lái)的時(shí)候，才是真正的知識(shí).”因此，教師在課堂上應(yīng)把思考的權(quán)力還給學(xué)生，留給學(xué)生充分的思考時(shí)間.

對(duì)于初中的綜合題講評(píng)課，筆者認(rèn)為在教學(xué)時(shí)要注重對(duì)數(shù)學(xué)模型的抽象和提煉.“模型”是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的一種認(rèn)知策略.在教學(xué)中要充分利用“數(shù)學(xué)模型”，從不同角度去思考同一道題目的解答方法，讓學(xué)生大膽地質(zhì)疑、大膽地思考，從多角度去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.每一個(gè)條件不同的延伸方向都是一種不同的解題思路，學(xué)生在探究的過(guò)程中所獲得的會(huì)比僅僅接受一種解法更加全面.作為教師，不僅要給學(xué)生探究的機(jī)會(huì)，更要及時(shí)收集和分享學(xué)生的探究成果.一題多解，溝通了各種知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于形成知識(shí)系統(tǒng)，同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的角度去思考同一個(gè)問(wèn)題，有利于提高思維的流暢性和變通性，提高解題能力［2］.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］李士锜，黃興豐.數(shù)學(xué)案例教學(xué)論[M].合肥：安徽教育出版社，2011.