基于APOS理論的“銳角三角函數(shù)”概念教學(xué)探索

朱 琛

(杭州第十中學(xué),浙江 杭州 310009)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基石,數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容,也是形成學(xué)生數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ).一般而言,概念教學(xué)有兩種基本形式,即概念同化與概念形成,其中概念形成更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的來龍去脈,彰顯數(shù)學(xué)概念形成的過程.但在教學(xué)中,還存在以結(jié)論的熟知代替數(shù)學(xué)概念形成過程的感知、以批量練習(xí)代替深層思考的現(xiàn)象,這也導(dǎo)致學(xué)生對概念的理解浮于表面.

本文以“銳角三角函數(shù)”這一初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容為例.由于其兼具幾何直觀和代數(shù)運算的特性,本身就是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點.在學(xué)習(xí)中,不少學(xué)生僅把記憶特殊角度的三角函數(shù)值作為重點,忽視了其函數(shù)本質(zhì),在認(rèn)知上將銳角三角函數(shù)的幾何直觀與代數(shù)運算這2條特性加以割裂.這樣淺表的理解,也會導(dǎo)致學(xué)生在高中學(xué)習(xí)任意三角函數(shù)時出現(xiàn)銳角三角函數(shù)負(fù)遷移的現(xiàn)象[1].因此,如何組織銳角三角函數(shù)的教學(xué)才能深化學(xué)生的理解并減少負(fù)遷移?如何設(shè)計數(shù)學(xué)問題才能使課堂更促進學(xué)生的思維生成、表達與輸出?筆者在對浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》(九年級下冊)“銳角三角函數(shù)”單元分析的基礎(chǔ)上,立足APOS理論,討論如何開展銳角三角函數(shù)概念的教學(xué).

1 內(nèi)容分析

1.1 立足幾何直觀,分析教學(xué)起點

銳角三角函數(shù)最突出的特點是它的概念產(chǎn)生和應(yīng)用有著鮮明的幾何意義,本節(jié)是一個能夠有效培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng)的章節(jié).根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡稱《課標(biāo)》)的要求,“銳角三角函數(shù)”屬于第4學(xué)段中“圖形的相似”模塊,以直角三角形、相似三角形作為探索新概念的重要工具.銳角三角函數(shù)是在學(xué)習(xí)了直角三角形兩銳角關(guān)系、勾股定理等知識的基礎(chǔ)上,對直角三角形的進一步深入和拓展.銳角三角函數(shù)的出現(xiàn),使得我們對于邊角關(guān)系的刻畫從“大邊對大角、小邊對小角的定性刻畫”走向“定量刻畫”.

但受限于初中學(xué)生的認(rèn)知水平和實踐經(jīng)歷,除了含30°,45°角的特殊直角三角形外,學(xué)生對于如何定量描述邊角關(guān)系還是模糊不清.在初中階段,很多學(xué)生仍然是按照特定的步驟來解直角三角形.因此,當(dāng)學(xué)生能夠解這些直角三角形后,就誤認(rèn)為自己已經(jīng)掌握銳角三角函數(shù)的概念.

1.2 立足函數(shù)視角,分析教學(xué)重點

銳角三角函數(shù)概念的建立是對函數(shù)概念理解的一種升華.在直角三角形中,隨著銳角角度的變化,邊長比值也隨之變化,這兩個變量呈現(xiàn)出的依賴關(guān)系,反映了函數(shù)中的對應(yīng)思想,這也是高中進一步學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ)(如圖1).本節(jié)是一個能夠有效培養(yǎng)模型觀念的教學(xué)章節(jié).

圖1

在學(xué)習(xí)函數(shù)時,學(xué)生對求解函數(shù)表達式十分熟悉,但對概念本身尤其需要從對應(yīng)關(guān)系入手加以理解,這對學(xué)生的認(rèn)知提出了較高的要求.在初中階段理解銳角三角函數(shù)時,若沒有跳出直角三角形以及3個特殊角(30°,45°,60°)的限制,則兩個學(xué)段銜接就會出現(xiàn)困難.因此,一方面,要強調(diào)相似三角形中三角函數(shù)值的不變性;另一方面,要在概念給出前指明我們討論的是角度與邊長比值之間的關(guān)系,以此刻畫這兩個變量之間的關(guān)系,從而幫助學(xué)生理解銳角三角函數(shù)的函數(shù)本質(zhì).

1.3 立足概念理解,分析教學(xué)難點

首先,區(qū)別于三角形這樣從現(xiàn)實對象或關(guān)系直接抽象而成的概念,銳角三角函數(shù)屬于純數(shù)學(xué)抽象物,是抽象思維的產(chǎn)物,沒有客觀事實與之對應(yīng)[3].

其次,銳角三角函數(shù)定義的形式以及符號的表示方法都沒有可類比的內(nèi)容.例如,當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)二元一次方程、一元一次不等式時,已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程,學(xué)生能夠帶著先行知識來解碼信息.但是,本節(jié)課中的概念對學(xué)生而言沒有前概念可以輔助,難以進行自主建構(gòu)、類比學(xué)習(xí).

最后,《課標(biāo)》要求“探索并認(rèn)識銳角三角函數(shù)”,并認(rèn)為“探索”是指:在特定的問題情境中,獨立或合作參與教學(xué)活動,理解或提出數(shù)學(xué)問題,尋求解決問題的思路,獲得確定的結(jié)論[4].由此可知,學(xué)生在理解銳角三角函數(shù)的概念時,應(yīng)知其然,且知其所以然.“關(guān)系性理解”注重的是數(shù)學(xué)知識獲得的過程性及其結(jié)構(gòu)性[5].因此,在此課的概念教學(xué)中,教師應(yīng)注重概念的關(guān)系性理解,而非工具性理解.

1.4 立足符號意識,分析教學(xué)盲點

三角函數(shù)屬于組合數(shù)學(xué)符號,是表示復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念的符號,由多個基本符號組合而成,相當(dāng)于語言系統(tǒng)里的“詞”或“短語”[6].以正弦函數(shù)sin∠A為例,區(qū)別于y=2x+3等表達式,sin∠A是由“sin”與“∠A”這兩個數(shù)學(xué)符號構(gòu)成.此外,銳角三角函數(shù)的符號表達式具有兩重性:從結(jié)果看是靜態(tài)的、確定的;但是,其又表示求出這個值的過程.在教學(xué)中,一定要將“兩重性”揭示出來,只有這樣,才能真正讓學(xué)生理解三角函數(shù)的意義.

九年級學(xué)生的符號意識應(yīng)達到結(jié)構(gòu)普適階段,表現(xiàn)為數(shù)學(xué)符號之間不同形式的轉(zhuǎn)換.數(shù)學(xué)符號意識的更高水平必然是模型對現(xiàn)實世界的表達——高中階段三角函數(shù)學(xué)習(xí)后應(yīng)達到的水平[7].因此,兩個學(xué)段要想能夠順利銜接,在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中,學(xué)生的符號意識就需要達到結(jié)構(gòu)普適階段.

2 用APOS理論對“銳角三角函數(shù)”的再分析

美國學(xué)者杜賓斯基等人對學(xué)生學(xué)習(xí)概念有深入的研究,提出了基于建構(gòu)主義學(xué)說的APOS理論.該理論指出,學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)概念有4個階段:操作(Action)、過程(Process)、對象(Object)、圖式(Scheme).

第三階段:對象階段,即學(xué)生通過前面的抽象認(rèn)識到了概念本質(zhì),并將所學(xué)概念上升為一個獨立的對象,以便在后續(xù)學(xué)習(xí)中以此為對象去進行新的活動.具體地,在sin 30°+2cos 30°中,sin 30°與cos 30°均作為獨立對象出現(xiàn)進行加法運算.在此階段,僅僅記住數(shù)學(xué)符號如何書寫是不夠的,不能忽視對數(shù)學(xué)符號的解讀,以此突破教學(xué)盲點,并深化概念.

第四階段:圖式階段,即經(jīng)過長期學(xué)習(xí)活動的完善,使得概念成為一個與其他概念、規(guī)則、圖形等相互聯(lián)系的有機整體,并以一個綜合的心理圖式存在于頭腦中.這一心理圖式含有具體的函數(shù)實例、抽象的過程、完整的定義,乃至與其他概念的區(qū)別和聯(lián)系[8],即在此課中需要圍繞核心問題,進行變式練習(xí),落實概念的關(guān)系性理解,旨在解決教學(xué)難點,并整合概念.

3 教學(xué)過程設(shè)計

3.1 操作階段

在操作階段,學(xué)生要能明確研究的數(shù)學(xué)對象,充分感知數(shù)學(xué)概念建立的必要性.在此階段,學(xué)生往往只能形成非結(jié)構(gòu)化、模糊化的概念,對概念的認(rèn)識僅是淺表性的,難以將概念抽象出來.在教學(xué)中,教師需要設(shè)計一系列外顯的數(shù)學(xué)探究活動去凸顯概念的內(nèi)隱本質(zhì),并以此培養(yǎng)學(xué)生用“數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”的意識與能力.

問題1 在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°.

追問2 若∠A=60°或∠A=45°,它們各自的對邊與斜邊的比值是否也是定值?

畫板演示 作任意銳角∠A,點B在邊上滑動,當(dāng)∠A的值確定后,其對邊與斜邊的邊長比值也隨之確定.

設(shè)計意圖 明確本節(jié)課研究的問題——直角三角形中銳角度數(shù)與邊長比值之間的關(guān)系.當(dāng)銳角∠A為定值時,在幾何畫板軟件的動態(tài)演示中,學(xué)生可以直觀感知銳角與邊長比值的對應(yīng)關(guān)系.具體而言:當(dāng)∠A取值確定后,點B在邊上滑動不會改變邊長比值.實際上,當(dāng)點B滑動時,雖然三角形的大小改變了,但三角形的形狀沒有改變.

3.2 過程階段

“過程階段”是對“操作階段”感性認(rèn)知的升華.在過程階段,讓學(xué)生明白僅以“形”來判斷對應(yīng)關(guān)系是模糊的、不準(zhǔn)確的,只有通過證明才能讓判斷更具嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性.在本階段,學(xué)生通過教師的指導(dǎo)進行自主探索,并經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程,而后抽象出概念的本質(zhì),以此培養(yǎng)學(xué)生用“數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”的能力.

問題2 請證明:在Rt△ABC中,∠B=90°,當(dāng)銳角∠A的值確定后,其對邊與斜邊的邊長比值也確定.

設(shè)計意圖 作為一個數(shù)學(xué)命題,僅憑幾何畫板軟件演示無法證明它的合理性,我們需嘗試進行幾何論證.教師可引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn):證明線段比值應(yīng)放到相似三角形中去,利用相似三角形的性質(zhì)進行推理論證“當(dāng)∠A確定時,邊長之比為定值”.培養(yǎng)學(xué)生用觀察猜想、推理論證的思路來處理這類問題,同時提高學(xué)生演繹推理的能力.

問題3 在Rt△ABC中,∠B=90°,當(dāng)銳角∠A的值變化時,其對邊與斜邊的邊長比值是否也隨之變化?

畫板演示 繼續(xù)操作幾何畫板軟件,取斜邊長度為單位1,討論當(dāng)∠A取值變化時,邊長比值的情況.

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生識別這個變化過程中的兩個變量,即∠A度數(shù)和邊長比值的變化規(guī)律.對于∠A的每一個確定的值,邊長比值都有唯一確定的值與之對應(yīng).而后,回顧函數(shù)的定義,剖析函數(shù)定義中的要點,并與幾何畫板軟件中的發(fā)現(xiàn)做對比,這也使學(xué)生更容易發(fā)現(xiàn):角度與線段比值的對應(yīng)關(guān)系其實是建立在函數(shù)的一般定義的基礎(chǔ)上.教師進而引導(dǎo)學(xué)生明確銳角度數(shù)為自變量,線段之比為函數(shù)值;同時認(rèn)識到這類對應(yīng)關(guān)系不能用類似一次函數(shù)或二次函數(shù)這樣的解析式加以表示,需要引進一種新的函數(shù).

3.3 對象階段

從計算特殊值到幾何畫板軟件演示,再到證明,形成了完整的概念構(gòu)造過程.在得到正弦概念后,及時追問更深入的問題,即當(dāng)∠A確定后,其鄰邊比斜邊、對邊比鄰邊是否也是一個定值,從而類比得出余弦和正切的概念,進而給出銳角三角函數(shù)概念,以此培養(yǎng)學(xué)生用“數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”的能力.

正因如此,這一階段還需要幫助學(xué)生掌握銳角三角函數(shù)的表示方法.例如,正確書寫sin∠ABC,tan∠A,cos∠1,sin∠α,tanA,sinα,并與sinABC,cos 1等錯誤書寫的比較中強化對數(shù)學(xué)表達的理解.

3.4 圖式階段

讓思考走向深入,讓數(shù)學(xué)思維得以發(fā)展,需要基于核心問題的問題鏈引領(lǐng)[9].在本階段,設(shè)置一串起點低、由易到難的問題,為學(xué)生提供數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的骨架.

問題4 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sin∠A,cos∠A,tan∠A.

追問1 將已知AB=10,BC=6改為已知AB∶BC=5∶3,求sin∠A,cos∠A,tan∠A.

追問3 將∠C=90°刪去,求sin∠A,cos∠A,tan∠A.

設(shè)計意圖 問題4起點較低,不同層次的學(xué)生都能“夠得著”,使得數(shù)學(xué)思考變得可行.追問1將已知兩條線段長度改為已知兩條線段的比值,旨在落實銳角三角函數(shù)與邊長比值之間的關(guān)系.追問2將條件變?yōu)橐阎?求余弦與正切.比較問題4與追問1和追問2,教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):在直角三角形中,如果其中一銳角的銳角三角函數(shù)值確定,則意味著直角三角形的形狀已經(jīng)確定,再添加一條邊長,即可將其大小也確定.這也是2019年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考的題型之一.

追問4 不改變原題條件,求sin∠B,cos∠B,tan∠B,并探究互余兩角的三角函數(shù)間的關(guān)系.

設(shè)計意圖 點撥學(xué)生根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義,挖掘互余兩角的三角函數(shù)間的數(shù)量關(guān)系.此外,也可讓學(xué)有余力的學(xué)生根據(jù)直角三角形的三邊關(guān)系,推導(dǎo)得出函數(shù)值的取值范圍.

4 結(jié)語

正如前文所述,銳角三角函數(shù)具有幾何直觀與代數(shù)抽象的二重性,具有豐富的教學(xué)意義.以APOS為理論指導(dǎo)開展銳角三角函數(shù)的概念教學(xué),讓學(xué)生親歷概念的發(fā)生、發(fā)展過程,并且將概念的定義、表示方法、分類等融合到知識架構(gòu)中,這對學(xué)生的概念理解是有幫助的.