2023年數(shù)學(xué)高考試題綜合難度比較分析

金燕萍, 潘 欣, 陳碧芬

(浙江師范大學(xué)教育學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引言

高考是選拔學(xué)生進(jìn)入更高學(xué)府學(xué)習(xí)的重要途徑,也是評(píng)估學(xué)生綜合能力的重要工具.而試題合適的難度,一方面,能夠確保學(xué)生的能力得到準(zhǔn)確測(cè)量,避免不同類型和區(qū)域的學(xué)生因試題過(guò)于簡(jiǎn)單或過(guò)于困難而導(dǎo)致的評(píng)估不準(zhǔn)確的問(wèn)題;另一方面,分析高考試題的難度,有助于教師和學(xué)校優(yōu)化教學(xué)方法,使其更符合考試的要求和學(xué)生的實(shí)際情況.因此,對(duì)高考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行研究很有必要.綜合難度模型是研究高考試題難度的工具之一,武小鵬在鮑建生搭建的綜合難度系數(shù)模型的基礎(chǔ)上,借用專家評(píng)分的方式及AHP理論對(duì)模型中的權(quán)重進(jìn)行了計(jì)算[1].

本文研究基于該綜合難度系數(shù)模型,對(duì)2023年的全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷及全國(guó)甲卷、乙卷進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)和分析,包括整體難度比較和各影響因素難度比較兩大方面.既關(guān)注整套試卷的綜合難度,也關(guān)注單個(gè)影響因素的波動(dòng)情況和其在綜合難度中的占比,利用難度構(gòu)成偏向的離散系數(shù)分析出不同試卷的難度差異主要取決于哪些影響因素.

1 綜合難度系數(shù)模型

本研究參考了武小鵬等改進(jìn)后的綜合難度系數(shù)模型.文獻(xiàn)[1]在模型中指出,影響高考數(shù)學(xué)試題難度的7個(gè)因素是背景因素、是否含參、運(yùn)算水平、推理能力、思想方法、知識(shí)含量、認(rèn)知水平.整套試卷的綜合難度系數(shù)是每個(gè)影響因素難度的加權(quán)平均值,公式為D=∑diki,其中ki表示各影響因素的權(quán)重,且ki=(0.4,1.20,0.83,2.50,0.40,0.83,0.83),di表示各影響因素的難度系數(shù),公式為

(1)

其中nij表示第i個(gè)影響因素、第j個(gè)水平的題目數(shù)量,dij表示第i個(gè)影響因素、第j個(gè)水平的賦值,n表示題目總數(shù).在此基礎(chǔ)上將Di=diki表示為各影響因素的難度構(gòu)成偏向系數(shù).

2 試題難度分析

對(duì)6套數(shù)學(xué)高考試卷分別進(jìn)行7個(gè)因素水平劃分賦值,并將所得數(shù)據(jù)代入難度系數(shù)模型(即式(1))進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算出各因素難度系數(shù)及綜合難度系數(shù),所得結(jié)果如表1所示.

表1 2023年數(shù)學(xué)高考試卷難度系數(shù)匯總

2.1 試題難度整體比較

分別對(duì)6套試卷進(jìn)行試題難度整體比較和各影響因素難度比較.其中試題難度整體比較包括綜合難度系數(shù)D和難度構(gòu)成偏向系數(shù)Di,并對(duì)其分別繪制柱狀圖和雷達(dá)圖;各影響因素難度比較包括背景是否含參、運(yùn)算水平、推理能力、知識(shí)含量、思維方向、認(rèn)知水平7個(gè)方面各水平上的分布繪制折線圖,使得試卷從多個(gè)角度直觀展現(xiàn)其難度,便于進(jìn)行比較研究.

從圖1中可以看到數(shù)學(xué)高考試卷的綜合難度系數(shù)由高到低分別為:新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷、全國(guó)乙卷理科、全國(guó)甲卷理科、全國(guó)乙卷文科、全國(guó)甲卷文科.可見新高考的難度要比全國(guó)卷的綜合難度大.為了直觀分析難度各影響因素得分,對(duì)難度構(gòu)成偏向系Di繪制雷達(dá)圖(如圖2).

圖1

圖2

從圖2可以很明顯地看到,推理能力和運(yùn)算水平這兩個(gè)影響因素占比最大,說(shuō)明試卷整體上反映的推理能力與運(yùn)算水平是衡量試卷難度的重要方面.其中推理能力是數(shù)學(xué)教育最核心的問(wèn)題之一,在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中起到至關(guān)重要的作用[2].《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中提出要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展,其中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.邱婉珠指出數(shù)學(xué)運(yùn)算幾乎貫穿于其他3個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中,是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基本成分[3].因此推理能力和運(yùn)算水平在綜合難度模型中占比最大就不足為奇了.是否含參和認(rèn)知水平的難度構(gòu)成偏向系數(shù)處于中間地位,二者在一定程度上能夠影響試題的難度.此外思維方向、知識(shí)含量和背景因素這3個(gè)因素對(duì)試題難度總體的影響并不大.

從圖2可以看到,在思維方向、是否含參等因素中6套試卷的難度構(gòu)成偏向存在較明顯的不同.為了更加清晰、準(zhǔn)確地刻畫這些數(shù)據(jù)的波動(dòng)性,筆者利用離散系數(shù)(變異系數(shù))來(lái)比較數(shù)據(jù)的離散程度.之所以采取離散系數(shù)進(jìn)行刻畫,是因?yàn)楫?dāng)多組數(shù)據(jù)平均值不同或量綱不同時(shí),無(wú)法利用方差和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)比較它們的離散程度,而離散系數(shù)是概率分布離散程度的一種歸一化度量,不受異組數(shù)據(jù)之間量綱差異的影響,適用于比較多個(gè)影響因素之間的波動(dòng)性.其計(jì)算方式為

(2)

在式(2)中,(COV)i表示第i項(xiàng)影響因素的離散系數(shù),σi表示第i項(xiàng)影響因素的標(biāo)準(zhǔn)差,μi表示第i項(xiàng)影響因素的均值.我們可以看出,離散系數(shù)是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差σ與其相應(yīng)的均值μ之比,其大小不需要像方差、標(biāo)準(zhǔn)差那樣參照數(shù)據(jù)的平均值,它是一個(gè)無(wú)量綱統(tǒng)計(jì)量,適合多組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的比較.根據(jù)式(2)可以計(jì)算出各個(gè)影響因素的難度構(gòu)成偏向離散系數(shù),結(jié)果如表2所示:

表2 各影響因素的難度構(gòu)成偏向離散系數(shù)表(%)

劉繼龍將變異系數(shù)劃分為弱變異、中等變異和強(qiáng)變異這3檔[4].從表2可以看到,離散系數(shù)的數(shù)值也存在明顯的3個(gè)檔次.鑒于此類比上述研究,將各影響因素劃分為3個(gè)不同的級(jí)別:基本無(wú)變動(dòng)的影響因素、變動(dòng)較小的影響因素、變動(dòng)較大的影響因素.6套試卷在推理能力和認(rèn)知水平這兩個(gè)影響因素上的難度構(gòu)成偏向離散系數(shù)較小,因此將上述兩個(gè)影響因素定為基本無(wú)變動(dòng)的影響因素.背景因素、是否含參、運(yùn)算水平這3個(gè)影響因素上的難度構(gòu)成偏向離散系數(shù)處于中間,因此將上述3個(gè)影響因素定為變動(dòng)較小的影響因素.而在知識(shí)含量和思維方向這兩個(gè)影響因素上的難度構(gòu)成偏向離散系數(shù)較大,故將上述兩個(gè)影響因素定為變動(dòng)較大的影響因素.下文對(duì)其進(jìn)行說(shuō)明.

2.2 試題各影響因素的比較

2.2.1 基本無(wú)變動(dòng)的影響因素——推理能力和認(rèn)知水平

圖3反映了6套高考試卷在推理能力上占比從高到低分別為復(fù)雜推理和簡(jiǎn)單推理,占比大致保持一致,這說(shuō)明高考在注重基本推理的基礎(chǔ)上,更關(guān)注學(xué)生復(fù)雜推理的考查,這也符合高考本身所處的選拔性考試定位的要求.由表1可知6套試卷在推理能力上的難度由難到易排序?yàn)?全國(guó)甲卷理科>全國(guó)乙卷理科、全國(guó)甲卷文科>新高考Ⅰ卷=新高考Ⅱ卷>全國(guó)乙卷文科.

圖3 圖4

圖4反映了在認(rèn)知水平上占比最高的為分析和運(yùn)用,理解水平的試題相對(duì)較少.其中新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷對(duì)分析水平的考查較多,對(duì)理解層次的考查較少.在認(rèn)知水平上的難度由難到易排序?yàn)?新高考Ⅰ卷>全國(guó)乙卷理科>新高考Ⅱ卷>全國(guó)乙卷文科>全國(guó)甲卷理科>全國(guó)甲卷文科.

從總體上看,6套試卷在推理能力和認(rèn)知水平上的變化差異小,且通過(guò)表2的離散系數(shù)也可說(shuō)明:相較于其他5個(gè)因素,這兩個(gè)因素的得分分布范圍集中,離散程度低,這也反映出不同高考試卷在推理能力和認(rèn)知水平上難易程度接近一致.基于上述分析可以推斷出,在這6套試卷中的推理能力和認(rèn)知水平接近,僅憑這兩個(gè)因素很難反映出試卷的難度差異.造成上述現(xiàn)象的可能原因有:高考根據(jù)國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)估學(xué)生的知識(shí)和技能,需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)化程序,確保其公平性和可比性;認(rèn)知水平和推理能力本身在難度模型中的占比很大,試卷的難度在很大程度上受這兩個(gè)因素的影響,若不同省份的高考數(shù)學(xué)卷在這兩個(gè)因素上水平波動(dòng)很大,則會(huì)影響高考的公平性和可比性;此外,知識(shí)水平提供了必要的內(nèi)容知識(shí),而推理能力則使學(xué)生能夠有效地應(yīng)用這些知識(shí)并進(jìn)行批判性思考,在數(shù)學(xué)試卷中上述兩點(diǎn)是必不可少的.因此,6套試卷所要求的推理能力和認(rèn)知水平趨于一致.

2.2.2 變動(dòng)較小的影響因素——背景因素、是否含參和運(yùn)算水平

醫(yī)保辦通過(guò)院務(wù)會(huì)、醫(yī)保專題會(huì)、醫(yī)保專管員例會(huì)、醫(yī)院信息系統(tǒng)等多種途徑和形式，對(duì)全院醫(yī)護(hù)人員進(jìn)行醫(yī)保政策培訓(xùn)，主要包括對(duì)醫(yī)生醫(yī)保限制性用藥合理使用和自費(fèi)項(xiàng)目告知等內(nèi)容的培訓(xùn)，進(jìn)行醫(yī)保知識(shí)問(wèn)卷和競(jìng)賽，提高全員政策知曉率。

圖5反映了在背景因素設(shè)置中多為無(wú)背景,少為生活背景,基本無(wú)科學(xué)背景.這說(shuō)明試題中的情境性比較低,一些富有時(shí)代背景的科學(xué)技術(shù)等情境并沒(méi)有融入試題當(dāng)中,如果試題的情境設(shè)置僅圍繞學(xué)科本身,那么就會(huì)降低試題的趣味性,發(fā)揮不了其核心價(jià)值的引領(lǐng)作用.

圖5 圖6 圖7

圖6反映了在是否含參因素中,含參試題設(shè)置最多的依次為:新高考Ⅱ卷、全國(guó)乙卷理科、全國(guó)乙卷文科.其他試卷普遍無(wú)參數(shù)的試題設(shè)置多于有參數(shù)的試題.在是否含參上的難度由難到易排序?yàn)?新高考Ⅱ卷>全國(guó)乙卷理科>全國(guó)乙卷文科>新高考Ⅰ卷>全國(guó)甲卷文科>全國(guó)甲卷理科.

圖7反映了在運(yùn)算水平設(shè)置上大部分為復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算,其次為復(fù)雜數(shù)值運(yùn)算和簡(jiǎn)單數(shù)值運(yùn)算,最后為簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算.在運(yùn)算水平上的難度由難到易排序?yàn)?新高考Ⅰ卷>全國(guó)乙卷理科>全國(guó)甲卷理科>新高考Ⅱ卷>全國(guó)甲卷文科>全國(guó)乙卷文科.

6套試卷在背景因素、是否含參和運(yùn)算水平上的側(cè)重變化較小,且通過(guò)離散系數(shù)也可說(shuō)明其數(shù)據(jù)分布較為集中.各影響因素的各水平分布百分比雖然存在變化,但變化局限在一定范圍內(nèi),反映出試卷難度在這些影響因素中穩(wěn)中有變、穩(wěn)中漸變.近些年高考命題改革的重要特征是聚焦能力考查,突出思維品質(zhì)與創(chuàng)新精神,因此各試卷在試題難度方面強(qiáng)調(diào)情境創(chuàng)設(shè)與問(wèn)題呈現(xiàn)方式,改變固化的試題形式,在堅(jiān)持穩(wěn)中求進(jìn)的同時(shí),適當(dāng)加大試題區(qū)分度,增強(qiáng)高考選拔功能.

2.2.3 變動(dòng)較大的影響因素——知識(shí)含量和思維方向

圖8反映了6套試卷在知識(shí)含量設(shè)置上占比從高到低依次為1個(gè)知識(shí)點(diǎn)、2個(gè)知識(shí)點(diǎn)、3個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn),且僅新高考Ⅱ卷存在3個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn).在知識(shí)含量上的難度由難到易排序?yàn)?新高考Ⅱ卷>新高考Ⅰ卷>全國(guó)乙卷理科>全國(guó)乙卷文科=全國(guó)甲卷理科>全國(guó)甲卷文科.

圖8 圖9

圖9反映了6套試卷在思維方向設(shè)置上占比從高到低依次為順向思維和逆向思維.其中新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷的逆向思維試題占比相較于其他試卷較高.在思維方向上的難度由難到易排序?yàn)?新高考Ⅰ卷>新高考Ⅱ卷>全國(guó)乙卷文科>全國(guó)乙卷理科>全國(guó)甲卷理科=全國(guó)甲卷文科.

6套試卷在知識(shí)含量和思維方向上的側(cè)重變化較大,且通過(guò)離散系數(shù)也可說(shuō)明數(shù)據(jù)分布較為分散,各影響因素的各水平分布百分比變化較大.究其原因是試卷類型使用的地區(qū)不同,存在文理分科等現(xiàn)象.比如新高考Ⅰ卷的使用地區(qū)是江蘇、浙江、福建、山東等教育水平較高的省份,有濃厚的教育底蘊(yùn)和豐富的教學(xué)資源,同時(shí)也是推進(jìn)教育改革、創(chuàng)新教學(xué)方式、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的主力軍.因此,學(xué)生的整體思維水平較高,為保證高考的公平性,新高考Ⅰ卷中的逆向思維試題占比高于其他試卷.同時(shí)因?yàn)槲睦砜平虒W(xué)內(nèi)容的差異,理科試卷的整體知識(shí)含量與思維水平與文科有顯著差異,這兩個(gè)因素在試卷難度中變動(dòng)較大,也反映出高考命題編制需考慮到不同地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平與教育資源問(wèn)題,以確保高考的公平性.

3 結(jié)論與建議

3.1 結(jié)論

從總體上看,6套試卷總體難度由難到易為:新高考Ⅰ卷>新高考Ⅱ卷>全國(guó)乙卷理科>全國(guó)乙卷文科>全國(guó)甲卷理科>全國(guó)甲卷文科.試卷總體難度的影響因素中,推理能力與運(yùn)算水平占比最大,最能夠影響試卷的難度.從另一個(gè)角度看,知識(shí)含量和思維方向又是6套試卷在試題設(shè)置中各水平變動(dòng)較大的影響因素.綜上所述,占比較大或者說(shuō)權(quán)重較大的影響因素在很大程度上決定了試卷本身的難度,而離散系數(shù)較大或者說(shuō)變動(dòng)較大的影響因素決定了試卷與其他試卷的難度差異.

新高考更加注重對(duì)學(xué)生逆向思維的考查,在認(rèn)知水平、是否含參、運(yùn)算水平等多個(gè)影響因素中的難度得分普遍較高.由此可見新高考更加注重題目的系統(tǒng)性和綜合性,既關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)的考查,又能夠開拓學(xué)生的思維,達(dá)到選拔人才的目的.

3.2 教學(xué)建議

結(jié)合對(duì)2023年6套試卷的難度分析,筆者提出以下教學(xué)建議:

1)關(guān)注學(xué)生思維品質(zhì),適當(dāng)拓展開放型和探究型問(wèn)題.

統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示,6套試卷在推理能力和認(rèn)知水平上基本無(wú)變化,且整體來(lái)說(shuō)這兩項(xiàng)因素的難度系數(shù)都比較高,因此在教學(xué)中教師要繼續(xù)注重對(duì)學(xué)生認(rèn)知水平、推理能力的培養(yǎng),引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、敢于質(zhì)疑,把握問(wèn)題本質(zhì).由圖6可以看出,高考試題越來(lái)越強(qiáng)調(diào)含參試題,尤其是全國(guó)甲卷理科,含參試題的占比已經(jīng)比無(wú)參數(shù)試題的占比高出30%,說(shuō)明高考試題在保持推理能力和認(rèn)識(shí)水平穩(wěn)定的情況下,越來(lái)越關(guān)注探究型問(wèn)題,這也符合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)命題要設(shè)置開放性問(wèn)題和探究型問(wèn)題,要特別關(guān)注學(xué)生的思維品質(zhì)的形成的要求[5].因此,在教學(xué)中教師要啟發(fā)學(xué)生多角度、多層次開放式地思考問(wèn)題,可以對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變式,如將問(wèn)題中的常數(shù)變成含參的量,讓學(xué)生探究變化中的不變,或者將封閉問(wèn)題改編成開放問(wèn)題,從條件、解題策略和結(jié)論等多方面讓學(xué)生進(jìn)行思考探究.對(duì)于難度較大的問(wèn)題,可以參照國(guó)外題目設(shè)置的特點(diǎn),重視問(wèn)題設(shè)計(jì),采取低起點(diǎn)、小坡度、逐步拓展延伸的方式,幫助學(xué)生理解所需要探究的問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生的探究熱情.

2)關(guān)注情境創(chuàng)設(shè),豐富情境類型.

情境是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的重要載體.在重視情境創(chuàng)設(shè)的同時(shí),《課標(biāo)》中還提出要注重情境的多樣化與多層次的要求.統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),雖然2023年高考試卷背景因素變動(dòng)較小,還是以無(wú)背景和少量生活背景為主,但是新高考Ⅱ卷和全國(guó)甲卷文科已經(jīng)適當(dāng)提高科學(xué)情境的試題占比,以豐富試卷情境類型.由此分析可看出,多樣化、多層次的情境創(chuàng)設(shè)是教學(xué)中需要重點(diǎn)研究的問(wèn)題,良好的情境創(chuàng)設(shè)不僅可以促進(jìn)學(xué)生思考,避免思維定式,也豐富了學(xué)生對(duì)相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用.因此,在教學(xué)中設(shè)置問(wèn)題情境時(shí),教師不應(yīng)僅局限于教材和教輔資料,而是要深入分析和研讀《課標(biāo)》,根據(jù)教學(xué)目標(biāo)與學(xué)生認(rèn)知適當(dāng)豐富和拓展教材情境,在導(dǎo)入、新知探究、鞏固應(yīng)用等環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)有效的情境.同時(shí)積極與同學(xué)科的教師進(jìn)行交流,反思一些情境的創(chuàng)設(shè)是否發(fā)揮了應(yīng)有的作用,如何修改才能更有效地激發(fā)學(xué)生的思考與興趣等問(wèn)題;并且嘗試與其他學(xué)科教師合作,挖掘不同類型的情境素材,促進(jìn)學(xué)生利用跨學(xué)科知識(shí)去分析、解決問(wèn)題.

3)關(guān)注知識(shí)單元銜接,加強(qiáng)逆向思維的培養(yǎng).

《課標(biāo)》指出,要“適當(dāng)增加試題的思維量”“重點(diǎn)考查學(xué)生的思維過(guò)程”“強(qiáng)調(diào)綜合性”.在上述的分析中思維方向、知識(shí)含量屬于變動(dòng)較大的影響因素.由于教育資源分布不同、文理分科等現(xiàn)象的存在,不同的學(xué)生本身的思維水平不同,培養(yǎng)手段也相應(yīng)存在差異,綜合運(yùn)用相應(yīng)知識(shí)解決問(wèn)題的能力也有所區(qū)別.但逆向思維能夠幫助學(xué)生更加深入地理解數(shù)學(xué)概念和原理,提高數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力,可以有效地促進(jìn)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探究精神.同時(shí)也要重視不同單元知識(shí)間的聯(lián)系,蘊(yùn)含不同單元知識(shí)點(diǎn)試題的解決有助于學(xué)生構(gòu)建緊密的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),加強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系.教師在教學(xué)的過(guò)程中可以適當(dāng)增設(shè)一些需要用逆向思維去解決的試題,增加試題所蘊(yùn)含的知識(shí)單元內(nèi)容.例如,教師可以逆用數(shù)學(xué)公式、舉反例、倒推法及反證法等幫助學(xué)生從不同的角度審視問(wèn)題,鼓勵(lì)學(xué)生從創(chuàng)新的角度思考問(wèn)題并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入分析.