茶泡七分好 題品幾番妙
——一道中考復(fù)習(xí)題的解題教學(xué)

陳 刊

(杭州市開元中學(xué),浙江 杭州 310000)

好茶經(jīng)久耐泡,方能品鑒其中真味;好題多番思考,方能探尋解題奧秘．筆者在執(zhí)教九年級學(xué)生數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)時遇到一道題,品題數(shù)番,并進行了教學(xué)實踐,效果顯著．現(xiàn)整理成文,以期為廣大一線教師在解題教學(xué)方面提供借鑒．

1 試題呈現(xiàn)

例1 如圖1,△ABC為等腰直角三角形,∠CAB=90°,在BC的延長線上取一點D,以AD為腰作等腰Rt△ADE,AC,ED的延長線相交于點G,F是線段DG上的點,且∠DCF=∠DAC．聯(lián)結(jié)CE,若GF=2,EF=4,則DF=______.

圖1

分析 此題來源于浙江省杭州市初中數(shù)學(xué)命題能力評審比賽的參賽題庫,適合作為數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)卷填空題的最后一題．此題以學(xué)生熟悉的等腰直角三角形為載體,延長斜邊后慢慢展開邊、角之間的特殊關(guān)系,分析角度、解決思路和涉及的知識點較多,能有效地考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和解題思維能力．

2 學(xué)情分析

處于中考復(fù)習(xí)的學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等腰三角形、相似三角形、切割線定理、四點共圓、勾股定理、銳角三角函數(shù)、平面直角坐標系等知識．學(xué)生已具備了幾何推理能力,但綜合運用能力有待加強,搭建條件與結(jié)論之間橋梁的能力急需提高.此題可以進一步加深對幾何圖形的認識、圖形性質(zhì)的轉(zhuǎn)化,優(yōu)化解題路徑,為學(xué)生探究平面幾何問題提供一般策略和一般方法．

3 教學(xué)實施

3.1 初品題目——獨立思考,梳理條件

學(xué)生獨立思考數(shù)分鐘,梳理條件和所求結(jié)論(如圖2)．許多學(xué)生無法建立從條件到結(jié)論的橋梁,出現(xiàn)了思維卡頓．作為一道壓軸題,題目所給的豐富條件足以讓學(xué)生產(chǎn)生探究欲望.

圖2

3.2 再品題目——轉(zhuǎn)化條件,尋找味道

羅增儒教授提出,尋找解題思路的過程就是尋找條件知識與結(jié)論知識之間的邏輯聯(lián)系或轉(zhuǎn)化軌跡的過程[1]．解題教學(xué)中應(yīng)多鼓勵學(xué)生轉(zhuǎn)化條件,尋找知識間的聯(lián)系．

轉(zhuǎn)化1 具有公共頂點A的等腰Rt△ACB與Rt△ADE,轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的基本幾何模型——手拉手模型,從△ACB∽△ADE得到△DAB≌△EAC.由∠CDA=∠CEA,得∠DCE=∠DAE=90°(如圖3),可得隱藏條件——點D,C,A,E共圓．

圖3

轉(zhuǎn)化2 ∠DCF=∠DAC的轉(zhuǎn)化的確棘手．尋找圖形中其他相等的角:兩個等腰直角三角形的4個底角和其中∠ACB的對頂角∠DCG都相等．兩組相等的角產(chǎn)生的火花:∠G=∠ADE-∠DAC和∠GCF=∠DCG-∠DCF．可得另一個隱藏條件:∠G=∠FCG,即等腰△GFC．

教學(xué)說明 條件與結(jié)論之間的橋梁在不斷轉(zhuǎn)化中慢慢形成．再品題目,品出了熟悉的味道(手拉手模型)和隱藏的味道(四點共圓、等腰三角形)．

3.3 解法呈現(xiàn)

思路1 利用線段的轉(zhuǎn)化構(gòu)造子母型相似.

從線段的角度分析:在直線GF上,已知GF=2,EF=4,求EF中FD的長度．利用轉(zhuǎn)化2中結(jié)論GF=CF,使得原本同一直線的兩條線段轉(zhuǎn)化為△FEC的兩邊(如圖4)．學(xué)生對于三角形的邊角處理頗為熟悉,由線段FD,FC,FE的位置關(guān)系,不難想到“子母型相似”．

圖4 圖5

解法1 如圖5,由點D,E,A,C共圓可知

∠DEC=∠DAC,

且

∠DAC=∠DCF,

得

∠DEC=∠DCF,

則

△FDC∽△FCE,

從而

于是

思路2 利用切割線定理求出半徑.CF與圓有什么關(guān)系?相切嗎?

解法2 如圖6,取DE的中點O,聯(lián)結(jié)OC.因為∠DCE=90°,所以O(shè)C就是點D,E,A,C共圓的半徑.由解法1知∠1=∠2,又因為∠2=∠3,所以∠3=∠1,從而

圖6

∠FCO=∠DCE=90°,

于是CF是⊙O的切線.由切割線定理可得

FD·FE=CF2=GF2=4,

故

FD=1.

思路3 利用勾股定理求半徑.既然求得∠FCO=90°,因此△COF為直角三角形.直角三角形的三邊關(guān)系有助于更好地解釋圖形,如求⊙O的半徑．

解法3 設(shè)⊙O的半徑為r,則

OF=EF-OE=4-r.

在Rt△COF中,由勾股定理得

OF2=CF2+CO2,

即

(4-r)2=4+r2,

解得r=1.5,故

FD=FE-DE=1．

思路4 滲透解析法,改“斜”歸“正”.

GF與FE的長度確定了點F在線段EG中的位置．求FD即求點D在線段EG上的位置.由于GE是一條斜線,不妨將其改“斜”歸“正”:如圖7,過點F,D,E分別作直線AC的垂線段FM,DN和EQ,可將GE上各點的位置轉(zhuǎn)化到線段GQ上.

圖7

解法4 如圖7,過點F,D,E分別作直線AC的垂線段FM,DN和EQ.由等腰Rt△ADE易得Rt△DNA≌Rt△AQE,由∠BCA=∠NCD=45°知△DNC是等腰直角三角形．設(shè)AC=AB=a,NC=DN=b,則

EQ=NA=a+b,

且

AQ=DN=b,

從而

CQ=AC+AQ=a+b,

于是

GM=CM=CQ=a+b,

因此

MN=CM-CN=a.

因為△GDN∽△GEQ,所以

即

化簡得

a=b,

則N是GQ的中點,D是GE的中點,故

DF=GD-GF=3-2=1.

教學(xué)說明 解析法雖略顯煩瑣,但其體現(xiàn)了幾何圖形代數(shù)化.數(shù)形結(jié)合將圖形性質(zhì)化為代數(shù)式處理,具有普遍意義,這也是學(xué)生高中階段學(xué)習(xí)幾何的重要思想方法之一．

3.4 三品題目——關(guān)注圖形刻畫,再探解法

熟悉的味道,不一樣的配方．細品點D在斜邊BC的延長線上,即點D決定了△ADE的大小.兩條直角邊AC與AD之比為手拉手模型中兩個等腰直角△ACB與△ADE的相似比,同時AC,AD恰好構(gòu)成∠DAC．細品題目,關(guān)注基本圖形的刻畫．

思路5 巧用正切值刻畫角.

如何刻畫一個角,除了能求出角度,還可以用銳角三角函數(shù)刻畫．

如∠DAC,過點D作DM⊥AC于點M(如圖8)．用兩個等腰直角三角形相似比可以刻畫∠DAC的正切值,但求不出確定值．

又如∠DCF,過點D作DH⊥CF于點H(如圖9),構(gòu)造Rt△DCH后同樣難以刻畫角度．突破口在哪里?還有相等的角嗎?

解法5 如圖5,由點D,E,A,C共圓可知∠DEC=∠DAC．由∠DCE=90°,得

由△FDC∽△FCE且CF=GF,得

即

在圖8中,∠BCA=∠MCD=45°,得

DM=CM,

故

CA=CM．

即證得解法4中“a=b”,后續(xù)易證FD=1(過程略)．

3.5 四品題目——變式拓展,探尋真味

例1中的手拉手模型是有限制的.筆者思考適當(dāng)放寬條件,如將“點D在BC的延長線上”改為“點D為平面內(nèi)任一點”,或?qū)l件“等腰直角三角形”弱化.

變式1 如圖10,△ABC為等腰直角三角形,∠CAB=90°.在平面內(nèi)取一點D,以AD為腰作等腰Rt△ADE,聯(lián)結(jié)EC和BD,交于點H;AH,ED的延長線相交于點G,F是線段DG上的點,且∠DHF=∠DAH.若GF=2,EF=4,求FD的長.

解題思路 新交點H是例1中的點C嗎?與點A有什么聯(lián)系?由手拉手模型易得△DAB≌△EAC(如圖11),過點A分別作對應(yīng)邊BD和CE上的垂線段AN和AM,AM=AN,AH為∠EHB的平分線,則

∠EHA=∠BHA=∠GHD=∠GHC．

由△DAB≌△EAC,得

∠BDA=∠CEA,

從而

∠DHE=∠DAE=90°,

故點D,E,A,H共圓,則

∠EDA=∠EHA=∠DHG.

由條件∠DHF=∠DAH,得

∠FGH=∠FHG,

教學(xué)說明 改變點D的位置,不再受BC延長線的束縛后,只要手拉手模型依舊發(fā)揮作用,結(jié)論依舊成立．例1只是一種特殊情況,變式1更具一般性．

變式2 如圖12,△ABC為等邊三角形,平面內(nèi)取一點D,以AD為邊作等邊三角形,聯(lián)結(jié)EC和BD,交于點H,AH,ED的延長線相交于點G,F是線段DG上的點,且∠DHF=∠DAH.聯(lián)結(jié)HE,若GF=2,EF=4,求FD的長.

圖12 圖13

變式3 如圖13,△ABC為等腰三角形,在△ABC所在平面內(nèi)取一點D,以AD為腰作等腰△ADE,使得∠CAB=∠DAE,聯(lián)結(jié)EC和BD,交于點H,AH,ED的延長線相交于點G,F是線段DG上的點,且∠DHF=∠DAH.若GF=2,EF=4,求FD的長.

教學(xué)說明 變式2和變式3的求解可參考解法1～3．通過條件一再弱化,變式3中的條件比例1中的條件更加一般化．

3.6 五品變式——探尋出題意圖

變式3中只要手拉手模型成立,即得△DAB≌△EAC和點D,E,A,H共圓,通過證明AH為∠EHB平分線和圓周角定理,得∠EDA=∠DHG．加上∠DHF=∠DAH,可得等腰△GFH．又由四點共圓所得圓周角相等,可證∠DHF=∠DEH,可得△FEH和△FDH子母型相似,即得FD的長度為1．

去掉例1條件中的種種轉(zhuǎn)化,回到最基本的幾何圖形,即試題的出發(fā)點,猶如品茗問產(chǎn)地．如圖14,題目條件可簡化為兩點:①∠FHD=∠HEF,利用子母型相似得到FH是FD與EF的線段比例中項;②∠FHG=∠FGH,利用等腰三角形,將FH換成FG,最終將FH,FD,FE轉(zhuǎn)化到一條直線GE上．

圖14

由此可知,若將題目中的條件GF=2,EF=4調(diào)整為點F是GE的黃金分割點,則可得點D為EF的黃金分割點．這樣的編題、改題的探索建立于對試題本質(zhì)的探索．

4 教學(xué)反思

4.1 夯實基礎(chǔ)知識,熟悉幾何條件之間的轉(zhuǎn)化

當(dāng)解題由一個步驟推進到另一個步驟時,其實就是知識點之間的聯(lián)系與生成[2]．例如,例1難度較大,條件也較為復(fù)雜,但解題離不開對基礎(chǔ)知識和基本技能的熟練掌握．學(xué)生只有夯實每一個知識點,熟悉知識之間、知識結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系,才能通過轉(zhuǎn)化條件,建立起條件知識與結(jié)論知識之間的橋梁．

4.2 注重一題多解,培養(yǎng)發(fā)散思維

當(dāng)一道題存在多個解法時,其實就意味著不同解法的知識點之間存在邏輯聯(lián)系或?qū)?yīng)關(guān)系．例1中條件知識轉(zhuǎn)化為四點共圓和子母型相似后,產(chǎn)生了完全不同的4種解法．教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納不同方法的本質(zhì)和特點．不同的解法源于看問題的角度不同,思考途徑不同,但都能起到復(fù)習(xí)知識點、開闊思路、發(fā)展思維的作用．

4.3 探索本質(zhì),突破出題意圖,反向增進解題能力

羅增儒教授曾提出,教師的核心競爭力就是解題的能力．教師除了解題教學(xué)外,更要研究題目,通過弱化條件、一系列的變式等,探索圖形元素之間的本質(zhì)聯(lián)系．只有觸碰到出題本意,才能在此基礎(chǔ)上對題目做出更好的改變,從而反向培養(yǎng)解題能力．

4.4 增強推理能力、幾何直觀,促進核心素養(yǎng)發(fā)展

解題活動的核心價值是掌握數(shù)學(xué)．教學(xué)重視對學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng),讓學(xué)生面對復(fù)雜條件時,能有條理地思考,學(xué)會分析條件、轉(zhuǎn)化條件．教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生在推理的過程中,結(jié)合幾何直觀尋找思路,用嚴謹?shù)?、理性的思維解決問題,最終促進學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展．