正交于頂，隱含定點(diǎn)

黃軼

摘要：基于一道涉及拋物線的教材習(xí)題，追根溯源，通過對(duì)問題的反思，合理逆向思維，類比拓展，總結(jié)規(guī)律.結(jié)合邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到拋物線中過定點(diǎn)兩弦相關(guān)斜率代數(shù)關(guān)系式為定值背景下的一些優(yōu)美結(jié)論，拓展學(xué)生思維，提升數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

關(guān)鍵詞：拋物線；教材；類比；斜率；拓展

數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“一個(gè)認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)展問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域．”［1］特別地，教材中的一些典型的例題或習(xí)題，其背景深刻，知識(shí)豐富，典型性高，拓展性強(qiáng)，蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如果有針對(duì)性地加以利用，有思想性地引導(dǎo)，有方向性地探究，有思維性地拓展，則可以全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［2］．

1 源于教材

例題 〔人教版《數(shù)學(xué)》（選擇性必修第一冊(cè)）3.3拋物線第138頁(yè)第6題〕如圖1，直線y=x－2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1y2=－4.

故OA⊥OB．

反思：根據(jù)拋物線關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱性，將上述例題中的直線“y=x－2”替換成直線“y=2－x”（兩直線的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱），同樣可得結(jié)論OA⊥OB．而直線y=x－2與直線y=2－x有公共點(diǎn)（2，0），結(jié)合拋物線y2=2x可知2p=2，那么直線y=x-2過點(diǎn)（2，0）與OA⊥OB之間是否存在某種特殊的聯(lián)系呢？

2類比拓展

以上問題的實(shí)質(zhì)就是拋物線的弦對(duì)頂點(diǎn)張直角的相關(guān)性質(zhì)（拋物線的弦對(duì)頂點(diǎn)張直角時(shí)恒過定點(diǎn)）．借助邏輯推理、思維拓展、類比提升等，可以對(duì)拋物線過頂點(diǎn)（或其他定點(diǎn)）的兩弦斜率之積、斜率之和、斜率倒數(shù)之和等為定值的相關(guān)結(jié)論，進(jìn)一步加以歸納、推廣與總結(jié)．

2.1 拋物線過頂點(diǎn)兩弦斜率之積為定值

結(jié)論1 已知A，B為拋物線y2=2px（p>0）上兩動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若OA⊥OB，則直線AB恒過定點(diǎn)（2p，0）．

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=my+t.

因此，對(duì)于上述教材中的習(xí)題，因?yàn)閽佄锞€y2=2x中的p=1，并且直線y=x－2經(jīng)過點(diǎn)（2，0），所以有OA⊥OB成立．

結(jié)論1是其推廣的特例，是當(dāng)常數(shù)SymbollA@=－1時(shí)的結(jié)果．

推廣的證明可參照結(jié)論1的證明加以分析與處理，這里不多贅述．

2.2 拋物線過定點(diǎn)兩弦斜率之積為定值

結(jié)論2 已知A，B為拋物線y2=2px（p>0）上兩動(dòng)點(diǎn)，P（x0，y0）為拋物線上一定點(diǎn)，且滿足PA⊥PB，則直線AB恒過定點(diǎn)（2p+x0，－y0）．

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.

（y20－y21）（y20－y22）+4p2（y0－y1）（y0－y2）=0.

整理可得（y0+y1）（y0+y2）=－4p2，則有y1y2=－4p2－（y1+y2）y0－y20=－4p2－（y1+y2）y0－2px0.

由此可知，直線AB恒過定點(diǎn)（2p+x0，－y0）.

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x1=x2時(shí)，也滿足.

因此，直線AB恒過定點(diǎn)（2p+x0，－y0）．

2.3 拋物線過定點(diǎn)兩弦斜率之和為定值

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=my+t.

推廣 已知A，B為拋物線y2=2px（p>0）上兩

2.4 拋物線過定點(diǎn)兩弦斜率倒數(shù)之和為定值

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=my+t.

y2－2pmy－2pt=0.

由韋達(dá)定理，可得y1+y2=2pm.

3 教學(xué)啟示

上文中以一道課本習(xí)題為源，得到拋物線中過定點(diǎn)的兩弦斜率之積、斜率之和、斜率倒數(shù)之和為定值條件下的相應(yīng)的優(yōu)美結(jié)論，合理反思總結(jié)，拓展思維，總結(jié)規(guī)律，構(gòu)建全面的邏輯思維體系與應(yīng)用．

事實(shí)上，拋物線中的相關(guān)結(jié)論及其推廣，還可以進(jìn)一步拓展到圓錐曲線中去，有關(guān)圓錐曲線斜率之積（或之和、倒數(shù)之和）為定值的問題層出不窮．當(dāng)我們站在系統(tǒng)的高度，合理地整合知識(shí)，很多時(shí)候都能有一個(gè)思維方向，避免進(jìn)入無(wú)頭緒的計(jì)算誤區(qū)，全面提升能力，養(yǎng)成思維習(xí)慣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

參考文獻(xiàn)：

［1］江南岸.改進(jìn)解題教學(xué) 提升復(fù)習(xí)效益——高三復(fù)習(xí)解題教學(xué)策略例談［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（10）：4-7，17.

［2］蔣自佳.基于問題驅(qū)動(dòng)的一類定點(diǎn)定值問題探究［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2022（13）：13-16.