轉(zhuǎn)子-電磁軸承非線性系統(tǒng)時(shí)滯減振研究*

張國(guó)榮 王希奎 鄒瀚森 張勇 席光

(西安交通大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院, 西安 710049)

引言

旋轉(zhuǎn)機(jī)械是工業(yè)生產(chǎn)中最重要的設(shè)備之一,在大部分工業(yè)系統(tǒng)中都發(fā)揮基礎(chǔ)性的作用,其工作性能的好壞直接關(guān)系到整個(gè)系統(tǒng)的效率高低.主動(dòng)電磁軸承因其優(yōu)良的特性如:轉(zhuǎn)子與定子不接觸、可施加主動(dòng)控制等越來(lái)越多地被應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)軸的支撐中.但電磁軸承具有開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定性,需要對(duì)其進(jìn)行閉環(huán)控制,并且控制方法很大程度上決定了電磁軸承的工作性能.很多先進(jìn)的控制方法已被應(yīng)用到電磁軸承系統(tǒng)中,如滑?？刂啤∞魯棒控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等.上述方法相對(duì)于傳統(tǒng)的PID控制來(lái)說(shuō)具有更好的控制性能及減振效果,但也存在控制器階數(shù)較高、物理意義不明顯等短板,因此還未在實(shí)際電磁軸承系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用.

近年來(lái),時(shí)滯控制越來(lái)越多的被用于減振.時(shí)滯存在于各類控制系統(tǒng)中,在信號(hào)的采集、輸送以及處理過(guò)程中不可避免地會(huì)產(chǎn)生一定的時(shí)滯[1].系統(tǒng)中時(shí)滯的存在可能會(huì)使系統(tǒng)性能變差[2], Ji等[3]理論分析了轉(zhuǎn)子-電磁軸承系統(tǒng)的主共振情況,并分析了時(shí)滯對(duì)穩(wěn)定性的影響,發(fā)現(xiàn)隨著時(shí)滯量的增加,系統(tǒng)振動(dòng)幅值增大,穩(wěn)定解會(huì)通過(guò)Hopf分岔失穩(wěn).近年來(lái),研究人員發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)滯量取某些值時(shí)能對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)起抑制作用.時(shí)滯控制就是通過(guò)在控制器中添加主動(dòng)時(shí)滯以達(dá)到系統(tǒng)減振的效果.Saeed等[4-6]利用時(shí)滯飽和控制器去控制梁和轉(zhuǎn)子的振動(dòng),發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)滯量取某些值時(shí),系統(tǒng)的振動(dòng)被抑制.劉顯波[7]利用時(shí)滯狀態(tài)反饋改進(jìn)了PID控制器去控制縱扭耦合的鉆柱系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的控制器使系統(tǒng)穩(wěn)定域擴(kuò)大.Amer等[8-9]利用時(shí)滯反饋控制器成功減小了Duffing振子和Rayleigh-van der Pol-Duffing 振子的振動(dòng)幅值.趙艷影等[10]研究了時(shí)滯非線性動(dòng)力吸振器的減振作用,發(fā)現(xiàn)當(dāng)參數(shù)都調(diào)整合適時(shí),系統(tǒng)振動(dòng)較無(wú)時(shí)滯可減小90%左右.為推進(jìn)時(shí)滯反饋控制的實(shí)際應(yīng)用,Yan等[11]設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)平臺(tái)去研究車(chē)輛支撐系統(tǒng)中考慮時(shí)滯的最優(yōu)控制規(guī)律,研究結(jié)果表明合適的時(shí)滯量會(huì)降低系統(tǒng)幅值,但時(shí)滯量與振動(dòng)幅值之間為高度非線性關(guān)系.邵素娟等[12]利用時(shí)滯減振技術(shù)成功減小了車(chē)輛主動(dòng)懸架系統(tǒng)的振動(dòng),其運(yùn)用多尺度法建立了系統(tǒng)的非線性模型,并研究了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.

以上展示了近年來(lái)研究人員對(duì)于時(shí)滯控制的研究進(jìn)展,但在高速轉(zhuǎn)子-電磁軸承系統(tǒng)中時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的影響以及減振研究報(bào)道還較少.因此,本文主要研究時(shí)滯反饋控制在轉(zhuǎn)子-電磁軸承系統(tǒng)中的應(yīng)用.首先建立了時(shí)滯狀態(tài)反饋的轉(zhuǎn)子振動(dòng)方程;其次利用多尺度法推導(dǎo)出轉(zhuǎn)子在主共振情況下振動(dòng)方程的近似解并進(jìn)行穩(wěn)定性判定;然后詳細(xì)分析了不同時(shí)滯量對(duì)振動(dòng)幅值和穩(wěn)定性的影響,研究了控制參數(shù)對(duì)時(shí)滯“減振區(qū)域”的影響,以及在不同轉(zhuǎn)速、不同質(zhì)量偏心率下時(shí)滯減振的效果;最后通過(guò)數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了近似解的準(zhǔn)確性.

1 建立模型

圖1為轉(zhuǎn)子-電磁軸承閉環(huán)系統(tǒng)示意圖.電渦流傳感器獲得轉(zhuǎn)子位移;控制器根據(jù)轉(zhuǎn)子位移計(jì)算出相應(yīng)控制電壓;功率放大器根據(jù)控制電壓的大小產(chǎn)生相應(yīng)的控制電流Ic.系統(tǒng)采用差動(dòng)驅(qū)動(dòng)模式,即一個(gè)磁鐵由偏置電流I0與控制電流Ic的和驅(qū)動(dòng),另一個(gè)磁鐵由兩者之差驅(qū)動(dòng),由此產(chǎn)生電磁力對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行主動(dòng)控制.

圖1 轉(zhuǎn)子-電磁軸承系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of rotor-active magnetic bearing system

1.1 方程推導(dǎo)

圖2為轉(zhuǎn)子-八極電磁軸承系統(tǒng)的截面圖.轉(zhuǎn)子為剛性轉(zhuǎn)子模型,忽略磁泄露、渦流效應(yīng)等對(duì)本文研究目標(biāo)影響較小的因素.

第j(j=1,2,3,4)個(gè)磁極對(duì)的電磁力[13]為

j=1,2,3,4

(1)

其中,μ0為真空磁導(dǎo)率,Aα是磁極的橫截面積,N是線圈匝數(shù),I0代表偏置電流,Ij是第j個(gè)磁極對(duì)的控制電流,C0是磁極與轉(zhuǎn)子的額定間隙,wj是第j個(gè)方向的轉(zhuǎn)子位移,θ代表電磁力作用在轉(zhuǎn)子上的角度.

圖2 轉(zhuǎn)子-八極電磁軸承系統(tǒng)截面圖Fig.2 Sectional view of rotor-eight pole legs magnetic bearing system

采用時(shí)滯狀態(tài)反饋的PD控制,有

(2)

其中,τ1為位移信號(hào)總時(shí)滯,τ2為速度信號(hào)總時(shí)滯,kp為位移增益,kd為速度增益.

圖2中磁極與磁極之間夾角2α=π/4,因此轉(zhuǎn)子在第j個(gè)磁極對(duì)方向的位移與相應(yīng)控制電流為

w1=x,I1=i1,

w3=y,I3=i0+i3,

(3)

x,y方向電磁力合力為

(4)

其中,Fj(j=1,2,3,4)代表圖2中j方向磁極對(duì)的電磁力.將(1)～(3)帶入(4)可得到電磁力的具體形式.

轉(zhuǎn)子在x和y方向上振動(dòng)方程為

(5)

其中m、c、e、Ω、g分別為轉(zhuǎn)子質(zhì)量、轉(zhuǎn)子阻尼系數(shù)、質(zhì)量偏心率、轉(zhuǎn)速、重力加速度,Fx為水平方向電磁力合力,Fy為豎直方向電磁力合力.

引入下列無(wú)量綱量

(6)

當(dāng)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定在中心即y=0時(shí),y方向電磁力合力應(yīng)與重力平衡[13],故有

(7)

將式(4),式(6),式(7)帶入式(5),得到無(wú)量綱振動(dòng)方程,見(jiàn)附錄公式(1).為方便表述,略去“*”,以下公式推導(dǎo)中符號(hào)均為無(wú)量綱形式.將得到的無(wú)量綱振動(dòng)方程進(jìn)行Taylor展開(kāi)到三階.由于有時(shí)滯項(xiàng)的存在,難以直接表示x和y方向上固有頻率,因此進(jìn)行以下處理[14]

(8)

為應(yīng)用多尺度法,在上述Taylor展開(kāi)后的無(wú)量綱方程中引入小參數(shù)ε整理得

(9a)

εeΩ2sinΩt

(9b)

1.2 多尺度法攝動(dòng)分析

應(yīng)用多尺度法[15]求解無(wú)量綱振動(dòng)方程(9),選取兩個(gè)時(shí)間尺度,假設(shè)解為下列形式:

x(t,ε)=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)+O(ε2)

x(t-τj,ε)=x0τj(T0-τj,T1-ετj)+

εx1τj(T0-τj,T1-ετj)+O(ε2)j=1,2

y(t,ε)=y0(T0,T1)+εy1(T0,T1)+O(ε2)

y(t-τj,ε)=y0τj(T0-τj,T1-ετj)+

εy1τj(T0-τj,T1-ετj)+O(ε2)j=1,2

(10)

其中T0=t,T1=εt.T0為快時(shí)間尺度,T1,為慢時(shí)間尺度.

方程(9)中對(duì)時(shí)間的微分可通過(guò)(11)轉(zhuǎn)化到新的時(shí)間尺度上.

(11)

將(10),(11)帶入方程(9)中,整理后分離ε的同次冪:

(12a)

(12b)

ε1為

6μ3x0x0τ1D0x0τ2+μ3y0y0τ1D0x0τ2+μ3(x0y0τ1+

y0x0τ1)D0y0τ2+α1(x0y0τ1+y0x0τ1)-

3μ3x0x0τ1D0x0τ2+μ1y0D0x0τ2+

2μ2y0D0y0τ2D0x0τ2-6μ4x0y0D0y0τ2+

eΩ2cos(Ωt)

(13a)

3μ3y0y0τ1D0y0τ2+μ3(x0y0τ1+

y0x0τ1)D0x0τ2+α1(x0x0τ1+y0y0τ1)-

eΩ2sinΩt

(13b)

方程(12)的解為

(14)

ετj)e-iω1(T0-τj),j=1,2

ετj)e-iω2(T0-τj),j=1,2

(15)

對(duì)Ax(T1-ετj)和Ay(T1-ετj)進(jìn)行Taylor展開(kāi),由于ετj?1,為方便推導(dǎo)有

Ax(T1-ετj)=Ax(T1)-ετjD1Ax(T1)+…≈Ax(T1)

Ay(T1-ετj)=Ay(T1)-ετjD1Ay(T1)+…≈Ay(T1)

(16)

考慮系統(tǒng)處于主共振、內(nèi)共振、同時(shí)共振情況.為描述Ω,ω2與ω1的接近程度,引入頻率調(diào)諧參數(shù)σ1和σ2,滿足下列關(guān)系

Ω=ω1+εσ1,ω2=ω1+εσ2

(17)

將式(14)～(17)帶入式(13),得到去除永年項(xiàng)的條件.分離其實(shí)虛部,并引入βx(T1)=εσ1T0-θx(T1),βy(T1)=θy(T1)+ε(σ1-σ2)T0,得到四個(gè)自治微分方程,見(jiàn)附錄公式(3).

(18)

若式(18)中矩陣J的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部,則該解為穩(wěn)定解,否則為不穩(wěn)定解.

2 計(jì)算結(jié)果及分析

為分析時(shí)滯反饋控制對(duì)轉(zhuǎn)子-電磁軸承系統(tǒng)的作用,求解上述所得四個(gè)自治微分方程[見(jiàn)附錄公式(3)]得到近似解,并利用MATLAB中ode45(τ=0)求解器及dde23(τ>0)求解器[17]求解式(9)以驗(yàn)證相同參數(shù)下利用多尺度法所得近似解.計(jì)算所用基本參數(shù)為:kp=1.5、kd=0.005、i0=0.2、ε=0.1、μ=0.01、σ1=0.如無(wú)特別說(shuō)明,在下面的分析圖中實(shí)線代表穩(wěn)定解,虛線代表不穩(wěn)定解.為了分析方便,本文認(rèn)為無(wú)量綱位移信號(hào)時(shí)滯量τ1與無(wú)量綱速度信號(hào)時(shí)滯量τ2相等,即τ1=τ2=τ.

圖3展示了水平和豎直方向穩(wěn)態(tài)幅值隨時(shí)滯量的變化曲線,時(shí)滯量的最大取值為轉(zhuǎn)動(dòng)周期.可以看到不同的時(shí)滯量會(huì)導(dǎo)致不同的振動(dòng)幅值,并且穩(wěn)定性也不同.定義使振幅小于τ=0時(shí)振幅的時(shí)滯范圍為時(shí)滯量的“減振區(qū)域”.圖3中標(biāo)注“Suppression range”的范圍內(nèi),任意一個(gè)時(shí)滯量下的振動(dòng)幅值均小于τ=0時(shí)幅值,說(shuō)明此時(shí)時(shí)滯有助于減小系統(tǒng)的振動(dòng).x方向該區(qū)域是τ∈[1.74,2.80],y方向該區(qū)域是τ∈[1.74,3.18],可見(jiàn)在x和y方向上雖然穩(wěn)定解的范圍一致,但“減振區(qū)域”并不一樣,這是由于x與y方向上受力不同.

圖3 無(wú)量綱時(shí)滯量-無(wú)量綱幅值曲線(實(shí)線代表穩(wěn)定解,虛線代表不穩(wěn)定解)Fig.3 Dimensionless time delay-dimensionless amplitude curves

圖4展示了控制器中比例增益kp為1.3,1.5,1.8和2.2時(shí)的曲線,圖5展示了微分增益為0.003,0.005,0.008和0.012時(shí)的曲線.對(duì)比之下,比例系數(shù)變化時(shí)曲線的形狀變化更大.表1和表2分別統(tǒng)計(jì)了圖4、圖5中減振區(qū)域的區(qū)間,可以看到比例系數(shù)變化時(shí)減振區(qū)域的變化更大,當(dāng)kp為2.2時(shí)減振區(qū)域由不連續(xù)的四個(gè)區(qū)間組成.對(duì)比表1和表2,微分系數(shù)增大對(duì)于減振區(qū)域影響較小.適當(dāng)增大微分增益有助于提高系統(tǒng)阻尼,也可減小系統(tǒng)的振動(dòng)幅值,但減振效果有限,因?yàn)檫^(guò)大的微分增益同時(shí)也放大了系統(tǒng)的高頻噪聲,使系統(tǒng)性能惡化.

表1 不同kp的減振區(qū)域

表2 不同kd的減振區(qū)域

圖4 不同比例增益kp時(shí)τ-ax曲線Fig.4 τ-ax curves at different proportional gains kp

圖5 不同微分增益kd時(shí)τ-ax曲線Fig.5 τ-ax curves at different differential gains kd

上面研究了轉(zhuǎn)速與系統(tǒng)固有頻率相等(σ1=0)情況下的減振效果.為研究其他轉(zhuǎn)速下是否也具有減振效果,圖6展示了圖3(b)中A,B兩點(diǎn)代表的時(shí)滯量以及情況下的幅頻特性曲線.當(dāng)τ=0時(shí),系統(tǒng)在各轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)均穩(wěn)定且幅值較小,而當(dāng)時(shí)滯量為0.23時(shí)(點(diǎn)A),系統(tǒng)的共振區(qū)幅值明顯增大,且在σ1∈[-0.052,0.052]范圍內(nèi)失去穩(wěn)定性,這對(duì)轉(zhuǎn)子的安全穩(wěn)定運(yùn)行造成很大威脅.當(dāng)時(shí)滯量為2.3時(shí)(點(diǎn)B),系統(tǒng)在水平和豎直方向上主共振峰值均大幅減小,但當(dāng)轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)離主共振情況時(shí),時(shí)滯控制的效果不一定好,如圖6(a)中σ1=-0.1,τ=2.3的幅值要高于無(wú)時(shí)滯振幅.

圖6 不同轉(zhuǎn)速下時(shí)滯控制的效果Fig.6 Effect of time delay control at different rotation speeds

圖7展示了不同轉(zhuǎn)速下時(shí)滯的“減振區(qū)域”.x和y方向上“減振區(qū)域”的分布并不相同,上方區(qū)域面積較大,包括了大多數(shù)σ1取值.x方向的上方減振區(qū)域左側(cè)邊界為σ1=-0.06,而在σ∈[-0.1,-0.06]區(qū)間內(nèi)只有下方減振區(qū)域.圖6和圖7說(shuō)明在轉(zhuǎn)速變化時(shí)同一時(shí)滯量做不到全范圍減振,此時(shí)可能根據(jù)需要進(jìn)行時(shí)滯量參數(shù)的變化以適應(yīng)減振需求.但在y方向上合適的時(shí)滯量是能做到σ∈[-0.1,0.1]范圍內(nèi)均減小振動(dòng).

轉(zhuǎn)子不平衡是工程中較為常見(jiàn)的一個(gè)問(wèn)題,質(zhì)量偏心相當(dāng)于對(duì)轉(zhuǎn)子施加一個(gè)同頻激勵(lì),使轉(zhuǎn)子產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng).工程中若發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡問(wèn)題,一般需要停止設(shè)備運(yùn)行并進(jìn)行動(dòng)平衡處理,費(fèi)時(shí)費(fèi)力.磁懸浮軸承具有可施加主動(dòng)控制的優(yōu)勢(shì),無(wú)需硬件改造,只需在算法上進(jìn)行處理,即可對(duì)轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)進(jìn)行抑制.圖7展示了不同轉(zhuǎn)速下時(shí)滯對(duì)無(wú)量綱偏心量-無(wú)量綱幅值曲線的影響.時(shí)滯量選取了圖3“減振區(qū)域”中的τ=2.3.當(dāng)τ=0時(shí),由

圖8 加入時(shí)滯控制前后轉(zhuǎn)子偏心量e-幅值曲線(紅點(diǎn)表示數(shù)值模擬解)Fig.8 Eccentricity-amplitude curve before and after considering time delay (Red dots indicate numerical simulation solutions)

于電磁力的非線性以及電磁軸承的幾何耦合,系統(tǒng)表現(xiàn)出許多非線性現(xiàn)象,如多值、突跳現(xiàn)象等.系統(tǒng)在某些轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)存在不穩(wěn)定解,這使系統(tǒng)存在失穩(wěn)的風(fēng)險(xiǎn),如圖7(c)(d)中虛線所示.當(dāng)σ1時(shí)隨著偏心量的增加轉(zhuǎn)子振動(dòng)幅值總體趨勢(shì)是增大的,這是因?yàn)槠牧康脑黾酉喈?dāng)于對(duì)轉(zhuǎn)子的激勵(lì)增大,因此振動(dòng)幅值增大.當(dāng)采用傳統(tǒng)PD控制時(shí)(τ=0),系統(tǒng)在各偏心率下均保持穩(wěn)定,但幅值較大;采用時(shí)滯反饋控制后(τ=2.3),系統(tǒng)在水平和豎直方向幅值均降低.當(dāng)σ1=0.08時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)的對(duì)比,如圖7(c)(d).采用線性PD控制時(shí)(τ=0),系統(tǒng)特性曲線出現(xiàn)不穩(wěn)定區(qū)域,說(shuō)明系統(tǒng)在某些偏心量下可能會(huì)發(fā)生失穩(wěn).加入時(shí)滯控制后(τ=2.3),不穩(wěn)定區(qū)域消失,同時(shí)各偏心率對(duì)應(yīng)的振動(dòng)幅值也大大減小.紅點(diǎn)表示通過(guò)MATLAB中dde23求得的數(shù)值積分解,與多尺度法所得近似解吻合良好.以上分析說(shuō)明了時(shí)滯反饋控制對(duì)于最常見(jiàn)的轉(zhuǎn)子不平衡問(wèn)題具有良好的抑制作用.

3 結(jié)論

本文建立了時(shí)滯反饋控制下高速轉(zhuǎn)子-電磁軸承系統(tǒng)的非線性模型,利用多尺度法求得方程的近似解并進(jìn)行穩(wěn)定性判定,利用MATLAB中dde23求解器驗(yàn)證近似解的準(zhǔn)確性.主要研究了時(shí)滯反饋控制對(duì)于系統(tǒng)主共振峰值及穩(wěn)定性的影響,并對(duì)時(shí)滯量的選取進(jìn)行了分析,同時(shí)考察了時(shí)滯反饋控制對(duì)工程中最常見(jiàn)的轉(zhuǎn)子不平衡問(wèn)題的控制效果.主要結(jié)論如下:

(1)相對(duì)于微分增益,比例增益kp對(duì)時(shí)滯量“減振區(qū)域”影響較大.

(2)在某些時(shí)滯量取值下,轉(zhuǎn)子振動(dòng)幅值增大直至失穩(wěn),當(dāng)時(shí)滯量取在“減振區(qū)域”時(shí)有助于減小轉(zhuǎn)子振動(dòng)幅值,增強(qiáng)運(yùn)行穩(wěn)定性.由于受力的不同,水平和豎直方向上“減振區(qū)域”并不相同.

(3)時(shí)滯反饋控制對(duì)于轉(zhuǎn)子-電磁軸承系統(tǒng)的主共振峰值具有良好的抑制作用,但當(dāng)轉(zhuǎn)速變化時(shí)同一時(shí)滯量可能失去減振作用.

(4)時(shí)滯反饋控制對(duì)轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)具有顯著的控制效果,并且消除了一些非線性現(xiàn)象如多值、突跳等,具有廣闊的應(yīng)用前景.

在高速轉(zhuǎn)子-電磁軸承系統(tǒng)的振動(dòng)控制中,相對(duì)于其他復(fù)雜的控制算法,時(shí)滯反饋控制相對(duì)簡(jiǎn)單且容易理解.本文的研究結(jié)果表明其減振效果良好,具有廣闊的應(yīng)用前景,但伴隨而來(lái)的問(wèn)題是若時(shí)滯量取的不好甚至不對(duì),系統(tǒng)將會(huì)失去穩(wěn)定性.系統(tǒng)非線性與時(shí)滯的聯(lián)合作用使得系統(tǒng)非常復(fù)雜,目前對(duì)于時(shí)滯量取值的理論指導(dǎo)還較少,多數(shù)情況下要依靠數(shù)值模擬結(jié)果,為此需要更多的研究.