基于核心素養(yǎng)的“三角函數(shù)的周期性”概念教學(xué)策略

惠敏敏

摘? 要：概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，也是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的重要載體。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)不能止步于讓學(xué)生熟悉概念、運(yùn)用概念解題，而應(yīng)挖掘數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延。厘清新授概念與學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)概念、知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而創(chuàng)建合適的數(shù)學(xué)概念生成情境，讓數(shù)學(xué)概念在學(xué)生的自主探究中主動(dòng)生成;讓學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的具體方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。文章以“三角函數(shù)的周期性”公開教學(xué)觀摩課為例，闡述了數(shù)學(xué)概念教學(xué)中設(shè)計(jì)探究生成過程的重要性。教師應(yīng)注重從真實(shí)情境出發(fā)，逐步引導(dǎo)學(xué)生感悟、體會(huì)，從而水到渠成掌握數(shù)學(xué)知識(shí)概念。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);教學(xué)策略;概念教學(xué)

一、教材分析

“三角函數(shù)的周期性”是蘇教版（2019版）高中數(shù)學(xué)必修第一冊教材7.3“三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)”的第一節(jié)內(nèi)容。周期性是三角函數(shù)的一個(gè)典型特征，是后續(xù)研究及學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的基本工具，三角函數(shù)周期性的研究也為一般函數(shù)周期性的研究奠定了重要基礎(chǔ)。

二、學(xué)情分析

該堂課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)、角與弧度、三角函數(shù)概念等相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上開展的。學(xué)生來自江蘇省四星級高中的普通班，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)較好，且在高中階段的學(xué)習(xí)已經(jīng)接近一個(gè)學(xué)期，數(shù)學(xué)思維能力有了很大的提升，已具備一定的自主探究能力、數(shù)學(xué)推理能力及數(shù)學(xué)抽象能力，可以借助已學(xué)知識(shí)，采用類比、化歸等思想方法完成本節(jié)課內(nèi)容。

三、教學(xué)目標(biāo)

其一，知識(shí)與技能。（1）了解周期函數(shù)的概念;（2）會(huì)判斷一些簡單的、常見的函數(shù)的周期性;（3）會(huì)求一些簡單的三角函數(shù)的周期。

其二，過程與方法。通過眾多實(shí)例總結(jié)探究周期函數(shù)，再由周期函數(shù)到三角函數(shù)的周期性的探索過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力和概括總結(jié)能力。在研究周期性的過程中，讓學(xué)生體驗(yàn)由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般的化歸思想，并滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的探索能力，學(xué)習(xí)鉆研精神和科學(xué)的認(rèn)知態(tài)度，通過小組合作學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神，體現(xiàn)立學(xué)課堂的教學(xué)思想.

其三，情感態(tài)度與價(jià)值觀。通過家鄉(xiāng)本土的實(shí)例引入，培養(yǎng)學(xué)生熱愛家鄉(xiāng)，熱愛祖國的情懷。通過各種實(shí)例，提煉出共同特性——周期，體會(huì)事物間的內(nèi)在聯(lián)系，感受類比、化歸的思想方法。在探索過程中體會(huì)失敗與成功的情感體驗(yàn)。

其四，核心素養(yǎng)。以函數(shù)與三角函數(shù)的基本知識(shí)和基本技能為載體，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生逐步體會(huì)到用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維來思考世界，用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá)世界。在探究周期性和周期函數(shù)的概念過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力;在由周期特征的實(shí)例與已有知識(shí)儲(chǔ)備函數(shù)性質(zhì)（例如函數(shù)奇偶性的概念）的表述中，表示出周期函數(shù)的數(shù)學(xué)語言，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力;借助單位圓、三角函數(shù)線直觀圖，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力。

四、教學(xué)過程

（一）教學(xué)環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

教師導(dǎo)入情境，如表1所示。

設(shè)計(jì)意圖：不少本地學(xué)生在小學(xué)和初中時(shí)，通過在社會(huì)實(shí)踐基地的學(xué)習(xí)，對潮水漲落有一定了解，而且有不少學(xué)生還有過趕海的經(jīng)歷。通過如東本土小洋口潮水時(shí)刻表的展示，讓學(xué)生有感同身受的共鳴，更容易調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣，積極思考，參與課堂。另外，通過本土潮汐表帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步了解家鄉(xiāng)的風(fēng)土習(xí)俗，培養(yǎng)了學(xué)生熱愛家鄉(xiāng)，熱愛祖國的家國情懷。

問題一：自然界和生活中有許多“過了一定的時(shí)間，某些現(xiàn)象重復(fù)出現(xiàn)”的事例，你還能舉出一些嗎？

生1：每周的周一周二等、海邊風(fēng)車的風(fēng)葉、摩天輪上每個(gè)座位位置的轉(zhuǎn)動(dòng)……

生2：單擺運(yùn)動(dòng)，時(shí)鐘的圓周運(yùn)動(dòng)，四季變化.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活。通過舉例不僅考察了學(xué)生觀察事物的能力，也培養(yǎng)了學(xué)生類比思維能力。

問題二：以“鐘表上時(shí)針的轉(zhuǎn)動(dòng)”為例，你能用數(shù)學(xué)化的式子描述這種現(xiàn)象嗎？

生3：t+12=t。

生4搶答：f（t+12）=f（t）。

設(shè)計(jì)意圖：著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維、數(shù)學(xué)建模能力，由實(shí)際問題到數(shù)學(xué)表達(dá)，尋找自變量與函數(shù)值，再從中提煉出等式。在提煉等式的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，學(xué)生在交流的碰撞中把研究對象的特征慢慢總結(jié)出來。

問題三：三角函數(shù)是刻畫圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)函數(shù)模型，那么“周而復(fù)始”的基本特點(diǎn)必定存在于三角函數(shù)的性質(zhì)中。那么能否用數(shù)學(xué)公式來表示三角函數(shù)的“周而復(fù)始”的規(guī)律？

生5：sin（x+2π）=sinx，cos（x+2π）=cosx。

師：很好，這其實(shí)就是我們前面學(xué)習(xí)的終邊相同的角函數(shù)值相等。那繼續(xù)思考正弦線變化和余弦線變化有何特征？

生6：周而復(fù)始。

生7補(bǔ)充：每轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。當(dāng)角度每加2π，函數(shù)值會(huì)相同。

設(shè)計(jì)意圖：三角函數(shù)是最典型的一類周期函數(shù)。三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一，正是體現(xiàn)的三角函數(shù)的周期性。由周期函數(shù)到三角函數(shù)，由前一階段的特殊周期函數(shù)到一般的周期函數(shù)，現(xiàn)階段又由一般周期函數(shù)到特殊的三角函數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，通過幾何畫板展示正弦線、余弦線變化的情況，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力。

問題四：我們把正弦函數(shù)和余弦函數(shù)所具有的這種性質(zhì)稱為周期性。能否用統(tǒng)一的式子表示它們？

生8：f（x+2）=f（x）。

師：那思考一下，等式的成立與x的取值有關(guān)嗎？

生9：無關(guān)，x是任意的。

教師安排學(xué)生活動(dòng)，小組合作畫一些周期函數(shù)的圖像。

師：你們各小組能否檢查自己畫的這些圖像是否是周期函數(shù)的圖像呢？

生10：用定義檢驗(yàn)。

師：很好，下面就請你們試著把周期函數(shù)的定義概括出來。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的過程，三角函數(shù)也是一類特殊函數(shù)，體會(huì)周期函數(shù)的定義域的要求。通過小組合作，讓學(xué)生用數(shù)形結(jié)合更形象地去概括理解周期函數(shù)的概念。

問題五：將上述函數(shù)抽象成一般的函數(shù)，你能得到什么等式？

師：f（x+C）=f（x），現(xiàn)在請哪位同學(xué)試著給出周期函數(shù)的定義。

生11：函數(shù)f（x），對于任意的x，如果有f（x+C）=f（x），那么函數(shù)就叫作周期函數(shù)。

師：C是什么？

生11：常數(shù)，非零常數(shù)。

師：很好，請組織好語言，更好地定義一下周期函數(shù)的概念。

生11：一般的，對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)C，使任意的x，都滿足f（x+C）=f（x），那么函數(shù)就叫作周期函數(shù)。

師：任意的x是整個(gè)實(shí)數(shù)集上嗎？

生12：應(yīng)該是定義域內(nèi)。老師，那周期函數(shù)的定義域是不是一定是整個(gè)實(shí)數(shù)集呢？

生13：可以不是整個(gè)實(shí)數(shù)集，比如可以只是整數(shù)集，f（x+1）=f（x），也可以是周期函數(shù)。

師：很好，那你再完善一下周期函數(shù)的定義。

生13：對于函數(shù)y=f（x），如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，f（x+C）=f（x）都成立，那么就把函數(shù)y=f（x）叫作周期函數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)出周期函數(shù)的定義，實(shí)現(xiàn)了從特殊到一般的建構(gòu)。高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確且結(jié)論具備一般性。

問題7：若函數(shù)f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，C為該函數(shù)的一個(gè)周期，該函數(shù)還有其他周期嗎？

生10：2π、-2π、4π、6π等等。

師：很好，你注意到負(fù)數(shù)也可以，而你這個(gè)總結(jié)的是三角函數(shù)的，一般函數(shù)呢？

生11：C、-C、2C、3C、kC等都是。

師：不錯(cuò)，那也就說明周期函數(shù)的周期有無數(shù)多個(gè)，我們最好引入一個(gè)最具有代表性的周期，以更方便地描述周期函數(shù)的周期。

生12：C。

師：如何命名呢？

學(xué)生小聲討論：最小周期？不對，最小還可以是負(fù)的，正的最小周期？

師：很好，最小正周期。下面定義一下最小正周期。如果在所有正周期中有一個(gè)最小的，則稱它是函數(shù)f（x）的最小正周期。大家發(fā)現(xiàn)如果一個(gè)周期函數(shù)y=f（x）的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作f（x）的最小正周期。

設(shè)計(jì)意圖：完善周期函數(shù)的定義，體會(huì)最小正周期引入的必要性，總結(jié)出最小正周期的定義。

（二）教學(xué)環(huán)節(jié)2：例題分析

例題：已知函數(shù)f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，周期為2，并且f（x）=x2（x∈[0，2）），那么你能否畫出整個(gè)定義域上的圖像？

師：對于這個(gè)問題，你想從什么角度切入？

生13：我們只要畫出f（x）=x2（x∈[0，2））的圖像，那么其余地方的圖像都是和這個(gè)圖像一樣的。

生14：更準(zhǔn)確地說應(yīng)該先畫出f（x）=x2（x∈[0，2））的圖像，其余地方的圖像都是由這個(gè)圖像平移得到的，應(yīng)該是左右平移得到的。

師：很好，那為什么是左右平移得到的呢？

生14：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，周期為2，也就是f（x+2）=f（x）。

師：不錯(cuò)，我們發(fā)現(xiàn)對于周期函數(shù)，如果能畫出一個(gè)周期的圖像，那么通過周期函數(shù)的定義，就可以畫出整個(gè)函數(shù)的圖像。同理，如果知道一個(gè)周期的解析式，就可以根據(jù)定義寫出整個(gè)定義域的解析式。

教學(xué)反思：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)，應(yīng)該重點(diǎn)關(guān)注教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)結(jié)構(gòu)的環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，由外到內(nèi)逐步深入，合情合理地提出教學(xué)問題，以符合學(xué)生思維形成過程。對于“三角函數(shù)的周期性”的相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容，會(huì)涉及以下問題：三角函數(shù)為什么會(huì)有周期性？三角函數(shù)的周期是多少？如何描述一般函數(shù)的周期性？教師通過上述三個(gè)問題逐步開展教學(xué)，可以促進(jìn)學(xué)生形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想和方法，從“科學(xué)探究與創(chuàng)新意識(shí)”到“科學(xué)態(tài)度與社會(huì)責(zé)任”進(jìn)一步揭示數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更高層次的價(jià)值追求。

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要組成部分，合理設(shè)計(jì)概念的探究生成過程，是開展教學(xué)、落實(shí)核心素養(yǎng)教學(xué)的基本著力點(diǎn)。教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合理的、實(shí)際的問題情境，提出具有開放性、挑戰(zhàn)性的問題，以概念的生成發(fā)展過程為主線，合理設(shè)計(jì)教學(xué)流程，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與整個(gè)教學(xué)過程融會(huì)貫通，促使學(xué)生在主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)體系的過程中實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)展。另外，在教育教學(xué)的過程中，要注重在課堂上互相滲透各類數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生的學(xué)習(xí)由“散珠”的基本概念形成“串珠”的核心概念。

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（責(zé)任編輯：淳? 潔）