基于“四能”的章末“問題與探究”教學實踐與思考
——以“向量方法在直線中的應用”為例

錢 健

(南京師范大學附屬揚子中學,江蘇 南京 210048)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課標》)指出,提高從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力(以下統(tǒng)稱“四能”),并將“數(shù)學建?；顒雍蛿?shù)學探究活動”作為教學主線之一.教材章末的“問題與探究”是落實數(shù)學探究活動的一個有效抓手.目前“數(shù)學探究活動”在課堂實施中往往流于形式,師生重視程度不夠,但其現(xiàn)實的重要性和培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)過程中的作用是不言而喻的.

在2023年4月江蘇省南京市江北新區(qū)高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課大賽暨推薦參加市賽選拔賽中,專家組給出的課題是蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學》(選擇性必修第一冊)(以下統(tǒng)稱“教材”)第一章章末“問題與探究”中“向量方法在直線中的應用”[1].這不僅是對選手教材理解水平的考查,也是對組織學生進行數(shù)學探究活動的考查,同時還是落實《課標》教學主線“數(shù)學建模和數(shù)學探究”的體現(xiàn).筆者作為參賽選手,嘗試從“四能”的角度開展探究活動,以問題驅(qū)動思考,充分調(diào)動了學生的積極性和主動性,課堂效果良好.賽后梳理成文,與同行交流.

1 “向量方法在直線中的應用”的課堂重現(xiàn)

問題是探究發(fā)生的保障,是學習動機生成的本源,有效的探究性學習是建立在問題之上的．因此,在教學環(huán)節(jié)中應把握時機,精選易激起探究興趣的問題來組織探究活動,逐漸將數(shù)學探究引向深入．本節(jié)課從“數(shù)學地發(fā)現(xiàn)問題—提出有意義的數(shù)學問題—分析問題,猜想結(jié)論—通過探究解決問題”這4個環(huán)節(jié)展開.

環(huán)節(jié)1 用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)問題.

例1 已知直線l過點P(x0,y0),且與直線l1:Ax+By+c=0 (其中點P不在l1上)平行,其中A,B不全為0,求證:直線l的方程為A(x-x0)+B(y-y0)=0.

師:確定一條直線需要哪些條件?

生1:一個點與一個方向.

師(追問):如何描述直線方向?

生2:前面學習直線方程時借助斜率、傾斜角來體現(xiàn)方向.

師(追問):還有什么方式也可以描述方向?

生3:向量,由向量的定義知它具備代數(shù)和幾何雙重性質(zhì),能體現(xiàn)方向.

生4:直線可以看成帶箭頭向量的無限延展,因此我認為可以用向量來研究直線.

師:例1中的數(shù)學問題如何思考?

生5:可以看成l上任意一點與點P構(gòu)成的向量與l1平行.

設計意圖 依托平面直角坐標系,學生已經(jīng)建立點與坐標、直線與方程的聯(lián)系.而作為溝通幾何與代數(shù)的重要工具——向量,具有代數(shù)和幾何的雙重特征,是溝通幾何和代數(shù)的橋梁.學生通過方向的描述方式的不同,發(fā)現(xiàn)向量在體現(xiàn)方向上的作用,通過引導學生在具體的情境中用數(shù)學的眼光思考,發(fā)現(xiàn)問題,感受向量的幾何代數(shù)特征在處理直線問題中的作用.同時“向量方法在直線中的應用”是課堂教學內(nèi)容的自然延伸,是完善知識體系、豐富知識內(nèi)涵而提出的.

環(huán)節(jié)2 用數(shù)學的語言提出問題.

預備知識1 直線的方向向量的概念.

預備知識2 直線的法向量的概念.

(內(nèi)容略,詳見教材第41頁.)

師:基于例1的問題解決,你能提出哪些問題?

學生提出的問題有:1)在定義的基礎上,從形式(x2-x1,y2-y1)出發(fā)想辦法,直線與方向向量存在什么關系?

2)l1是否可以用某個向量表示?

3)l1用向量表示是否唯一?

4)l1可以用哪些向量來表示?

設計意圖 愛因斯坦認為,提出一個問題比解決一個問題更重要.在情境中思考,數(shù)學的發(fā)現(xiàn)、提出問題是一個偉大發(fā)現(xiàn)必須經(jīng)歷的過程,學生經(jīng)歷這個過程是有價值的.

師生活動 學生先獨立思考,3分鐘后分組討論,交流;教師巡視,指導,參與學生探究;6分鐘后小組代表發(fā)言,其他學生提問質(zhì)疑,小組成員補充.

對于問題1),直線的方向向量可以表示一條直線的方向.

對于問題2),根據(jù)定義可以在直線l1上任取不同的兩個點M,N構(gòu)成向量來表示直線的一個方向向量.

對于問題3),由任意性知直線的方向向量有無數(shù)個.

問題3)的補充:還可以跳出直線取與MN平行的非零向量作為直線的方向向量.

對問題4)的補充回答:由M(x1,y1),N(x2,y2)是l1上的任意兩點,代入直線方程,聯(lián)立得

A(x2-x1)+B(y2-y1)=0,

師:這個方向向量直觀簡潔,這就是數(shù)學美的體現(xiàn).

設計意圖 在認識定義后,很自然地需要分析解決:解決什么?如何解決?為什么這樣解決?從而引導學生“知其然,知其所以然,何由以知其所以然”,并探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì)、規(guī)律和知識之間的聯(lián)系.

環(huán)節(jié)3 用數(shù)學的思維分析問題.

探究1 從任意取點找方向向量到l1的一個方向向量(-B,A),這個方向向量與c無關,與A,B有關,能否進一步一般化?

師生活動 把問題拋給學生,直線的方向向量表示直線的方向,而斜率、傾斜角也表示直線的方向,它們到底有什么關系?引導學生從斜率和傾斜角的角度去思考.

生7:從傾斜角的角度,方向向量可以用傾斜角α表示,v=(cosα,sinα)為l1的一個方向向量.

師:真棒!這樣就把直線的方向向量、斜率、傾斜角聯(lián)系起來了.

設計意圖 通過直線方向向量與斜率、傾斜角關系的探究,讓學生體會直線無數(shù)個方向向量中具有代表性的方向向量,感受數(shù)學的簡潔美.

生8:既然平行直線l1的向量能表示直線的方向,那么我認為垂直直線l1的向量也能體現(xiàn)直線的方向.

探究2 法向量能否體現(xiàn)直線的方向?法向量是否唯一?直線的法向量如何表示?

探究結(jié)果 1)由M(x1,y1),N(x2,y2)是l1上的任意兩點,代入直線方程,聯(lián)立得

A(x2-x1)+B(y2-y1)=0,

聯(lián)想到向量垂直的運算知(A,B)與MN垂直,即(A,B)為直線的一個法向量.

2)與直線的方向向量垂直的向量均是直線的法向量,因此直線的法向量不唯一.

3)直線l⊥l1,l的方向向量即為l1的法向量,反之亦然.

4)當直線斜率存在時,(k,-1)為其一個法向量,當斜率不存在時,(1,0)為直線的一個法向量;若直線傾斜角為α,則γ=(sinα,-cosα)為直線的一個法向量.

設計意圖 通過直線法向量的探究,類比方向向量與斜率、傾斜角關系的探究.學習直線的法向量,讓學生體會數(shù)學學習中類比的重要性.在探究活動過程中學生獨立思考、交流合作,讓學生體驗探索的過程和成功的樂趣或失敗的經(jīng)歷,這都是學科育人的體現(xiàn).

環(huán)節(jié)4 用數(shù)學的方法解決問題.

師:通過對直線方向向量與法向量的探究,談談你會如何解決例1.

A(x-x0)+B(y-y0)=0.

A(x-x0)+B(y-y0)=0.

師:向量的方法還可以研究與直線有關的哪些問題呢?

師生活動 將問題拋給學生,讓學生在問題情境解決的活動經(jīng)驗下,獨立思考,小組討論,組內(nèi)完善,小組代表給出問題和解決方案,其他組的學生可以質(zhì)疑,教師適時點評.

問題1 已知直線l經(jīng)過點P(x0,y0),它的一個方向向量為(-B,A)(其中A,B不同時為0),求直線l的方程.

問題2 已知直線l經(jīng)過點P(x0,y0),它的一個法向量為(A,B)(其中A,B不同時為0),求直線l的方程.

問題3 已知直線l1:A1x+B1y+C1=0(其中A1,B1不同時為0),l2:A2x+B2y+C2=0(其中A2,B2不同時為0),則l1∥l2的條件是什么?

問題4 已知直線l1:A1x+B1y+C1=0(其中A1,B1不同時為0),l2:A2x+B2y+C2=0(其中A2,B2不同時為0),則l1⊥l2的條件是什么?

問題5 推導點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(其中A,B不同時為0)的距離公式.

問題1～4的解決方案可直接借助直線方向向量和法向量解決,這里略去.問題5的解決方案如下:

取l的一個法向量γ=(A,B),在l上任取一點M(x,y),記點到直線距離為d,則

由

又

Ax+By+C=0,

得A(x-x0)+B(y-y0)=Ax+By-Ax0-By0

=-C-Ax0-By0,

即

在問題5解決后,學生紛紛為其鼓掌,突然一位學生說:“我能用向量推導出兩平行線之間的距離.”

問題6 推導兩平行直線l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(其中A,B不同時為0,且C1≠C2)的距離公式.

問題6的解決方案如下:

在l1上任取一點M1(x1,y1),在l2上任取一點M2(x2,y2),平行線的一個法向量為γ=(A,B),則

又

Ax1+By1=-C1,Ax2+By2=-C2,

則

設計意圖 波利亞認為,學習的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn)、探究,這樣的理解最深刻,也最容易掌握知識內(nèi)在的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.在厘清定義、解決例1后,學生具備了基本活動經(jīng)驗,這時給學生一個開放性的問題.充分放手,讓學生通過獨立思考、小組討論,經(jīng)歷發(fā)生、發(fā)展和解決問題的過程,讓知識運用、方法整合、思維碰撞,從而真正地形成能力.

2 “問題與探究”的教學思考

在教材章末“問題與探究”中,要依據(jù)內(nèi)容和學情,選擇恰當?shù)囊暯情_展探究和體驗活動,要真正地體現(xiàn)探究性.讓學生用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)問題、用數(shù)學的語言提出問題、用數(shù)學的思維分析問題、用數(shù)學的方法解決問題,體現(xiàn)數(shù)學與現(xiàn)實的聯(lián)系,落實數(shù)學育人.

2.1 基于整體理解的探究內(nèi)容分析

數(shù)學探究活動作為《課標》和教材的主線之一,是圍繞某個數(shù)學問題、開展自主探究、合作交流,并最終解決問題的過程;它強調(diào)不同知識點的聯(lián)系和解決問題,目的是啟發(fā)學生思考,培養(yǎng)數(shù)學關鍵能力.在教材中,正文部分左側(cè)有引發(fā)探究活動的“思考”與“問題”,習題部分有“探究·拓展”,章末有“問題與探究”,為學生提供了“課堂學習、課后作業(yè)、自主學習”所需要的豐富的探究素材,突出“四能”背景下的問題導向,為學生提供有吸引力的問題、真實的情境與活動,讓學生養(yǎng)成用數(shù)學眼光觀察世界、用數(shù)學思維分析世界、用數(shù)學語言表達世界的習慣.

向量具有代數(shù)和幾何的雙重特征,是溝通幾何和代數(shù)的橋梁.學生通過學習向量在直線中的應用,感受向量法在處理解析幾何中體現(xiàn)出的簡潔和直觀.“向量方法在直線中的應用”是課堂教學內(nèi)容的自然延伸,是完善知識體系、豐富知識內(nèi)涵而提出的.

2.2 基于一般觀念的探究內(nèi)容再加工

數(shù)學學科的“一般觀念”,是對內(nèi)容及其反映的數(shù)學思想和方法進一步的提煉和概括,是研究數(shù)學對象的方法論[2].“一般觀念”指導探究內(nèi)容再加工,旨在學生能自覺地用數(shù)學的方式對事物進行觀察、思考、分析以及發(fā)現(xiàn)和提出問題;引導學生“知其然,知其所以然,何由以知其所以然”,培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì)、規(guī)律和知識之間聯(lián)系的能力.

“向量方法在直線中的應用”從方向向量和法向量來研究直線及其性質(zhì),從突出方程思想轉(zhuǎn)向突出向量思想.為什么要學習向量方法在直線中的應用?從向量的視角研究直線有什么用?對后續(xù)的學習有什么指導作用?這些都要求教師對教材中陳述性的新概念和知識進行再加工,創(chuàng)造性地使用教材,形成驅(qū)動學生思考探究的活動.

學什么——知其然.直線方向向量和法向量在直線中的應用.

為什么學——知其所以然.用向量來刻畫斜率,探求直線方向向量和法向量與斜率的關系.從向量的視角刻畫直線中的元素,形成用向量研究直線的新思路.

學了有什么用——何由以知其所以然.通過課題形成幾何法研究幾何對象的思路:幾何問題向量化(數(shù)學發(fā)現(xiàn)問題)→向量的代數(shù)運算(數(shù)學分析解決問題)→向量表達幾何問題(數(shù)學表達問題).

2.3 基于問題鏈設計的教學主線

問題是課堂教學的心臟.教學中要根據(jù)教學內(nèi)容,立足學生的認知水平設計系統(tǒng)、層次、結(jié)構(gòu)化的問題序列,這就是問題鏈.問題鏈有助于學生理解概念、形成技能、領悟思想,同時激發(fā)學生的探究熱情,讓學生主動地進行探究.用問題鏈來開展“問題與探究”教學,為學生提供脈絡化的探究路徑,是提高探究能力的一種有效嘗試.

在環(huán)節(jié)2中,為厘清概念,引導學生在具體情境中用數(shù)學的眼光觀察對象、發(fā)現(xiàn)問題,在問題鏈的驅(qū)動下用恰當?shù)臄?shù)學語言對問題進行抽象、表達.

在環(huán)節(jié)4中,向量的方法還可以研究與直線有關的哪些問題呢?將問題引向深入,啟發(fā)學生用數(shù)學的思維思考問題,引發(fā)一系列的數(shù)學問題,形成有層次、結(jié)構(gòu)化的問題,引導學生主動地用數(shù)學方法解決問題.

“四能”是數(shù)學教學的重要目標,是數(shù)學關鍵能力的體現(xiàn);基于“四能”開展探究活動能進一步提升學生的數(shù)學素養(yǎng),讓探究成為學生的學習習慣.