用高斯變分和Jourdain變分導(dǎo)出非完整約束系統(tǒng)的拉格朗日方程

張九鑄

(金昌市 龍門學(xué)校,甘肅 金昌 737104)

目的是藉此導(dǎo)出系統(tǒng)的含有待定乘子的拉格朗日方程[2,3],但都沒有出現(xiàn)關(guān)于這個(gè)關(guān)系式的導(dǎo)出過程,也承認(rèn)是一個(gè)假設(shè)．而筆者認(rèn)為,這個(gè)未經(jīng)證明且?guī)缀我饬x不明確的關(guān)系式其實(shí)沒必要引入,因?yàn)?只要將高斯變分代入動(dòng)力學(xué)普遍方程中,即可用拉格朗日待定乘子法導(dǎo)出一般性的一階非完整約束系統(tǒng)的拉格朗日方程,至于其中非完整約束都是一階線性非完整約束的系統(tǒng),就只是它的一種特殊情形．如果一定要從一階線性非完整約束方程組出發(fā)導(dǎo)出后者,則可用Jourdain變分．這樣得到的結(jié)果,都與文獻(xiàn)[5]從速度空間和加速度空間概念出發(fā)導(dǎo)出的結(jié)果相同．

1 高斯變分和Jourdain變分

設(shè)系統(tǒng)的非完整約束方程組可表示如下:

(1)

將以上二式相減,得

(2)

(3)

(4)

式(2)、(3)、(4)中的δri都是虛位移．

2 用Gauss變分研究一般性一階非完整約束系統(tǒng)

雙面的理想約束系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)普遍方程為

(5)

將式(3)代入式(5)得到理想約束系統(tǒng)高斯原理[7]

(6)

現(xiàn)令系統(tǒng)發(fā)生高斯意義下的虛變更．首先,由式(1)得到系統(tǒng)的2次可能微變更為

(7)

則得到

(8)

(9)

將其代入式(6),得到

可改寫為

由此可得用廣義坐標(biāo)表示的高斯原理[2]:

(10)

于是,由式(8)、(10)和拉格朗日乘子法,可得系統(tǒng)的拉格朗日方程:

再假設(shè)系統(tǒng)的前h個(gè)非完整約束是一階線性的,后k-h個(gè)是一階非線性的,則上式還可改寫為[9]

α=1,2,…,n

(11)

3 研究一階線性非完整約束系統(tǒng)

3.1 利用Jourdain變分求拉格朗日方程

設(shè)雙面的理想約束的系統(tǒng)同時(shí)含有完整約束和一階線性非完整約束,后者可表示為

(12)

當(dāng)式(11)不涉及非線性非完整約束fr=0,r=h+1,…,k時(shí),式(11)就變成現(xiàn)在系統(tǒng)的拉格朗日方程．如果一定要從約束方程式(12)出發(fā)而導(dǎo)出它,則可利用Jourdain變分．

(13)

(14)

這里已經(jīng)考慮:二方程中的Arα(t,q)、Ar(t,q)都對(duì)應(yīng)相等,因?yàn)樗鼈儧Q定于系統(tǒng)的同一組給定的初始可能值(t,q)．接著,將以上二式相減,且記

(15)

這正是Jourdain變分,見式(4),得

(16)

將式(4)代入式(5),得到理想約束系統(tǒng)的Jourdain原理[7]

(17)

(18)

(19)

將式(19)、式(18)分別代入式(17)圓括號(hào)內(nèi)的第1、2項(xiàng),得

由此得到以廣義坐標(biāo)表示的雙面、理想、一階線性非完整約束的系統(tǒng)的Jourdain原理[2]:

于是,由式(16)和上式及拉格朗日乘子法,可得到這種系統(tǒng)的拉格朗日方程為

(20)

3.2 用哈密頓原理求拉格朗日方程

文獻(xiàn)[10]就非完整約束組為式(12)所示的一階線性非完整約束組且所有主動(dòng)力均具勢(shì)的系統(tǒng),用哈密頓原理:

導(dǎo)出了與式(20)等價(jià)的拉格朗日方程．但該文獻(xiàn)是從式(12)直接寫出系統(tǒng)虛位移δq所滿足的方程:

(21)

其實(shí),式(21)與通過求Jourdain變分而得到的的結(jié)果一致．為此,以下同樣從哈密頓原理出發(fā),但用Jourdain變分導(dǎo)出式(20)．

一般形式的理想約束系統(tǒng)的哈密頓原理[11]為

(22)

令系統(tǒng)發(fā)生Jourdain意義下的虛變更．先將式(14)與式(13)相減,且注意出現(xiàn)的Jourdain變分還可寫為

(23)

則立即得到

(24)

用h個(gè)拉格朗日待定乘子λr(r=1,2,…,h)分別乘式(24)中h個(gè)方程,再將它們相加,求積分,有

再將上式與式(22)相加,得到

(25)

假設(shè)dδ滿足可交換性,則上式中的

將其代入式(25),得到

因積分端點(diǎn)固定,故δqα|t1=δqα|t2=0,即上式第1個(gè)積分為0,從而由上式得

進(jìn)一步假設(shè)h個(gè)Lagrange待定乘子λr(r=1,2,…,h)恰好保證上式中所有虛位移δqα的系數(shù)均為零,則由上式可得式(20)．

4 總結(jié)

上述推導(dǎo)過程中并未用到Четаев關(guān)系式這個(gè)“人為強(qiáng)加的”條件[12],同樣可得正確結(jié)果．總之,筆者認(rèn)為沒有必要引入這個(gè)關(guān)系式,而是始終利用了虛變更是2次可能微變更之差這一思想,無論是在引入虛位移時(shí)[見式(2)],還是對(duì)約束方程組作可能微變更時(shí)[見式(7)和式(15)]．