人工智能與數(shù)學(xué)教育漫談

張景中

(廣州大學(xué)計(jì)算科技研究院,廣東 廣州 510006)

1 機(jī)遇與挑戰(zhàn)

教育信息化涉及千家萬戶,這其中蘊(yùn)含著巨大的機(jī)遇,也受到普遍重視,但多年來沒有取得預(yù)期的效果.回顧20世紀(jì)八九十年代,出現(xiàn)過很多教育軟件的大公司,但現(xiàn)在大都已經(jīng)不見了.有沒有取得預(yù)期的成果,關(guān)鍵在于優(yōu)質(zhì)數(shù)字教育資源的創(chuàng)建、應(yīng)用和共享.2011年5月,喬布斯提出疑問:為什么計(jì)算機(jī)改變了幾乎所有的領(lǐng)域,唯獨(dú)對學(xué)校教育的影響小得令人吃驚?

從2011年到現(xiàn)在已經(jīng)十幾年過去了,雖然情況有了很大的變化,但是離大家的預(yù)期還相差很遠(yuǎn).2017年6月,國務(wù)院發(fā)布《新一代人工智能發(fā)展規(guī)劃》指出:中小學(xué)階段要全面開展人工智能教育,構(gòu)建新型教育體系.當(dāng)時(shí)的網(wǎng)上出現(xiàn)各種各樣的消息和廣告,“教育+人工智能”刮起了一股旋風(fēng),非常熱鬧.但是現(xiàn)在回頭看這些內(nèi)容中有哪些在教育上、在學(xué)校里得到了認(rèn)可?很少,這方面的進(jìn)展還是非常艱難.

2 人工智能與數(shù)學(xué)間的關(guān)系

2.1 人工智能的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)

最近人工智能有了一個(gè)重大的突破,即ChatGPT,后來進(jìn)一步發(fā)展為GPT-4,他能夠和人進(jìn)行像人一樣的談話.問他問題,他就回答;讓他畫個(gè)圖,他會(huì)畫個(gè)圖還能理解這個(gè)圖,甚至可以用他來寫文章、寫詩,還可以做廣告策劃等.國內(nèi)也推出了像文心一言、通義千問等類似的軟件.這個(gè)ChatGPT代表了當(dāng)前先進(jìn)的自然語言處理技術(shù)與對話系統(tǒng)技術(shù),其智能水平不斷提升,最終達(dá)到與人類完全自然的對話交互.這意味著人工智能的又一次重大突破,將為我們的生活與工作帶來深遠(yuǎn)的影響與變革.

2.2 人工智能促進(jìn)數(shù)學(xué)教育發(fā)展

人工智能促進(jìn)數(shù)學(xué)教育的發(fā)展至少表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面:1)有了人工智能,數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育自然而然地得到了更多人的重視.在人工智能的相關(guān)培訓(xùn)班上,要學(xué)不少的數(shù)學(xué),包括統(tǒng)計(jì)概率、基本邏輯、形式邏輯等.2)推動(dòng)了智能化的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)環(huán)境的創(chuàng)建,開發(fā)出了更豐富的個(gè)性化學(xué)習(xí)資源.當(dāng)然,這方面仍然需要積極而慎重的實(shí)驗(yàn)和探索.筆者認(rèn)為要重視兩個(gè)方面,即優(yōu)質(zhì)的數(shù)字教學(xué)資源和操作環(huán)境的智能化.后一個(gè)方面是更為基礎(chǔ)的,因?yàn)閿?shù)字教學(xué)資源的開發(fā)、應(yīng)用、獲取、共享、優(yōu)化和升級都要在一定的操作環(huán)境中實(shí)現(xiàn).智能化的操作環(huán)境可以讓開發(fā)者事半功倍,輕松實(shí)現(xiàn)其教學(xué)設(shè)計(jì).所開發(fā)的資源應(yīng)交互性強(qiáng),易于管理和傳送,便于重復(fù)使用,有利于資源的可持續(xù)優(yōu)化發(fā)展.

3 人工智能促進(jìn)數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ):智能化動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)操作環(huán)境

智能化動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)操作環(huán)境方面,最早的突破是20世紀(jì)80年代美國的幾何畫板軟件.現(xiàn)在我們的網(wǎng)絡(luò)畫板也提供了智能化的操作環(huán)境,做出了很多原來不敢想的東西.當(dāng)然這種畫板不止一種,互相可以取長補(bǔ)短.下面筆者以網(wǎng)絡(luò)畫板為例做進(jìn)一步的說明.

網(wǎng)絡(luò)畫板操作環(huán)境以理解題意、解題、判題為發(fā)展方向,其功能表現(xiàn)在多個(gè)方面,包括寫數(shù)據(jù)、畫圖、圖形測量、數(shù)值與符號計(jì)算、編程;網(wǎng)絡(luò)畫板還可以支持課堂演示,進(jìn)行交互推理;此外,網(wǎng)絡(luò)畫板還支持“變”,數(shù)學(xué)對象的表示、數(shù)據(jù)等都可以是動(dòng)態(tài)的、可變化的;甚至網(wǎng)絡(luò)畫板還是智能的,如筆者畫一條線段,把鼠標(biāo)放到接近線段中點(diǎn)的位置時(shí),它就會(huì)猜想“是不是要作個(gè)中點(diǎn)”,這時(shí)筆者只要一點(diǎn)鼠標(biāo),它就能作出線段的中點(diǎn),體現(xiàn)了初步的智能化.在這個(gè)基礎(chǔ)上,筆者把線段縮短或拉長,中點(diǎn)仍然是中點(diǎn).對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)來說,在這種圖形的動(dòng)態(tài)變化中,測得的線段長度的數(shù)據(jù)也是動(dòng)態(tài)變化的,會(huì)跟隨著我們的拖動(dòng)而變化.這種動(dòng)態(tài)變化的圖形,可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、減輕教師的負(fù)擔(dān).借助網(wǎng)絡(luò)畫板等這類操作環(huán)境,能很快作出上述圖形.在之前沒有發(fā)展動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件的時(shí)候,教師要想作一個(gè)這樣的圖,往往需要花一兩個(gè)小時(shí)進(jìn)行程序編寫等工作才能完成.智能要隨機(jī)應(yīng)變,動(dòng)態(tài)化是智能化的起步,因此研究智能軟件需要耐心地、持續(xù)地發(fā)展,要有工匠精神.天下難事,必作于易;天下大事,必作于細(xì).我們研究網(wǎng)絡(luò)畫板30多年,一步一步做起來很不容易,因?yàn)槊恳粋€(gè)細(xì)節(jié)都會(huì)影響教師的操作,這一點(diǎn)筆者深有體會(huì).

網(wǎng)絡(luò)畫板作為一個(gè)智能化的平臺,自動(dòng)推理技術(shù)在數(shù)學(xué)教育中有很強(qiáng)的應(yīng)用潛力.我們在這方面做了30年的研究,也取得了一系列的成果,但近年來國際上在這方面沒有什么新進(jìn)展,盡管如此也遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了現(xiàn)在ChatGPT的推理了.

例如,對于“三角形的3條高交于一點(diǎn)”這一問題,用網(wǎng)絡(luò)畫板先作△ABC的兩條高交于點(diǎn)F,再延長CF交AB于點(diǎn)G(如圖1).

圖1

作出這樣一個(gè)圖后,如果我們讓網(wǎng)絡(luò)畫板去證明CG是邊AB上的高,只需要0.05秒,還能得到很多相關(guān)信息.在隨后產(chǎn)生的推理庫中,它會(huì)顯示許多推理結(jié)論,比如與相似三角形相關(guān)的結(jié)論一共有42條.我們還可以進(jìn)一步選擇一對相似三角形,讓它進(jìn)一步解釋為什么相似,輕點(diǎn)鼠標(biāo)右鍵,還可以輸出證明.由此可見,在幾何推理方面,我們能從小數(shù)據(jù)產(chǎn)生大數(shù)據(jù),根據(jù)現(xiàn)有的幾個(gè)條件畫出來,軟件就能推理出許多的幾何性質(zhì).網(wǎng)絡(luò)畫板還可以做像“蝴蝶定理”這些比較難的題目,還可以一題多解、交互推理.重要的是,這里的交互還包括人和計(jì)算機(jī)的交互.例如,人可以問:“這個(gè)問題可能要用到什么公式?”計(jì)算機(jī)就會(huì)把這個(gè)公式給你推出來.筆者認(rèn)為可以對這方面做進(jìn)一步的研究,讓它在教育上發(fā)揮更大的作用.

4 人工智能與數(shù)學(xué)教育融合還要從學(xué)科上下功夫:教育數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)教育不但要在人工智能平臺上下功夫,使信息技術(shù)與學(xué)科深度融合,還要在數(shù)學(xué)本身上下功夫,讓數(shù)學(xué)變得更容易.我們在這個(gè)方面做了幾十年的思考和教學(xué)實(shí)踐.1976年阿蒂亞曾提出,如果我們積累起來的經(jīng)驗(yàn)要一代代傳下去,就必須不斷努力把它們簡化和統(tǒng)一;過去曾經(jīng)是成年人困惑的問題,在以后的年代里,連孩子們都能容易地理解.他認(rèn)為數(shù)學(xué)應(yīng)該是越變越容易,應(yīng)該是不斷改進(jìn)、不斷發(fā)展的.那么具體來說是如何發(fā)展的,又是如何處理教學(xué)難點(diǎn)的?通常的做法是難了不學(xué).長期以來有個(gè)說法,刪繁就簡,難的就把它刪掉.但是筆者認(rèn)為難的不能簡單地一刪了之,難的東西可能更重要.我們要研究的是把它變?nèi)菀?這也是最理想的.什么叫變?nèi)菀?怎樣才能變?nèi)菀?筆者的體會(huì)是:熟悉了就容易,簡單了就容易,想通了就容易,直觀了就容易.這就是大道至簡的道理.它應(yīng)當(dāng)是簡單的,如果不簡單就說明有新的東西沒有被發(fā)現(xiàn);如果基本的東西又很復(fù)雜,就說明我們還沒有發(fā)現(xiàn)更好的方法,同時(shí)還需要思考如何從學(xué)生的頭腦出發(fā)來找新的概念、新的方法.因此,筆者認(rèn)為熟悉了就容易,要溫故知新;簡單了就容易,要化繁為簡;想通了就容易,要講清道理;直觀了就容易,要用智能動(dòng)態(tài)的環(huán)境,要用信息技術(shù).

例如,三角函數(shù)有很多定義方法,微分方程、函數(shù)方程、無窮級數(shù)、坐標(biāo)之比、單位圓坐標(biāo)、三角比、圓的弦長,這些都可以定義三角函數(shù),我們就找到了最容易理解的新的定義方法.小學(xué)生都知道矩形的面積等于長×寬,如長為3、寬為2的矩形面積,其實(shí)是等于3×2×一個(gè)單位正方形的面積(即1),如圖2所示.

圖2 圖3

如果把矩形搞“歪”了(如圖3),那么就變成了平行四邊形,此時(shí)它的面積為“3×2×一個(gè)單位菱形的面積”.但單位菱形的面積不是1,需要打個(gè)折扣.如果我們給折扣起個(gè)名字,把一個(gè)角為A的單位菱形面積叫做sinA,那么就有了平行四邊形的面積公式:S=AB·AD·sinA.

平行四邊形面積取其一半,便得到三角形面積公式.圖4中三角形的面積公式為

圖4

于是就能得到正弦定理

這樣,從小學(xué)知識出發(fā)很快就得到了高中才學(xué)習(xí)的正弦定理.如果我們用這種方法把它放在初中一年級去學(xué),那么對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)有很大的促進(jìn)作用.學(xué)生會(huì)感到學(xué)數(shù)學(xué)變得容易了.這是20世紀(jì)70年代筆者在新疆曾經(jīng)做過的實(shí)驗(yàn),到現(xiàn)在已經(jīng)過去幾十年了,還有很多學(xué)校在做這個(gè)實(shí)驗(yàn),學(xué)生感到幾何、三角都變?nèi)菀琢?

這說明在數(shù)學(xué)里面有很多的東西,現(xiàn)在看來很復(fù)雜很難,實(shí)際上是可以變簡單的,我們要研究怎么把它變簡單.

要解決數(shù)學(xué)教育的難題,我們需要內(nèi)外“夾攻”,教育數(shù)學(xué)是從內(nèi)部來攻破,人工智能則是從外部來攻破,后者給攻克數(shù)學(xué)教育難題提供了大好的機(jī)遇.“數(shù)學(xué)教育+人工智能”永遠(yuǎn)都是進(jìn)行時(shí),這項(xiàng)改革在我國有基礎(chǔ)、有條件,既有國家重視,也有群眾基礎(chǔ);既有發(fā)展空間,又有科學(xué)價(jià)值,無論從近期看還是遠(yuǎn)期看,都有巨大的效益,能大面積、大幅度地提高青少年的數(shù)學(xué)素養(yǎng),創(chuàng)新人才大軍也必將如長江奔騰,滔滔不絕.