談高考真題的新解、剖析與逆向設(shè)計(jì)的嘗試
——以2023年高考兩道解析幾何試題為例

駱銀海

(諸暨市教育研究中心,浙江 諸暨 311899)

高考真題凝聚了命題專家的心血與智慧,又廣泛吸收了中學(xué)基礎(chǔ)教育研究的最新成果,是引導(dǎo)中學(xué)教師教學(xué)方向的標(biāo)桿．因此,要圍繞高考真題進(jìn)行解法創(chuàng)新、試題形成機(jī)理剖析是常見的解題教學(xué)模式,但僅圍繞高考真題思考是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,還要對(duì)高考真題的前因后果進(jìn)行溯源拓展.教師可通過逆向設(shè)計(jì),判斷從結(jié)論到條件的命題是否成立,充分應(yīng)用好這一寶貴的教學(xué)資源.這一探索的過程恰好是得到創(chuàng)新解法的過程,有些解題方法無論在理論上還是在實(shí)踐上都是全面的創(chuàng)新．基于此,本文以2023年兩道高考解析幾何試題為例,談高考真題的新解、剖析與逆向設(shè)計(jì)的嘗試．

1)求p的值;

(2023年全國(guó)數(shù)學(xué)高考甲卷理科試題第20題)

由題目所給條件,不難得到p=2,同時(shí)記拋物線為C:y2=4x,下面重點(diǎn)介紹第2)小題的分析步驟與解法．

2)解法1 先畫出草圖(如圖1),延長(zhǎng)MN交x軸于點(diǎn)T.設(shè)直線MN的方程為x=my+t,點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),T(t,0),聯(lián)立方程組

圖1

得

y2-4my-4t=0,

判別式Δ=16(m2+t),由根與系數(shù)的關(guān)系,得

y1+y2=4m,y1y2=-4t.

=(my1+t-1)(my2+t-1)+y1y2

=(m2+1)y1y2+(mt-m)(y1+y2)+(t-1)2

=-4t(m2+1)+4m2(t-1)+(t-1)2=0.

從而

4m2=t2-6t+1≥0,

解得

此時(shí),判別式

Δ=4(4m2+4t)=4(t-1)2,

從而

于是

又

計(jì)算線段MN的長(zhǎng)度和點(diǎn)F到直線MN的距離d分別為

解法2 如圖2,作FQ平行y軸交MN于點(diǎn)Q,設(shè)直線MN的方程為y=kx+n,聯(lián)立方程組

圖2

可得

k2x2+2(nk-2)x+n2=0,

其根的判別式

Δ=16(1-nk),

由根與系數(shù)的關(guān)系,得

=(1+k2)x1x2+(nk-1)(x1+x2)+n2+1=0,

于是

(n+k)2=4(1-nk),

故

n2+6nk+k2-4=0,

整理得

解得

又

于是

也可以利用拋物線焦半徑公式結(jié)合三角函數(shù)來求|FM|和|FN|的值,其解答過程如下:

圖3

|FN|=1+xN=2+|FN|cosθ,

故

同理可得

因?yàn)?/p>

評(píng)注 處理最值的方法還可以通過換元,應(yīng)用二次函數(shù)進(jìn)行配方．

圖4

1)試用兩種方法求△POQ面積的最大值,比較這兩種解法的簡(jiǎn)潔性;

2)設(shè)點(diǎn)R(3,-1),用割補(bǔ)法求RQEP的面積S(k)的表達(dá)式．

1)求曲線C的方程.

2)過點(diǎn)(-2,3)的直線交曲線C于點(diǎn)P,Q,直線AP,AQ與y軸分別交于點(diǎn)M,N．求證:MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)．

(2023年全國(guó)數(shù)學(xué)高考乙卷理科試題第20題)

圖5

(4k2+9)x2+8mkx+4m2-36=0.

由根與系數(shù)的關(guān)系,且3=-2k+m,得

易得直線AP的方程為

令x=0,得

同理可得

設(shè)MN的中點(diǎn)R(0,y0),則

即

=2k+(3-2k)=3,

故線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)R(0,3)．

逆向設(shè)計(jì) 現(xiàn)在不再探討真題的其他解法了,而是把條件與結(jié)論換過來,設(shè)MN過定點(diǎn)R(0,3),反向推導(dǎo)直線PQ(記為l)過定點(diǎn),其他條件都不變．

(9m2+4)y2+18mty+9(t2-4)=0.

由根與系數(shù)的關(guān)系,得

從而

2mty1y2+(t2-4)(y1+y2)=0.

易得直線AP的方程為

令x=0,得

同理可得

因?yàn)镽(0,3)是MN的中點(diǎn),所以

整理得

(3m2-2m)y1y2+(t+2)(3m-1)(y1+y2)+3(t+2)2=0,

把根與系數(shù)的關(guān)系代入,得

(t+2)(3m+t+2)=0.

又因?yàn)閠≠-2,所以

t=-3m-2,

因此,直線l的方程為

(y-3)m-(x+2)=0.

由于m可取無數(shù)個(gè)值,則

解法2 設(shè)M(0,3-t),N(0,3+t),其中t是任意正數(shù),設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則直線AM為

即

2y=(3-t)(x+2).

(t2-6t+18)x2+4(3-t)2x+4t2-24t=0.

由根與系數(shù)的關(guān)系,得

從而

則

用-t替代t,可得

于是

進(jìn)而直線PQ的方程為

化簡(jiǎn)可得

故直線l過定點(diǎn)(-2,3)．

圖6

(m2-3)y2+2mny+n2-3=0.

從而

記N(x,y),則

觀察這個(gè)算式,計(jì)算結(jié)果是什么?

發(fā)現(xiàn)是二元二次三項(xiàng)式,二次項(xiàng)為(m2+1)y1y2,一次項(xiàng)為(mn-mx-y)(y1+y2),常數(shù)項(xiàng)為(n-x)2+y2,即

(m2+1)y1y2+(mn-mx-y)(y1+y2)+(n-x)2+y2=0.

(1)

接下來該怎樣思考呢?下面是一些學(xué)生提出的想法．

關(guān)于m的二次方程(1)有實(shí)數(shù)解,判別式Δ≥0,再配方成非負(fù)數(shù)和小于等于0,即配方成形如

教師提出疑問 能完成如此復(fù)雜的運(yùn)算嗎?即使能辛苦完成運(yùn)算,請(qǐng)思考一下,方程(1)中有幾個(gè)實(shí)數(shù)解?與實(shí)際情況吻合嗎?

教師啟發(fā)學(xué)生思考,讓問題回到數(shù)學(xué)的本質(zhì).方程(1)不能看成關(guān)于m的狹隘的二次方程,而是關(guān)于任意實(shí)數(shù)m都成立的恒等式,也就是說m至少有3個(gè)以上的解．因此,

解后反思 涉及關(guān)于實(shí)數(shù)x的一元二次方程,學(xué)生長(zhǎng)期僅對(duì)狹隘的一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a≠0,a,b,c∈R)研究得比較透徹,但對(duì)于廣義一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c∈R)的研究完全處于零狀態(tài).廣義一元二次方程可能存在有3個(gè)以上的多解情形,其條件是a=b=c=0．事實(shí)上,關(guān)于x的廣義一元一次方程在解析幾何中的應(yīng)用也遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,如果在解題中有意識(shí)地使用會(huì)起到四兩撥千斤的作用.

圖7

(4k2-3)x2+24kx+24=0.

由根與系數(shù)的關(guān)系,得

即

-kx1x2=x1+x2.

直線PQ1的方程為

(2)

直線QP1的方程為

化簡(jiǎn)得

即

(2ty-3-t2)(4k2-3)+18(y-2)=0.

由于k是任意實(shí)數(shù),則4k2-3有無數(shù)個(gè)解,由廣義一元一次方程有無數(shù)解的條件得

故直線PQ1和直線QP1相交于定點(diǎn)H(0,2),t=1.

結(jié)束語 高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要類型之一是解題教學(xué).以高考真題為載體進(jìn)行復(fù)習(xí)課教學(xué)需要解決“使用什么教學(xué)方法?推介什么創(chuàng)新解法?滲透什么數(shù)學(xué)思想?養(yǎng)成什么思維品質(zhì)?怎樣拓展試題?”等問題,這樣才能形成發(fā)展性的教學(xué)效果.創(chuàng)新解法,剖析試題形成機(jī)理,并進(jìn)行試題逆向設(shè)計(jì)就能很好地處理上述問題,起到舉一反三的作用,促進(jìn)教學(xué)深層次的發(fā)展．