慢變參數(shù)激勵Duffing系統(tǒng)中的延遲分岔現(xiàn)象及其誘發(fā)的簇發(fā)振蕩*

魏夢可 韓修靜

(江蘇大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院,鎮(zhèn)江 212013)

引言

考慮如下慢變參數(shù)激勵下的Duffing系統(tǒng)

(1)

其中,δ>0且γsin(ωt)是正弦參數(shù)激勵. 針對系統(tǒng)(1)或其他類似的非線性模型的動力學(xué)行為,學(xué)者們展開了一系列的研究,并已經(jīng)取得了一些重要的結(jié)果,例如參見文獻(xiàn)[1-4]. 然而,目前相關(guān)研究大多集中在常規(guī)參數(shù)激勵下的情況,即ω=o(1).針對慢變激勵驅(qū)動下Duffing系統(tǒng)的動力學(xué)行為卻鮮有研究.本文將聚焦于這一情形,主要研究當(dāng)ω=o(ε)(0<ε?1)時,慢變參數(shù)激勵下Duffing系統(tǒng)的動力學(xué). 由于ω很小,系統(tǒng)(1)可以視為一個兩尺度耦合的非線性系統(tǒng),即激勵頻率和系統(tǒng)的固有頻率之間存在量級差異.

延遲分岔行為,如延遲Hopf分岔[5,6]、延遲叉型分岔[7,8]和延遲鞍-結(jié)分岔[9,10],引起了研究人員的廣泛關(guān)注和強(qiáng)烈興趣. 所謂延遲分岔,又稱為慢過效應(yīng)或記憶效應(yīng)[5],是吸引子的一種延遲失穩(wěn)現(xiàn)象,即當(dāng)吸引子失穩(wěn)變成排斥子時,系統(tǒng)的軌線繼續(xù)在排斥子上停留一段時間,然后再離開排斥子的現(xiàn)象. 這種延遲效應(yīng)已經(jīng)成為可以誘發(fā)簇發(fā)振蕩[11-14]的有效機(jī)制之一,即其誘導(dǎo)的動力學(xué)行為通常表現(xiàn)為在每一演化周期中大幅振蕩與小幅振蕩交替出現(xiàn)[15].

與延遲分岔相關(guān)的研究成果雖然很多,但主要是針對慢變參數(shù)是時間的線性函數(shù)的情形. 這里我們所考慮的參數(shù)激勵的Duffing系統(tǒng)(1)是一個慢變參數(shù)激勵是時間的非線性函數(shù)的系統(tǒng). 線性控制參數(shù)只能通過分岔點(diǎn)一次,相關(guān)的延遲行為受初始時間的影響很大[16-19]. 而對于慢變參數(shù)激勵,由于它是一個周期性的函數(shù),它將周期性地通過分岔點(diǎn),因此周期性的延遲行為可能發(fā)生.

針對簇發(fā)振蕩中的周期性延遲分岔現(xiàn)象,目前已經(jīng)取得了一些研究成果. 例如,在之前的工作中,我們探討了在周期外激勵作用下的van der Pol系統(tǒng)中鴨式爆炸延遲所導(dǎo)致的簇發(fā)振蕩[20];分析了慢變參數(shù)激勵van der Pol系統(tǒng)中的延遲Hopf分岔現(xiàn)象,給出了近似計算簇發(fā)中的連續(xù)尖峰的數(shù)目的方法[21];研究了一類電路系統(tǒng)中基于延遲Hopf分岔通向簇發(fā)振蕩的兩條不同路徑,并定性分析了不同初值下系統(tǒng)的軌跡,結(jié)果表明從長時間來看,簇發(fā)振蕩中的延遲行為并不受系統(tǒng)初值的影響[22];揭示了簇發(fā)振蕩中周期性延遲分岔的動力學(xué)特性,報道了多種由延遲分岔誘導(dǎo)的簇發(fā)振蕩[23].

關(guān)于延遲時間的計算,現(xiàn)有的文獻(xiàn)大多僅考慮了首次延遲分岔行為的延遲時間,針對整個周期性的延遲行為的延遲時間計算問題鮮有研究. 本文將主要研究系統(tǒng)初始時間對每次延遲行為的延遲時間的影響. 此外,還將分析延遲分岔行為對簇發(fā)振蕩的產(chǎn)生所發(fā)揮的作用. 本文的其余部分安排如下. 在下一節(jié)中,通過引入慢時間尺度,將參數(shù)激勵的Duffing系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為快-慢系統(tǒng). 然后,得到相關(guān)的穩(wěn)定慢流形和慢變平衡解. 第2節(jié)介紹簇發(fā)振蕩和相關(guān)的動力學(xué)機(jī)制,分析初始時間對與簇發(fā)振蕩中每次延遲行為的延遲時間的影響. 此外,簡要分析簇發(fā)振蕩的分類和演變. 最后,總結(jié)全文.

1 穩(wěn)定慢流形和慢變平衡解

首先,引入慢時間尺度τ=ωt,然后可以得到系統(tǒng)(1)可以寫成如下的快-慢形式

ωx′=y

(2a)

ωy′=(γsinτ)x-x3-δy

(2b)

τ′=1

(2c)

其中“′”代表關(guān)于慢時間尺度τ的導(dǎo)數(shù),(x,y)是快變量,它們構(gòu)成了一個由方程(2a)和(2b)給出的快子系統(tǒng). 當(dāng)快子系統(tǒng)中ω=0,可以得到

0=y

0=(γsinτ)x-x3-δy

(3)

圖1 快子系統(tǒng)中的叉型分岔,其中γsinτ是分岔參數(shù),實(shí)線表示穩(wěn)定的平衡點(diǎn),虛線表示鞍點(diǎn)Fig.1 Pitchfork bifurcation of the fast subsystem, where γsinτ is chose as the bifurcation parameter. Solid lines mean sinks, while dashed line indicates saddle

基于上述分析,可得穩(wěn)定慢流形Ms

Ms=M0∪M+∪M-

(4)

圖2 當(dāng)固定參數(shù)γ=0.2時,穩(wěn)定的慢流形M0和M±(紅線)和慢變參數(shù)激勵γsinτ(藍(lán)色虛線)的數(shù)值模擬Fig.2 Numerical simulations of the stable slow sub-manifolds M0 and M± (red solid curves) and the slow parametric excitation γsinτ (blue dashed curve), for the flxed parameter γ=0.2

一般地,當(dāng)0<ω?1時,慢流形M0和M±不是系統(tǒng)(2)的解.然而,根據(jù)準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)假設(shè),存在一個緩慢變化的平衡解,即流形Ms的一個小擾動,以ω階的距離與流形Ms一起移動.當(dāng)γsinτ<0時,緩慢變化的平衡解可以用M0來近似,并可滿足關(guān)于ω的漸近級數(shù). 通過使用Berglund[19]提出的方法,可以計算出該漸近級數(shù)

x0=o(ω2),y0=o(ω2)

(5)

但當(dāng)γsinτ>0時,緩慢變化的平衡解可以用M+或M-來近似,并且滿足以下關(guān)于ω的漸近級數(shù)

(6)

但是,在叉型分岔值0附近,解一般不會以ω階的距離追隨流形Ms,而是在ω的某個其他冪級距離處[19].

2 叉型分岔的延遲效應(yīng)和簇發(fā)振蕩的分類

基于上述分析,本節(jié)將研究當(dāng)0<ω?1時系統(tǒng)(2)中簇發(fā)振蕩的產(chǎn)生機(jī)理.在本節(jié),我們固定參數(shù)γ=0.2,ω=0.01,并將δ視為控制參數(shù).

當(dāng)δ=0.1時,圖3(c)展示了系統(tǒng)(2)中的簇發(fā)振蕩,其中慢流形Ms也被疊加在一起,以便清楚地了解相關(guān)的轉(zhuǎn)遷機(jī)制. 此外,圖3(a)給出了與簇發(fā)振蕩相對應(yīng)的傳統(tǒng)相圖. 為了清晰地展示簇發(fā)振蕩中的分岔機(jī)制,圖3(b)給出了與簇發(fā)振蕩相關(guān)的轉(zhuǎn)換相圖[24,25]與圖1所示的快子系統(tǒng)的分岔圖的疊加圖.

正如圖3(b)和圖(c)所示,當(dāng)0.2sinτ<0,慢流形M0是穩(wěn)定的且系統(tǒng)軌線跟隨M0.當(dāng)0.2sinτ增大并穿越臨界值0時,發(fā)生了一個有趣的現(xiàn)象,即延遲分岔,也被稱為延遲失穩(wěn).當(dāng)0.2sinτ>0時,M0失穩(wěn).然而,在系統(tǒng)軌線跳到慢流形M+或M-之前,先是跟隨不穩(wěn)定的慢流形M0一段時間(即,延遲時間).這種延遲行為導(dǎo)致了M0和M+/M-之間的滯后環(huán),從而導(dǎo)致了從M0到M+或M-的跳躍,最終產(chǎn)生了所謂的簇發(fā)振蕩.

圖3 當(dāng)δ=0.1時,系統(tǒng)(2)中的簇發(fā)振蕩,其中初值為(x0,y0,τ0)=(0.0001,0,0). (a) 簇發(fā)振蕩的相圖;(b)簇發(fā)的轉(zhuǎn)換相圖,其中疊加了圖1所示的叉型分岔圖;(c)簇發(fā)振蕩的時間歷程圖,其中疊加了慢流形和慢變參數(shù)激勵Fig.3 Bursting oscillations of system (2) for δ=0.1, where the initial conditions are (x0,y0,τ0)=(0.0001,0,0). (a) Phase portrait of bursting oscillations; (b) Transformed phase portrait of bursting oscillations, where the pitchfork bifurcation diagram shown in Fig. 1 is overlayed; (c) Time series of bursting oscillations, where the slow sub-manifolds and the slow parametric excitation are superimposed

由于叉型分岔的延遲現(xiàn)象在簇發(fā)振蕩的產(chǎn)生中起著重要作用. 我們接下來分析在簇發(fā)振蕩中觀察到的這種延遲行為. 如前所述,延遲分岔的現(xiàn)象已經(jīng)得到了廣泛的研究[5-10, 17-19]. 根據(jù)文獻(xiàn)[19]中描述的結(jié)果,叉型分岔的延遲時間可以定義如下.

設(shè)λ0,max(τ)是平衡點(diǎn)E0的特征值的最大實(shí)部.假設(shè)在τ=0處存在分岔,當(dāng)τ1<τ<0時λ0,max(τ)<0,且τ0(τ1<τ0<0)是初始時間.設(shè)Ψ(τ0)為方程

(7)

的最小正解. 這個最小正解Ψ(τ0)依賴于初始時間τ0.如果它存在,則稱為分岔延遲時間. 如果不存在這樣的時間,則分岔延遲時間是無限的.

將方程(7)應(yīng)用于參數(shù)激勵下的Duffing系統(tǒng),并結(jié)合第2節(jié)中已給出的與平衡點(diǎn)E0有關(guān)的結(jié)果,我們可以通過解決方程

(8)

來計算延遲時間Ψ(τ0).其中τ*(τ*>τ0)是滿足方程δ2+4γsinτ*=0的最小時間,即τ*是平衡點(diǎn)E0從穩(wěn)定焦點(diǎn)變?yōu)榉€(wěn)定結(jié)點(diǎn)的最小時間點(diǎn).由于方程(8)的解涉及橢圓積分,這是一個復(fù)雜的積分問題,我們將通過數(shù)值分析來解決它.如圖4所示,延遲時間Ψ(τ0)可以通過使正面積和負(fù)面積相等來獲得.因?yàn)棣?τ0)是相對于τ0的遞減函數(shù),顯然

圖4 函數(shù)曲線λ0,max(τ)的數(shù)值模擬.延遲時間Ψ(τ0)可以通過使藍(lán)色和棕色區(qū)域相等來獲得Fig.4 Numerical simulation of the function curve λ0,max(τ). The delay time Ψ(τ0) can be obtained by equating the blue and brown areas

較大的初始時間τ0意味著較少的延遲時間,例如參見圖5.

然而,正如我們在引言中提到的,與大多數(shù)其他論文研究的線性參數(shù)情況不同,這里研究的緩慢變化的參數(shù)激勵是一個非線性周期函數(shù). 因此,延遲行為將周期性地發(fā)生. 我們不妨把首次延遲行為的延遲時間稱為“首次延遲時間”,用Ψ1(τ0)表示,即Ψ1(τ0)=Ψ(τ0).接下來的延遲行為的延遲時間可以用類似的方法來定義,例如Ψ2(τ0)表示第二次延遲行為的延遲時間,Ψ3(τ0)表示第三次延遲行為的延遲時間.

進(jìn)一步的數(shù)值模擬表明,與首次延遲時間不同,對于固定的初始時間τ0,隨后發(fā)生的延遲行為的延遲時間是不變的[即Ψn(τ0)是常數(shù),n≥2].此外,正如我們上面所討論的,不同的τ0意味著不同的延遲時間Ψ1(τ0).然而,如圖6所示,對于與不同初始時間τ0相關(guān)的首次延遲行為之后的延遲現(xiàn)象,相關(guān)的延遲時間趨于一致.也就是說,初始時間τ0不影響隨后的延遲行為,而只影響首次延遲行為. 因此,由等式(8)決定的延遲時間僅適用于首次延遲行為.

圖6 不同初始條件下系統(tǒng)(2)中的簇發(fā)振蕩,其中(b)是(a)的局部放大. 相關(guān)參數(shù)和初值和圖5中的相同F(xiàn)ig.6 Bursting oscillations of the system (2) with different initial values, where (b) is the enlargement of (a). The associated parameters and initial values are the same as those of Fig. 5

(9)

(10)

的最小正解. 顯然,通過重置時間,第二次延遲行為的延遲時間Ψ2可以通過求解方程

(11)

的最小正解來等價地獲得.以圖6所示的簇發(fā)振蕩為例,根據(jù)方程(11)計算出第二次延遲行為的延遲時間Ψ2=0.5918,這與數(shù)值模擬非常吻合.

類似地,通過重置時間,可以得出以下結(jié)論:首次延遲行為之后的所有延遲行為表現(xiàn)出與第二次延遲行為相同的延遲時間,即Ψn=Ψ2,n≥2,這與圖3(c)和6(a)所示的數(shù)值結(jié)果一致. 因此,從長時間角度來看,所觀察到的延遲行為的延遲時間不取決于初始時間τ0,而僅取決于系統(tǒng)參數(shù).

圖7 系統(tǒng)(2)中的簇發(fā)振蕩. (a) δ=0.1,初始值為(x0,y0,τ0)=(-0.0001,0,0);(b) δ=0.045

圖8 圖7所示的簇發(fā)振蕩相對應(yīng)的相圖Fig.8 Phase diagrams corresponding to the bursting oscillations shown in Fig. 7

當(dāng)0.2sinτ>0時,另一個有趣的現(xiàn)象是,存在兩個穩(wěn)定的慢流形M+和M-,這使得系統(tǒng)可以在它們之間進(jìn)行選擇.也就是說,在0.2sinτ增大并穿越0后系統(tǒng)會選擇收斂到其中一個分支.至于選擇哪一個分支,實(shí)際上取決于固定參數(shù)的初始值.由于系統(tǒng)(2)的向量場在坐標(biāo)變換P: (x,y,τ)→(-x,-y,τ)下是不變的,因此很容易獲得由慢流形M0和M-之間的躍遷形成的另一類簇發(fā)振蕩[見圖7(a)]. 這樣兩個共存的簇發(fā)振蕩是相互對稱的[見圖3(a)和8(a)],隨著參數(shù)δ的減少,它們可能整合成一個具有對稱結(jié)構(gòu)的簇發(fā)振蕩. 當(dāng)時,對稱的簇發(fā)振蕩如圖8(b)所示.由于當(dāng)系統(tǒng)從慢流形M0切換到慢流形M+和M-時,系統(tǒng)顯示了叉型分岔延遲,因此產(chǎn)生了對稱的簇發(fā)振蕩(這可以通過上文給出的類似分析來理解).

圖3、圖6和圖8(a)所示的簇發(fā)振蕩是通過叉型分岔在兩個慢流形M0和M+/M-之間切換形成的,所以根據(jù)文獻(xiàn)[15]提出的簇發(fā)振蕩分類方法,這種簇發(fā)振蕩可以命名為“叉型分岔/叉型分岔滯后環(huán)”型簇發(fā). 對于圖8(b)所示的簇發(fā)振蕩,考慮到其對稱性,我們稱其為“對稱叉型分岔/叉型分岔滯后環(huán)”型簇發(fā).

3 結(jié)論

當(dāng)慢變參數(shù)激勵周期性地通過叉型分岔點(diǎn)時,可以在參數(shù)激勵下的Duffing系統(tǒng)中觀察到簇發(fā)振蕩. 這種振蕩是由系統(tǒng)在穩(wěn)定的慢流形之間的周期性切換產(chǎn)生的,這可以通過快子系統(tǒng)中涉及分岔的快慢過程來理解. 與簇發(fā)振蕩有關(guān)的周期性切換,即從一個慢流形跳到另一個慢流形,是由叉型分岔的延遲行為導(dǎo)致的. 對于首次延遲行為,延遲時間由初始時間決定,而對于首次延遲行為之后的延遲現(xiàn)象,相關(guān)的延遲時間與初始時間無關(guān). 因此,在簇發(fā)振蕩中觀察到的實(shí)際延遲時間一般不是由初始時間決定,而是由系統(tǒng)的參數(shù)條件決定的. 這種結(jié)果與控制參數(shù)是時間的慢變線性函數(shù)時的情況不同. 需要指出的是,這一結(jié)果同樣適用于其他動力學(xué)系統(tǒng)中由慢變的參數(shù)激勵引起的延遲行為.