一類圓錐曲線與多個(gè)三角形組合問(wèn)題的解法探究

丁 晨

(海寧市高級(jí)中學(xué),浙江 海寧 314400)

解析幾何題是全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷和以往浙江數(shù)學(xué)高考每年必考的題型,選擇題、填空題和解答題中都有考查解析幾何知識(shí)點(diǎn)的題目,難度從中等到較難．其中選擇題、填空題以考查圓錐曲線等平面圖形的幾何性質(zhì)為主,學(xué)生的解題以小題小做為原則,講究通性通法,探尋幾何關(guān)系．圓錐曲線與多個(gè)三角形組合的解析幾何問(wèn)題在高考中頻繁出現(xiàn),這類問(wèn)題通常具有相對(duì)復(fù)雜的幾何性質(zhì),學(xué)生很難抓住幾何關(guān)系進(jìn)行求解．下面筆者以2023年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第16題和往年高考、高中學(xué)業(yè)水平考試(以下簡(jiǎn)稱“學(xué)考”)等解析幾何選擇題、填空題為例,幫助學(xué)生厘清知識(shí)要點(diǎn),構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò),找尋思考路徑,跨越思維障礙．

臭氧濃度及產(chǎn)量是評(píng)價(jià)一臺(tái)臭氧發(fā)生器性能的重要指標(biāo)之一。在額定流量為62m3/h（標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下）的條件下，隨著臭氧功率的增加，臭氧濃度由80.9mg/L逐漸上升至135.4mg/L，與此同時(shí)，臭氧的產(chǎn)量從5.0kg/h上漲至8.4kg/h，說(shuō)明臭氧發(fā)生器功率對(duì)臭氧濃度及產(chǎn)量具有顯著的影響。這主要是由于臭氧的產(chǎn)生是利用交變高壓電場(chǎng)使含氧氣體產(chǎn)生電暈放電，電暈中的高能自由電子離解氧分子并聚合生成臭氧分子，因此，在流量一定時(shí)，臭氧的濃度及產(chǎn)量與臭氧發(fā)生器的功率基本上呈現(xiàn)為正相關(guān)。

(2023年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第16題)

審題分析 首先根據(jù)題目條件作出圖象(如圖1),發(fā)現(xiàn)圖中除了雙曲線之外,還有3個(gè)三角形,分別為Rt△ABF1、等腰△BF1F2和焦點(diǎn)△AF1F2．直角三角形與勾股定理相關(guān),焦點(diǎn)三角形的邊長(zhǎng)與雙曲線定義中的a,c相關(guān)．

圖1

解題思路 根據(jù)題目條件,先設(shè)F2A的長(zhǎng)度,然后表示出F2B,F1B的長(zhǎng)度,根據(jù)勾股定理計(jì)算出F1A的長(zhǎng)度,應(yīng)用雙曲線定義可把圖中的線段F2A,F2B,F1A,F1B,F1F2全部表示為含a,c的表達(dá)式,最后應(yīng)用余弦定理等建立a,c之間的關(guān)系式,求得雙曲線離心率．

|F2B|=|F1B|=3m,

則

|AB|=5m.

|F1B|2+|F1A|2=|AB|2,

故

|F1A|=4m.

應(yīng)用雙曲線定義|F1A|-|F2A|=2a,可知

4m-2m=2a,

即

a=m,

亦即

|F2B|=|F1B|=3a.

在△F1BF2中,應(yīng)用余弦定理得

在Rt△ABF1中,

從而

從而

即

在利用多個(gè)三角形建立等量關(guān)系時(shí),還可以用如下方法:

從而

在Rt△ABF1中,

因?yàn)閏os∠F1AF2=cos∠F1AB,所以

從而

故

解法分支2 在△F1AF2中,應(yīng)用余弦定理得

在Rt△BF2O中,

因?yàn)閏os∠AF2F1=-cos∠BF2O,所以

從而

一是加強(qiáng)政府監(jiān)管。強(qiáng)化對(duì)工程建設(shè)全過(guò)程的質(zhì)量安全監(jiān)管，加強(qiáng)對(duì)關(guān)鍵工序和主要分部分項(xiàng)工程的驗(yàn)收環(huán)節(jié)的監(jiān)督檢查；加強(qiáng)對(duì)監(jiān)理單位的履職情況的檢查，充分發(fā)揮監(jiān)理單位在質(zhì)量控制中的作用；加強(qiáng)對(duì)工程質(zhì)量檢測(cè)管理，嚴(yán)抓建筑材料和實(shí)體結(jié)構(gòu)的取樣、送樣檢測(cè)等環(huán)節(jié)的真實(shí)性，嚴(yán)厲打擊出具虛假報(bào)告等行為。

即

解題反思 此題緊緊圍繞與雙曲線相關(guān)的幾個(gè)特殊三角形的幾何性質(zhì),涉及雙曲線的定義、三角形的邊角關(guān)系及它們之間的聯(lián)系,一般應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)是圓錐曲線定義、勾股定理、余弦定理等三角函數(shù)知識(shí)[1].計(jì)算過(guò)程抓住變量的個(gè)數(shù)與等量關(guān)系的個(gè)數(shù),通過(guò)合理的消元達(dá)到最終的求解目標(biāo)．考查學(xué)生根據(jù)題意的作圖能力和幾何條件之間的轉(zhuǎn)換能力,還需要一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

針對(duì)目前的市場(chǎng)形勢(shì)，國(guó)內(nèi)出現(xiàn)了兩種CDM開(kāi)發(fā)模式。一是先簽訂減排量購(gòu)買協(xié)議，由買家承擔(dān)前期開(kāi)發(fā)成本和風(fēng)險(xiǎn)的雙邊模式。二是由業(yè)主承擔(dān)前期開(kāi)發(fā)成本和風(fēng)險(xiǎn)、待項(xiàng)目注冊(cè)成功后再尋找買家的單邊模式。

圓錐曲線和多個(gè)三角形組合的解析幾何選擇題、填空題在歷年的高考、學(xué)考中屢次出現(xiàn).接著再看幾道例題．

例2 已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),過(guò)點(diǎn)F2的直線與C交于點(diǎn)A,B．若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為

( )

(2019年全國(guó)數(shù)學(xué)高考Ⅰ卷理科試題第10題)

審題分析 首先根據(jù)題目條件作出圖象(如圖2),發(fā)現(xiàn)圖中除了橢圓之外還有3個(gè)三角形,分別為等腰△ABF1、焦點(diǎn)△AF1F2,△BF1F2,這些三角形的邊、角都與橢圓的a,c(其中a為橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的一半,c為焦距的一半)相關(guān)[2]．

第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)就是將傳統(tǒng)電視媒體與新媒體之間進(jìn)行有機(jī)結(jié)合。因?yàn)殡娨暶襟w的播出時(shí)間方面有著較大的限制，在網(wǎng)絡(luò)之中進(jìn)行直播也要按照預(yù)先設(shè)定的時(shí)間，但是當(dāng)下人民群眾的整體生活節(jié)奏越來(lái)越快，正因如此固定時(shí)間播出的方法很難被人們所接受。而從新媒體的角度來(lái)看，其在播出方面不會(huì)受到時(shí)間因素以及空間因素的制約，能夠以相當(dāng)快的速度完成信息的傳播。在此基礎(chǔ)之上電視媒體可以通過(guò)開(kāi)通公眾平臺(tái)的方式，首先將新聞信息通過(guò)較為便捷的方式傳遞給觀眾，預(yù)先將新聞的重點(diǎn)告知觀眾，通過(guò)這種方式達(dá)到吸引觀眾注意力的效果，而且在這樣的背景之下負(fù)責(zé)電視節(jié)目采編工作的相關(guān)工作人員一定要在第一時(shí)間掌握信息，并且確保信息的準(zhǔn)確度。

圖2

解題思路1 根據(jù)題目條件,先設(shè)F2A的長(zhǎng)度,表示出F2B,F1B的長(zhǎng)度,應(yīng)用橢圓定義可把圖中F2A,F2B,F1A,F1B,F1F2全部表示為含a,c的表達(dá)式,最后應(yīng)用余弦定理等建立a,c之間的關(guān)系式,求得橢圓的方程．

解法1 令|AF2|=2|F2B|=2m,則

|BF1|=3m.

由橢圓的定義,得

|BF1|+|BF2|=4m=|AF1|+|AF2|,

2.2 CU檢測(cè)和RT-3DE檢測(cè)結(jié)果中RAA、RVDd、ΔIVC比較 RT-3DE檢測(cè)結(jié)果中RAA、RVDd值明顯高于CU檢測(cè)結(jié)果，ΔIVC值明顯低于CU檢測(cè)結(jié)果，組間比較差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(P<0.05)，RT-3DE測(cè)量數(shù)據(jù)的變化幅度更明顯，見(jiàn)表2。

因?yàn)閏os∠F1BF2=cos∠F1BA,所以

|AF1|=2m,

解法1 因?yàn)锳P∥BF,由對(duì)稱性可知直線AP過(guò)左焦點(diǎn)F1,則

|AF1|=|AF2|=2m=a,

在△AF1F2和△ABF1中,

因?yàn)閏os∠F1AF2=cos∠F1AB,所以

解題思路1 根據(jù)題目條件知AF,BF,AF1,BP,BF1的長(zhǎng)度都為a.設(shè)PF1的長(zhǎng)度為2x,應(yīng)用橢圓定義可知FP的長(zhǎng)度.在△BPF1,△AFF1,△APF中,分別用a,c,x表示3個(gè)相等的cos∠BPF1,cos∠F1AF,cos∠PAF,3個(gè)參數(shù)建立兩個(gè)等量關(guān)系,消去x即可得到a,c之間的關(guān)系,進(jìn)而求得橢圓的離心率．

從而

解題反思 此題是以橢圓為基礎(chǔ)的解析幾何問(wèn)題,這里出現(xiàn)的3個(gè)三角形都很特殊,具有較為明顯的幾何特征,解題思路圍繞橢圓定義和余弦定理等應(yīng)用．

( )

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第10題)

審題分析 首先根據(jù)題目條件作出圖象(如圖3),圖中除了雙曲線之外還有一個(gè)焦點(diǎn)△PF1F2和它的一條中線.如果把中線倍長(zhǎng)后可以得到另一個(gè)△PF2Q,它的其中一個(gè)角大小為120°,3條邊長(zhǎng)都與a有關(guān),最終這兩個(gè)三角形的邊、角都與雙曲線的a,c相關(guān)[3]．

圖3

解題思路 設(shè)PF1和PF2的長(zhǎng)度分別為m和n,二者之差為2a.在焦點(diǎn)△PF1F2中應(yīng)用余弦定理可以得到a,c,m,n之間的關(guān)系;倍長(zhǎng)中線PO后得到△PF2Q,應(yīng)用余弦定理可以得到a,m,n之間的關(guān)系;消去m,n可得a,c之間的關(guān)系,應(yīng)用c2=a2+b2得到a,b之間的關(guān)系,求得雙曲線的漸近線方程．

解 設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n.在△PF1F2中,

采用統(tǒng)計(jì)學(xué)SPSS22.0軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)處理?？ǚ接靡詸z驗(yàn)計(jì)數(shù)資料，t值用以檢驗(yàn)計(jì)量資料，經(jīng)P值判定組間差異，以P＜0.05具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

那老人臉一沉，說(shuō)道：“你對(duì)他到底是真好還是假好，為什么連自己的身份來(lái)歷也不跟他說(shuō)？說(shuō)是假好吧，為什么偷了爺爺二十年陳紹給他喝不算，接連幾天晚上，將爺爺留作救命之用的‘玄冰碧火酒’，也拿去灌在這小子的口里？”

無(wú)論是對(duì)女司機(jī)肇事的特別關(guān)注，還是對(duì)整個(gè)女司機(jī)群體的調(diào)侃，即使夠不上性別歧視，也是一種與實(shí)際情況不符的不公。不僅這樣的說(shuō)法不僅沒(méi)有大數(shù)據(jù)的支撐，且許多數(shù)據(jù)還證明，無(wú)論是肇事的絕對(duì)量、相對(duì)量，還是事故的慘烈程度，男司機(jī)都遠(yuǎn)高于女司機(jī)。10月29日《中國(guó)青年報(bào)》的一篇報(bào)道披露，2016年男司機(jī)發(fā)生的交通事故與女司機(jī)相比，杭州市是6倍，南京市是2.4倍，而女司機(jī)肇事致人死亡數(shù)僅為男司機(jī)的五十分之一。其他數(shù)據(jù)也證明，交通肇事者中的男女比例明顯高于司機(jī)中的男女比例。

遂行食管調(diào)搏檢查進(jìn)一步明確診斷。插管深度34 cm，起搏閾電壓14 V，食管心電圖見(jiàn)P波與QRS波無(wú)傳導(dǎo)關(guān)系，表現(xiàn)出房室分離現(xiàn)象，考慮為左前分支室性心動(dòng)過(guò)速。嘗試行心房刺激終止心動(dòng)過(guò)速。首先采用頻率為250次/min的S1S1連續(xù)刺激可奪獲心房，但未能終止心動(dòng)過(guò)速，逐漸加快刺激頻率，予頻率300次/min的S1S1刺激，連續(xù)刺激10次，成功終止心動(dòng)過(guò)速，轉(zhuǎn)復(fù)竇性心律(圖2)。心動(dòng)過(guò)速終止后行12導(dǎo)聯(lián)心電圖檢查，提示竇性心律，心率約128次/min，PR間期108 ms，QRS波時(shí)限為71 ms，電軸40°，無(wú)束支阻滯圖形(圖3)。

4b2=mn.

在△PF2Q中,

整理得

8a2=mn,

從而

4b2=8a2,

于是

解題反思 此題的圖形是雙曲線和它的一個(gè)焦點(diǎn)三角形,但是只有一個(gè)三角形難以得到最終結(jié)果,關(guān)鍵在于三角形中線的應(yīng)用．三角形的中線通常用法是把它倍長(zhǎng),得到另一個(gè)三角形,這樣就可以利用中線的長(zhǎng)度求解.有時(shí)還可以得到平行四邊形,應(yīng)用平行四邊形兩條對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等于四邊長(zhǎng)的平方和等性質(zhì)．此題歸根結(jié)底還是轉(zhuǎn)變?yōu)閳A錐曲線和多個(gè)三角形的組合問(wèn)題．

圖4 圖5

( )

(2021年1月浙江省數(shù)學(xué)學(xué)考試題第17題)

審題分析 圖中有腰長(zhǎng)與上底相等的等腰梯形,由對(duì)稱性可知直線AP過(guò)左焦點(diǎn)F1,分割后產(chǎn)生焦點(diǎn)△AF1F,△BF1F,△PF1F和等腰△BF1P(如圖5),它們的邊長(zhǎng)都與橢圓的定義相關(guān)．

解得

于是

|AF|=|BF|=|PB|=|AF1|=a.

令|PF1|=2x,則

|PF|=2a-2x.

在等腰△PBF1中,

在△AF1F中,

在△APF中,

從而

1)熱含量(Heat Content,簡(jiǎn)稱HC)的計(jì)算:本文綜合考慮溫躍層下界深度(吳曉芬等,2011)及資料的深度范圍,將0～400 m深度的海洋溫度平均值定義為海洋上層熱含量值。

將式(1)代入式(2),得

解法分支1 在△F1AF2中,應(yīng)用余弦定理得

4c4+a2c2-a4=0,

于是

4e4+e2-1=0,

即

除已治理的6 000 m河道外，對(duì)剩余河道，根據(jù)河道現(xiàn)狀，河堤線走向基本維持現(xiàn)狀，根據(jù)行洪需要對(duì)堤岸進(jìn)行防護(hù)，并對(duì)河道進(jìn)行疏浚，使河道斷面滿足20年一遇的防洪標(biāo)準(zhǔn)。

故選B．

整理得

解題思路2 利用等腰梯形“對(duì)角線相等”的性質(zhì),得到|PF|=|AB|=2b,應(yīng)用橢圓定義可知PF1的長(zhǎng)度.在△BPF1和△AFF1中,分別用a,b,c表示cos∠BPF1和cos∠FAF1,可得a,c之間關(guān)系,即可求得橢圓的離心率．

1961年2月5日，毛澤東聽(tīng)取中共浙江省委負(fù)責(zé)人匯報(bào)整風(fēng)整社和省委召開(kāi)擴(kuò)大會(huì)議的情況。談到生產(chǎn)隊(duì)的規(guī)模問(wèn)題，他說(shuō)，我看一個(gè)生產(chǎn)隊(duì)管不了這么多，太大了。在一個(gè)基本核算單位里，有富的、中等的、貧的，這就有問(wèn)題，群眾就不滿意。小隊(duì)就是過(guò)去的初級(jí)社。我看把小隊(duì)改成生產(chǎn)隊(duì)，明升暗降。原來(lái)的生產(chǎn)隊(duì)變成生產(chǎn)單位和消費(fèi)單位。毛澤東還交待浙江省委研究一下放在過(guò)去的初級(jí)社好，還是放在過(guò)去的高級(jí)社好？就是說(shuō)，放在生產(chǎn)小隊(duì)好，還是放在生產(chǎn)隊(duì)好？［6］18他關(guān)于社隊(duì)規(guī)模的談話不僅對(duì)浙江，而且對(duì)全國(guó)其他地區(qū)的調(diào)查研究工作指明了方向。

解法2 因?yàn)锳P∥BF,由對(duì)稱性可知直線AP過(guò)左焦點(diǎn)F1,則

B組采用經(jīng)傷椎椎弓根植骨聯(lián)合椎弓根釘內(nèi)固定系統(tǒng)治療?；颊邆祻?fù)位及置釘方法與A組相同。C形臂X線機(jī)透視證實(shí)患者椎體復(fù)位滿意后，行經(jīng)傷椎椎弓根植骨。首先定位傷椎椎弓根，采用椎弓根螺釘置入的方法，經(jīng)傷椎椎弓根將擴(kuò)大器尾部置入到椎體的前2/3處，擴(kuò)大椎弓根的高度和寬度，同時(shí)避免骨塊進(jìn)入椎管腔內(nèi)，將人工誘導(dǎo)骨或納米人工骨植入椎體前中部，并推壓結(jié)實(shí)，植入完畢后使用明膠海綿填充洞口止血。C形臂X線機(jī)透視植骨效果滿意后沖洗切口，置引流管，縫合切口。術(shù)后患者臥床3 ～ 5周后佩戴支具下床活動(dòng)，4個(gè)月后去支具活動(dòng)。

|AF|=|BF|=|PB|=|AF1|=a.

在等腰梯形AFBP中,

|PF|=|AB|=2b,

則

|PF1|=2a-2b.

在等腰△PBF1中,

在△AF1F中,

因?yàn)閏os∠BPF1=cos∠F1AF,所以

從而

2c2=ab.

消去b,得 4c4+a2c2-a4=0,

于是

4e4+e2-1=0,

即

故選B.

解題反思 此題的模型是橢圓和等腰梯形,通過(guò)分割等腰梯形回到橢圓和多個(gè)三角形組合,既要利用好等腰梯形底角相等、對(duì)角線相等的性質(zhì),又要運(yùn)用三角形中的余弦定理建立參數(shù)之間的關(guān)系.找好性質(zhì)、找準(zhǔn)關(guān)系是幾何法解決圓錐曲線問(wèn)題的關(guān)鍵．

總結(jié)這一組高考題、學(xué)考題,圖形上都是圓錐曲線與若干個(gè)三角形的組合,因此幾何法的解題思路就會(huì)一脈相承,找對(duì)合適的三角形就成了解題重要的突破口．

教學(xué)啟示 解析幾何的教學(xué)核心在于“解析”與“幾何”,它歸根結(jié)底是一個(gè)幾何問(wèn)題.因此,圓錐曲線的定義與它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)教學(xué)是重中之重,教師要善于結(jié)合初高中所學(xué)的平面幾何知識(shí),包括直線、圓、四邊形、三角形等幾何性質(zhì),以及它們所涉及的公式、定理,尤其是解三角形內(nèi)容在圓錐曲線問(wèn)題的應(yīng)用中極為廣泛.教師可以在知識(shí)和思維兩個(gè)方面對(duì)幾何內(nèi)容進(jìn)行總結(jié),把上述知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化、結(jié)構(gòu)化．在教學(xué)中,教師要讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題辨析、變式、拓展的過(guò)程,發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì),建立問(wèn)題之間的聯(lián)系;教師要指導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)思維導(dǎo)圖,讓學(xué)生用一個(gè)完整的思維體系去看待這些解析幾何問(wèn)題,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、創(chuàng)新能力和科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)[4]．

結(jié)束語(yǔ) 解題理論對(duì)于學(xué)生而言過(guò)于高深,較難領(lǐng)會(huì)和應(yīng)用,但基于每一道題、每一組題解