偏振光測量之理論溯源及數(shù)據(jù)處理

梁鈺林,邢燕霞

(北京理工大學(xué) 物理學(xué)院,北京 100081)

在大學(xué)物理的理論范疇和實驗條件下,偏振光的唯一可觀測量是光強分布.顧名思義,線偏振就是一條直線,圓偏振就是圓,橢圓偏振就是橢圓,但實驗測量的結(jié)果并非如此,所謂“線偏不線,橢偏不橢”,這給初學(xué)者造成很大困擾.事實上,偏振光的理論定義和實驗觀測并不直接相關(guān),人們對偏振光的誤解絕大多數(shù)均源于此.既然“線偏不線,橢偏不橢”,為何還要叫作線偏振、圓偏振、橢圓偏振光呢?最重要的,理論定義的偏振光應(yīng)該具有什么樣的實驗指征?

想要厘清這些問題,必須借助實驗觀測.但是受課時限制,光的偏振的實驗內(nèi)容簡單粗糙,實驗部分的基礎(chǔ)理論很難在區(qū)區(qū)3個實驗課時內(nèi)講清楚,而大學(xué)物理課堂理論僅止于線偏振光的馬呂斯定律,完全不涉及橢圓偏振光的實驗預(yù)測.這導(dǎo)致兩個后果:1) 學(xué)生對橢圓偏振理論的理解似是而非;2) 理論和實驗嚴(yán)重脫節(jié).不僅如此,由于實驗結(jié)果顯示“線偏不線,橢偏不橢”,這樣的實驗測量不僅不能讓初學(xué)者深入理解偏振現(xiàn)象及其本質(zhì),反而帶給他們無盡的困擾.相關(guān)文獻[1-4]大都局限于實驗數(shù)據(jù)處理的細(xì)節(jié),沒有從理論上追根溯源,從根本上闡明偏振的本質(zhì).為了更好地理解偏振理論,澄清偏振光概念上的一些誤區(qū),本文做了以下3個工作:1) 從光的偏振的基礎(chǔ)理論出發(fā),結(jié)合具體的實驗現(xiàn)象,對每一步實驗現(xiàn)象追根溯源,找到“線偏不線,橢偏不橢”的理論依據(jù);2) 從實測的實驗數(shù)據(jù)出發(fā),清晰地還原橢圓偏振光的橢圓性,找到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)菀自斐烧`解的理論定義和直觀卻不符合直覺的實驗現(xiàn)象之間的直接聯(lián)系,進而直觀地展示理論定義和實驗現(xiàn)象之間的差別和產(chǎn)生這種差別的根源;3) 通過理論-實驗,實驗-理論的雙循環(huán)模式構(gòu)建偏振理論和實驗互通的橋梁.

1 偏振的物理本質(zhì)

光的頻率和波長都可以作為光的量子態(tài)指標(biāo),二者作用相當(dāng).偏振光是具有確定振動姿態(tài)的光,除了特定的頻率(或波長),偏振光還有一個至關(guān)重要的態(tài)指標(biāo):振動姿態(tài).

根據(jù)電磁場理論,光是橫向振動光速傳播的電磁場,下面用電場E(或者磁場B,二者互相垂直)來表征電磁場.電磁場是協(xié)變場,電磁波自然也是諧波,但它不同于一般的諧波.普通諧波的振動方向是固定的,用一個諧振函數(shù)即可表示其振動位移,即

l(t)=Aei(ωt-kz)

(1)

而電磁波的振動方向卻是任意的,它有兩個獨立的振動自由度,可以沿垂直于傳播方向的x-y平面內(nèi)的任一方向振動,因此必須用兩個獨立的振動矢量來表示電磁波的振動. 這兩個獨立矢量互相垂直,方便起見,定義為x和y方向. 兩個方向的振動分量都表示為和普通諧波一樣的諧振函數(shù),即[5]

Ex(t)=Axei(ωt),Ey(t)=Ayei(ωt+δ)

(2)

為簡便起見,已略掉空間變化,只保留時間相關(guān)的相位ωt.

圖1 電磁波兩個獨立振動方向的振幅示意圖

為精確描述振動姿態(tài),定義如圖2所示的瞬時振動方向α(t),表示振動矢量在t時刻和x軸的夾角,諧振函數(shù)取復(fù)函數(shù)的實部,瞬時振動方向滿足

圖2 瞬時振動方向

(3)

瞬時方向α(t)不同,振動矢量Ex(t)形成的軌跡也不同. 變量ωt隨時間均勻變化,周期平均后和實驗測量方位角φ等價.δ=±90°時,有tanα=tanθtanφ.

2 偏振的數(shù)學(xué)表現(xiàn)

偏振是一種可以精確刻畫的確定的振動姿態(tài).振動矢量Ex(t)形成的軌跡可以形象地描述振動姿態(tài),這個振動姿態(tài)就是本文所要研究的偏振態(tài).方程(2)中兩個方程右邊取實部,聯(lián)立消掉ωt時間參數(shù),即可得到Ex和Ey的隱函數(shù)關(guān)系[6]為

(4)

這是一個關(guān)于Ex和Ey的中心位于原點的橢圓曲線方程,也是瞬時振動矢量的端點在x-y平面形成的運動軌跡. 相位差δ的正負(fù)決定矢量端點的運動方向,用于定義左(右)旋光,δ的大小則決定橢圓形狀,從而決定偏振矢量的整體振動姿態(tài).

圖3展示了δ=0°、30°、60°、90°四種不同偏振態(tài)的矢量軌跡.δ=0°時,tan[α(t)]=tanθ,兩個方向振動完全同步(同漲同消),合振動方向不變,振動軌跡為直線,為圖3(a)所示的線偏振態(tài);δ=90°時,方程(4)退化為長短軸和坐標(biāo)軸重合的正橢圓方程,此時,x和y方向的振動完全不同步(一漲一消),振動軌跡為正橢圓,為圖3(d)所示的正橢圓偏振態(tài),教科書或文獻中提到的橢圓偏振通常指這種正橢圓偏振態(tài).

δ=0° δ=30°

δ=60° δ=90°圖3 不同δ下偏振光矢量的振動軌跡,每幅圖中的7條曲線代表θ 為0°、15°、30°、45°、60°、75°、90°時的7種混合比例

通常情況下,兩個互相垂直且相互獨立的振動既不完全同步(同漲同消,δ=0,±180°)也不完全不同步(一漲一消,δ=±90°),其整體振動軌跡為長短軸不在x/y方向的斜橢圓. 圖3(b)和圖3(c)展示了δ=30°、60°時的一般偏振態(tài)的振動軌跡. 為方便描述斜橢圓姿態(tài),定義斜橢圓長短軸方向分別為新坐標(biāo)系x′和y′方向,x′和x軸的夾角設(shè)為β. 通過坐標(biāo)變換可知,只有當(dāng)θ=0°、45°、90°時,β=θ. 此時,斜橢圓傾角固定,不隨相位差δ改變而改變,這3種特殊的混合比(圖3中的深灰和淺灰曲線)正是正橢圓偏振態(tài)的特殊情形,即線偏振和圓偏振對應(yīng)的混合比.

3 偏振的實驗指征

偏振具有明顯的方向性,空間分布具有強烈的各向異性,光強分布當(dāng)然也不例外. 但由于電磁場隨時間快速變化,比如,波長600 nm的可見光,振動頻率達(dá)到5×1017Hz,在探測器響應(yīng)時間尺度下,光矢量的大小和方向瞬息萬變,根本無法探測瞬時電場,也無法如電學(xué)實驗中探測周期電場一樣,用示波器探測電磁場的波形圖(瞬時矢量信息),只能探測周期平均下的能量(光強)分布. 換句話說,電磁場沒有波形圖,只有光強分布. 實驗上只能通過光強分布來標(biāo)定偏振態(tài). 那么,不同的偏振態(tài)又各自具有什么樣的光強分布?

3.1 同步振動的線偏光

線偏振光振動方向保持不變,可看做兩個相互垂直的同步振動的合矢量. 如圖4所示,合矢量E(t)=Aeiωt,其長度瞬時變化,但方向不變,可通過矢量投影分解到任意兩個相互垂直的面內(nèi)方向,分解后的兩個方向的振動相位依然同步,探測任意方向的投影光強即可得到線偏光的光強分布.實驗所測光強為放大后的相對光強,其絕對值無意義. 方便起見,依然使用歸一化的光強,設(shè)線偏振光振動方向為x方向,振幅A=1,探測方向和線偏振光呈φ角,其光強記為Pφ,對歸一化的光矢量做矢量投影,Eφ(t)=E(t)cosφ=eiωtcosφ,探測光強Pφ=|Eφ(t)|2=cos2φ,這是大家熟知的馬呂斯定律. 如果在垂直方向再放一個探測器P′,則有P′=sin2φ. 相互正交的兩個方向等效于兩個正交完備基[7],通過這兩個方向的探測,可以收集線偏振光所有的能量,滿足能量守恒P=P′+Pφ=1.

圖4 線偏光投影分解測量

圖5(a)展示了線偏振光光強隨角度的變化.探測方向(深灰色線)只能收集部分光強Pφ=cos2φ,垂直方向P′收集剩下的所有光強(淺灰色線),二者滿足Pφ+P′=1. 圖5(b)展示了光強和cos2φ的完美線性關(guān)系,深灰色直線代表我們熟悉的馬呂斯定律. 圖5(c)展示了極坐標(biāo)下光強的角分布. 據(jù)此可判定,實驗上測到的線偏振光的角分布Pφ(深灰色線)必定為標(biāo)準(zhǔn)的倒“8”字型,而非直線型,所謂“線偏不線”. 因此,線偏振的實驗指征絕非“直線”,而是光強為零的消光現(xiàn)象. 光強零點位于倒“8”字的90度方向. 圖5(c)的黑色圓圈為深灰色線和淺灰色線的數(shù)據(jù)之和. 可以看出,沿任意角度(灰色輻射線)分解測量,總光強均保持不變,這是由能量守恒的基本原理決定的.

相互垂直的兩方向的線偏光光強隨φ角的變化 兩方向的線偏光光強隨cos2φ的線性分布 兩方向的線偏光光強在極坐標(biāo)下的角分布圖5 線偏振光的光強分布

3.2 不同步振動的橢圓偏振光

橢圓偏振光由兩個線偏振矢量合成,這兩個線偏振矢量不同步,存在相位差δ. 由于合振動的矢量方向瞬息萬變,無法直接進行矢量投影,如圖6所示,要想進行有效的矢量投影,必須把橢圓偏振光還原成兩束不同步的線偏振光Ex(t)=cosθeiωt和Ey(t)=sinθei(ωt+δ),再把兩束線偏振光分別投影到測量方向(圖6深灰色點線所示),分光強相加即可得到這個方向的總光強

圖6 橢圓偏振光投影分解測量.

Pφ=cos2θcos2φ+sin2θsin2φ

(5)

注意,分光強只取決于線偏振光的振幅,和相位無關(guān),表征周期平均后的整體強度. 因此,盡管線偏振光的相位差δ影響振動姿態(tài)(斜橢、正橢),但卻不影響光強分布Pφ. 這意味著,斜橢圓偏振和正橢圓偏振光的光強分布完全相同,以下只研究正橢圓偏振的光強分布. 無論是線偏振光還是橢圓偏振光,其光強,也就是能量,是確定的,φ方向只能測到部分能量,剩下的能量全部集中在垂直方向(圖6的淺灰色箭頭),兩束線偏振光分別投影亦可得到此方向的光強P′=cos2θsin2φ+sin2θcos2φ,容易驗證,Pφ+P′=cos2θ+sin2θ=1,表明總光強和測量角度φ無關(guān),意味著所有的正交完備基地位均等,都可用來合成和分解偏振光.

圖7(a)展示了以不同比例矢量合成的橢圓偏振態(tài)沿φ方向光強Pφ在極坐標(biāo)下的角分布. 矢量合成混合比例Ay∶Ax=tanθ,取θ=0°、30°、45°、60°、90°. 從圖7(a)可以看出,θ=45°的圓偏振光,其光強分布也是圓形(淺灰色圓圈),因此圓偏振光檢測相對容易,實驗上也最常用. 與此形成鮮明對比的是θ=0°、90°的線偏振光和θ= 30°、60°的橢圓偏振光,線偏振光的光強分布并非直線(深灰色曲線),橢圓偏振光的光強分布也并非橢圓(黑色曲線),正所謂“線偏不線,橢偏不橢”. 它們的光強分布都是細(xì)腰啞鈴形,線偏振光細(xì)腰寬度為零,橢圓偏振光細(xì)腰寬度非零. 橢圓偏振光和線偏振光的唯一區(qū)別就在于啞鈴細(xì)腰寬度是否為零,即是否存在特定角度的消光現(xiàn)象. 相比于線偏振光和圓偏振光,橢圓偏振光的判別并不容易,因此實驗上很少用橢圓偏振光. 圖7(a)圖中的黑色大圓圈代表Pφ和P′之和,表明沿任意角度(灰色輻射線)分解測量,總光強保持不變.

線偏振、橢圓偏振、圓偏振光都是特定的量子疊加態(tài)[7],本質(zhì)上并無區(qū)別,都屬于線性疊加的量子純態(tài). 這導(dǎo)致所有偏振光的光強Pφ均呈現(xiàn)如圖7(b)所示的與cos2φ成線性關(guān)系,表示為Pφ=εcos2φ+(1-ε)/2,其中,斜率ε=1-2sin2θ表征偏振的各向異性程度.ε=0代表各向同性的圓偏振光(淺灰色直線);ε=±1表示完全沿x或y方向振動的極端各向異性的線偏振光(深灰色直線);0<|ε|<1表示各向異性的橢圓偏振光(黑色直線). 我們熟知的馬呂斯定律只是這種線性關(guān)系的特例(ε=1).

以上考慮的是理想單色波的完全偏振態(tài). 完全偏振態(tài)是一個理想的量子純態(tài),實現(xiàn)完全偏振有兩個前提:保證單色,即ω固定;保持相位即δ固定. 兩個條件中,第一個單色條件更容易滿足,原子發(fā)光光譜便具有單色性. 第二個相位保持條件很難實現(xiàn)[8]. 要知道,一個原子一秒鐘就能夠發(fā)射108個相同頻率的光子,發(fā)光光源中又包含了摩爾數(shù)量級的原子,因此在每一次有效測量時間內(nèi),都有無窮多個振動姿態(tài)各異的光子到達(dá)探測器,所看到的探測信號必定是大量光子的集體平均效果,平均的后果完全抹殺偏振態(tài)的各向異性的振動姿態(tài).因此,普通光源發(fā)出的自然光的光強分布必定各向同性,此謂完全非偏振光. 如果非偏振光疊加偏振光,則為各向異性的部分偏振光.

設(shè)線偏振光光強為A,自然光光強B,取線偏振光的振動方向作為角向的零點,二者疊加的總光強Pφ=Acos2φ+B=(A+B)cos2φ+Bsin2φ,這是一個標(biāo)準(zhǔn)的橢圓偏振光的光強分布(方程5).如果A=0,則Pφ完全等同于圓偏振光的光強分布. 因此,單從光強分布無法區(qū)分圓偏振光和自然光,也無法區(qū)分橢圓偏振光和部分偏振光. 要想?yún)^(qū)分二者,必須借助偏振光的特性,即它的純態(tài)特性.組成純態(tài)的量子疊加態(tài)有確定的相位,因此偏振態(tài)的相位(δ)有跡可循,總可以通過相位補償把所有的偏振光都變?yōu)榫€偏振光,而線偏振光是極端各向異性光,在垂直方向可以完全消光. 部分偏振光和自然光則沒有確定的相位,無法進行相位追蹤,也無法通過相位補償使之變?yōu)榫€偏振光,因此無論如何也做不到特殊角度消光. 綜上,光強分布結(jié)合消光操作即可通過簡單的光強測量確定偏振態(tài).

4 偏振的實驗測量

本小節(jié)將通過實測數(shù)據(jù)驗證前面的理論預(yù)測,并根據(jù)前面的理論推導(dǎo),利用實測數(shù)據(jù)還原偏振光矢量的振動軌跡. 實驗儀器如圖8所示,包括光源、光學(xué)元件(含兩個偏振片和一個1/4波片)、光功率測量儀(含接收器和指示器),所有儀器均置于光具座上,以保證光路準(zhǔn)直.

圖8 實驗儀器實物

實驗所用光源為毫瓦級半導(dǎo)體激光. 高質(zhì)量的激光器可以同步大量原子的量子態(tài)[8],產(chǎn)生振動方向確定的線偏振光. 但橢圓偏振光無法直接從光源獲得,必須利用波片制造橢圓偏振光. 波片是折射率各向異性的二相色散晶體切片,切片法線沿著各向異性最大的方向. 如圖9所示,線偏振光垂直入射波片,出射光線變?yōu)閮墒駝臃较蚧ハ啻怪钡耐较騻鞑サ木€偏振光. 由于折射率不同,兩束線偏振光速一快一慢,在晶體中產(chǎn)生固定相位差,相位差正比于晶體厚度d,1/4波片產(chǎn)生δ=π/2(+2nπ)的相位差. 兩束振動方向垂直、相位差δ=π/2的線偏振光疊加合成正橢圓偏振光. 鑒于現(xiàn)有的測量條件(只測光強)無法區(qū)分斜橢圓偏振和正橢圓偏振,下面只測量并分析相位差δ=±π/2的正橢圓偏振的實驗數(shù)據(jù).

圖9 利用波片產(chǎn)生橢圓偏振光原理示意圖

大學(xué)物理實驗所用激光器無法保證線偏振光的偏振度,還需讓激光透過偏振片,產(chǎn)生理想的線偏振光. 如圖10所示,部分偏振的激光透過透光方向為M的偏振片(起偏器),變?yōu)槔硐氲木€偏振光P0,振動方向平行于M. 此線偏振光為后續(xù)所有實驗測量的唯一光源,具有確定的光強和偏振方向.為便于和理論結(jié)果進行比較,對此線偏振光強進行歸一化,即設(shè)P0=1,并設(shè)它的振動方向M為x方向. 波片有兩個透光方向(短劃線),分別為o光和e光的振動方向,這兩個方向正是構(gòu)成橢圓偏振光的兩個線偏振光的振動方向. 為了定位這兩個振動方向,必須借助偏振片,如圖10所示,兩個透光方向相互垂直的偏振片定義一對正交基,在不插入波片的情況下,透光為零,是為一次消光,之后,在兩個偏振片之間插入波片,由于透過波片的兩束線偏振光無法同時和檢偏器透光方向垂直,消光解除,此時的透光為橢圓偏振光. 但是有一種情況例外,那就是當(dāng)波片的o光和e光的振動方向分別平行于起偏器和檢偏器的兩個透光方向時,M方向偏振光可以完全透過波片,但是完全無法透過具有垂直透光方向的檢偏器,是為二次消光. 此時,M和N就是o光和e光的振動方向. 轉(zhuǎn)動波片,即可得到各種姿態(tài)的偏振光,轉(zhuǎn)動檢偏器(透光方向N),可測量各種偏振光的光強分布Pφ.

圖10 橢圓偏振光測量原理圖

如圖11所示,橢圓偏振光的軌跡橢圓的長短軸沿轉(zhuǎn)動的o光和e光方向,橢圓的形狀取決于兩束線偏振光振幅的相對比例Ae/o/Ao/e=tanθ,其中,θ為波片轉(zhuǎn)角,定義二次消光的位置為θ=0. 圖11(a)、11(b)分別展示了θ<45°和θ>45°的兩種不同的振動姿態(tài). 如前所述,θ=0°、90°為線偏振光,θ=45°為圓偏振光,其余情況為橢圓偏振光.

θ<45° θ>45°圖11 橢圓偏振光測量角度示意圖

圖12展示了θ=0°、30°、45°、60°、90°五種混合比例下的橢圓偏振光強分布Pφ.圖12(a)中,φ角的零點定在x軸方向,即起偏方向. 為便于和理論結(jié)果進行比較,圖12(b)把φ角的零點變?yōu)楦S波片轉(zhuǎn)動的移動零點,此零點固定在波片的o/e光的振動方向. 圖12的光強分布顯示,不管φ角如何變,總光強Pφ+P′基本保持不變(最外層的大圓),意味著能量守恒已滿足,光強無損耗,測量數(shù)據(jù)基本可靠. 圖中三角標(biāo)記的曲線為線偏振,實心點標(biāo)記的曲線為橢圓偏振,圓圈標(biāo)記的曲線為圓偏振,線偏振、橢圓偏振和圓偏振光強分布分別為“8”字形、細(xì)腰啞鈴形和近似圓形,和理論分析基本一致.

角坐標(biāo)零點固定的極坐標(biāo)系下 角坐標(biāo)零點隨波片移動的極坐標(biāo)系下圖12 不同坐標(biāo)系下線偏振、橢圓偏振、圓偏振光的光強角分布

為了進一步驗證實驗測量的可靠性,根據(jù)振動方向α和測量方位角φ的關(guān)系tanα=tanθtanφ,圖13還原了圖12的光強分布對應(yīng)的光矢量端點軌跡圖,軌跡圖清晰地呈現(xiàn)了線偏振的線性軌跡和橢圓偏振的橢圓軌跡,直觀地呈現(xiàn)出各種偏振光的振動姿態(tài),從實驗的角度形象地解釋了線偏振和橢圓偏振的由來.

圖13 利用圖12中的光強數(shù)據(jù)還原對應(yīng)的振動矢量端點軌跡圖

5 測量誤差分析

理論上,圓偏振光的光強分布和矢量軌跡都是理想的圓形,但圖12和13中的圓圈標(biāo)記曲線并非圓形,尤其是光強分布圖,更像是傾斜的長橢圓.橢圓偏振的橢圓也有少許形變扭曲. 這意味著,實際測量中波片兩個振動方向的透光率并不完全相同,這種現(xiàn)象在偏振實驗測量中經(jīng)常出現(xiàn),非常具有代表性. 初步分析,原因如下.由于激光光斑較大,實際實驗中在光路并未完全準(zhǔn)直的條件下,接收器依舊可以接收到毫瓦級的正常強度的光強,因此造成線斜入射垂直放置的波片而實驗者并未察覺的情況. 由于斜入射的線偏振光的振動面和波片所在平面不垂直,因此無論波片如何轉(zhuǎn)動,線偏振光也無法完全透過波片. 極端情況,波片的一個振動方向,例如Eo,正好位于線偏振光的振動面內(nèi),透過率最不完全,影響最大. 此時,Ee方向完全不受影響,依然保持零透光.一般情況,兩個方向都有影響,但影響程度不同,實驗中波片振動方向隨機(擺放),因此便造成如圖13所示的無規(guī)傾斜的長橢圓式的圓偏振軌跡,以及輕微扭曲的橢圓偏振軌跡.

此外,整個實驗儀器設(shè)備粗糙簡陋,也會造成實驗數(shù)據(jù)偏離理論值的情況. 圖14展示了θ=0°、30°、45°、60°、90°五種混合比例下偏振光強Pφ隨cos2變化的線性曲線. 其中,實線為理論曲線,同圖7右圖,圓點為實測數(shù)據(jù),深灰色、黑色、淺灰色分別為線偏振、橢圓偏振、圓偏振光的結(jié)果.理論曲線呈現(xiàn)完美的線性關(guān)系(直線),但實測數(shù)據(jù)并非理想的線性曲線,數(shù)據(jù)的線性回歸相關(guān)系數(shù)r<1. 可以看出,線偏振光(各向異性度最高)的線性程度最高,圓偏振光(各向同性,橢圓偏振度最低)線性程度最低,這說明波片使用中更容易出現(xiàn)問題.

圖14 實驗數(shù)據(jù)的線性和橢圓偏振度示意圖

6 結(jié)論

本文利用大學(xué)物理實驗室的簡單光學(xué)儀器構(gòu)建并探測各種偏振光. 用大學(xué)物理的基本知識,溯源偏振光的理論起源、數(shù)學(xué)表現(xiàn)和實驗指征. 用詳盡的偏振理論注解實驗現(xiàn)象,解釋實驗上的“線偏不線,橢偏不橢”的怪現(xiàn)象. 以實驗數(shù)據(jù)為唯一依據(jù),還原線偏振的線振動和橢圓偏振的橢圓軌跡,以能量守恒為基本準(zhǔn)則,驗證實驗數(shù)據(jù)的可靠性. 以理論推導(dǎo)為橋梁,找到唯象的理論定義和反直覺的實驗現(xiàn)象之間的關(guān)聯(lián),幫助初學(xué)者更好地理解光偏振現(xiàn)象的本質(zhì).