柱坐標(biāo)系下亥姆霍茲方程解的分類及典型應(yīng)用

馬子寅,陳文瓊,梅中磊

(蘭州大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院 光電子與電磁信息研究所,甘肅 蘭州 730000)

亥姆霍茲方程是用于表述電磁波傳播規(guī)律的橢圓偏微分方程,在分析理想各向同性介質(zhì)的邊值問題時(shí),通過對(duì)麥克斯韋方程組進(jìn)行變換,可以得到介質(zhì)中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)以及它們的各個(gè)分量均滿足亥姆霍茲方程[1]．對(duì)亥姆霍茲方程進(jìn)行求解可以定量地計(jì)算出場(chǎng)分布的解析解．對(duì)應(yīng)不同的坐標(biāo)系,亥姆霍茲方程具有不同的顯示形式,根據(jù)待求解問題邊界條件的不同,應(yīng)當(dāng)選擇適合的正交坐標(biāo)系,對(duì)方程進(jìn)行分析求解．柱坐標(biāo)系是常用的正交坐標(biāo)系之一,在柱坐標(biāo)系下對(duì)亥姆霍茲方程求解可計(jì)算出圓波導(dǎo)、圓諧振腔、同軸線等結(jié)構(gòu)的場(chǎng)分布[2]．目前,許多教材中對(duì)圓柱坐標(biāo)系下的分離變量法進(jìn)行了介紹[3,4],但并沒有從根本上分析亥姆霍茲方程通解形式與電磁學(xué)問題之間的深層關(guān)聯(lián)．本文從柱坐標(biāo)系下亥姆霍茲方程分離變量法求解出發(fā),分析了通解的不同形式與電磁波狀態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,并通過數(shù)值計(jì)算和電磁仿真的方式驗(yàn)證了不同形式的通解對(duì)應(yīng)的典型電磁問題．本文的內(nèi)容對(duì)“電磁場(chǎng)與電磁波”“微波技術(shù)”等課程的教學(xué)及科研具有一定的指導(dǎo)意義．

1 亥姆霍茲方程在柱坐標(biāo)系下的分離變量法

1.1 柱坐標(biāo)系下的亥姆霍茲方程的導(dǎo)出

在直角坐標(biāo)系下,亥姆霍茲方程可表示為

(1)

已知直角坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo)系間變量代換關(guān)系:

(2)

對(duì)式(2)分別求x和y的一階偏導(dǎo)可得

(3)

根據(jù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)方程可知

(4)

對(duì)式(4)再次求導(dǎo)可得

(5)

(6)

將式(5)、(6)代入到式(1),得到柱坐標(biāo)系下的亥姆霍茲方程:

(7)

式(7)即為柱坐標(biāo)系的亥姆霍茲方程,k為波數(shù):

(8)

根據(jù)其物理意義可知,在無耗介質(zhì)中,k的值恒大于0．

采用上述推證方式,形式上看似復(fù)雜,但其避免了一般情況下的正交曲線坐標(biāo)系的問題,更加有利于初學(xué)者的理解．

1.2 分離變量法求解

分離變量法的作用是將一個(gè)偏微分方程分解為多個(gè)只含有一個(gè)變量的常微分方程,它是求解亥姆霍茲方程邊值問題的一種常用方法．

根據(jù)上一小節(jié)得到的柱坐標(biāo)系下的亥姆霍茲方程,設(shè)待求解函數(shù)為

u(r,φ,z)=R(r)Φ(φ)Z(z)

(9)

將式(9)代入到式(7)中并化簡(jiǎn)可得

(10)

移項(xiàng)可得下式

(11)

等式左邊為關(guān)于變量r和z的函數(shù),等式右邊為關(guān)于φ的函數(shù)．若要等式成立,則等式兩邊必須等于一個(gè)常數(shù),設(shè)這個(gè)常數(shù)為n2．則可得到

Φ″+n2Φ=0

(12)

由于已知關(guān)于φ的函數(shù)必須滿足周期性邊界條件,即

Φ(φ)=Φ(φ+2π)

(13)

因此,關(guān)于φ的函數(shù)的通解為

Φ(φ)=Acosnφ+Bsinnφ, (n=0,1,2,3,…)

(14)

當(dāng)n=0時(shí),式(14)為常數(shù),對(duì)應(yīng)于電磁問題中的軸對(duì)稱形式．

將式(11)等式左側(cè)部分再次應(yīng)用分離變量法:

(15)

(16)

(17)

圖1 柱坐標(biāo)系下亥姆霍茲方程分離變量的5種取值情況

1.3 解的形式的討論

當(dāng)kz2>0時(shí),方程(16)的通解為三角函數(shù)的線性組合或復(fù)指數(shù)函數(shù)的線性組合:

(18)

一般情況下,數(shù)學(xué)上不同表達(dá)形式對(duì)應(yīng)的解是等價(jià)的．但對(duì)于電磁場(chǎng)問題,則需要分析解的形式是否適用于當(dāng)前問題的求解．上式中三角函數(shù)表示的是z方向的駐波,而復(fù)指數(shù)形式表示的是行波．

Z(z)=C+Dz

(19)

當(dāng)系數(shù)D=0時(shí),函數(shù)與z無關(guān)．對(duì)應(yīng)于電磁問題中的二維場(chǎng)情形．

Z(z)=C′eδz+D′e-δz=Cshδz+Dchδz

(20)

一般情況下,當(dāng)z方向?yàn)橛薪鐣r(shí),選擇雙曲函數(shù)更方便計(jì)算;反之,當(dāng)z方向無界時(shí),一般選擇指數(shù)衰減的函數(shù)形式．

(21)

與z方向函數(shù)類似,當(dāng)徑向傳播的波為行波時(shí),徑向函數(shù)的解應(yīng)為第一類和第二類漢克爾函數(shù)的線性組合,且分別對(duì)應(yīng)了沿徑向發(fā)散的波和匯聚的波;而當(dāng)徑向傳播的波為駐波時(shí),則徑向函數(shù)的解為貝塞爾函數(shù)和諾伊曼函數(shù)的線性組合．值得注意的是,由于諾伊曼函數(shù)在r→0時(shí),函數(shù)值趨近于無窮,因此,若求解區(qū)域包含柱軸,則解不應(yīng)包含諾伊曼函數(shù)．

R(r)=EIn(γr)+FKn(γr)

(22)

(23)

根據(jù)上述討論,并結(jié)合圖1中的5種情況,很容易得到相應(yīng)條件下亥姆霍茲方程的通解形式．下面結(jié)合數(shù)值計(jì)算和電磁仿真的方法,給出這5種不同的通解形式所對(duì)應(yīng)的典型的電磁應(yīng)用情景,便于初學(xué)者學(xué)習(xí)和理解．

2 在電磁學(xué)中的應(yīng)用案例

現(xiàn)結(jié)合圖1中的5種情況以及1.3節(jié)中的解的具體形式,對(duì)各種解所對(duì)應(yīng)的物理場(chǎng)景進(jìn)行介紹．

2.1 當(dāng)且時(shí)的典型應(yīng)用

情況1的典型應(yīng)用就是圓柱型諧振腔．當(dāng)前情況下場(chǎng)沿z向均勻分布,即諧振腔內(nèi)部的場(chǎng)強(qiáng)不隨z的取值而發(fā)生變化．對(duì)于TM模式,有

u(r,φ)=Ez=Jn(kcr)(B1ncosnφ+B2nsinnφ)

(24)

圖2給出了TM010模式的電場(chǎng)分布,可以看出,該電場(chǎng)的分布不隨z變化;由于n=0,場(chǎng)滿足軸對(duì)稱的性質(zhì)．

圖2 TM010模圓諧振腔電場(chǎng)分布

圖3給出了TM110模式的電場(chǎng)分布,電場(chǎng)的分布不隨z變化．但由于n≠0,所以場(chǎng)不滿足軸對(duì)稱的性質(zhì).

圖3 TM110模圓諧振腔電場(chǎng)分布

圖4 TEM模同軸線橫截面電場(chǎng)分布

2.2 當(dāng)且時(shí)的典型應(yīng)用

u(r,φ,z)=Er=(Ern+Fr-n)(B1ncosnφ+B2nsinnφ)e-ikzz

(25)

u(r,φ,z)=Er=(Ern+Fr-n)·

(B1ncosnφ+B2nsinnφ)(C1coskzz+C2sinkzz)

(26)

同軸諧振腔的剖面場(chǎng)分布如圖5所示．

圖5 TEM模同軸線諧振腔縱剖面電場(chǎng)分布

2.3 當(dāng)且時(shí)的典型應(yīng)用

情形3經(jīng)常用于描述邊界表面處的倏逝波,比如光纖中包層內(nèi)的場(chǎng)分布．光纖是由纖芯和包層組成的同心柱狀玻璃體,光纖纖芯折射率高于包層中的折射率,以特定角度傳輸?shù)墓獠ㄔ诠饫w纖芯及包層之間發(fā)生全反射,實(shí)現(xiàn)光波低損耗傳播[5,6]．傳播常數(shù)β=kz是描述光纖傳輸特性的重要參數(shù),光纖中傳輸模式的傳播常數(shù)被限制在一定范圍內(nèi),即

k0n2

(27)

其中,n1為纖芯的折射率,n2為包層的折射率．階躍折射率光纖的縱向分量滿足亥姆霍茲方程,對(duì)應(yīng)的徑向函數(shù)滿足

(28)

根據(jù)傳播常數(shù)β的取值范圍可知,當(dāng)i=2時(shí),即對(duì)包層的縱向分量進(jìn)行求解時(shí),徑向函數(shù)滿足虛宗量貝塞爾方程,徑向函數(shù)的解為虛宗量貝塞爾函數(shù)和虛宗量漢克爾函數(shù)的線性疊加．由于求解的區(qū)域包含r→∞,因此通解不應(yīng)包括虛宗量貝塞爾函數(shù)．包層中的場(chǎng)函數(shù)(縱向電場(chǎng)或者磁場(chǎng))為

(B1ncosnφ+B2nsinnφ)e-ikzz

(29)

n=0時(shí),可繪制光纖橫截面上的場(chǎng)強(qiáng)分布如圖6所示,其中黑色圓圈之外的區(qū)域表示的就是包層．可以看出,遠(yuǎn)離分界面的地方,場(chǎng)強(qiáng)逐漸減小,從而使得光場(chǎng)主要被束縛在纖芯內(nèi)部．

圖6 光纖包層橫截面電場(chǎng)分布

2.4 當(dāng)且時(shí)的典型應(yīng)用

圓波導(dǎo)是指截面為圓形的空心金屬波導(dǎo)管,是微波系統(tǒng)中的基本傳輸線之一．圓波導(dǎo)中沿軸向傳播電磁波,因此關(guān)于z的函數(shù)應(yīng)為行波形式,且只需要考慮沿一個(gè)方向傳播．對(duì)于圓波導(dǎo)問題,顯然求解區(qū)域包含柱軸,因此解不包含諾伊曼函數(shù)．根據(jù)上述分析和線性疊加原理可以列出圓波導(dǎo)中TE模式的場(chǎng)函數(shù):

u(r,φ,z)=Hz=Jn(kcr)(B1ncosnφ+B2nsinnφ)e-ikzz

(30)

利用式(30)繪制TE21模場(chǎng)強(qiáng)分布如圖7(a)所示.

如果將圓形波導(dǎo)的兩端用金屬封閉起來,就可以得到圓柱形諧振腔,一般情況下,其在軸向形成駐波,因而有

u(r,φ,z)=Hz=Jn(kcr)(B1ncosnφ+B2nsinnφ)·

(C1coskzz+C2sinkzz)

(31)

2.5 當(dāng)且時(shí)的典型應(yīng)用

情況5描述的也是分界面上的倏逝波,當(dāng)分界面處的表面阻抗為感抗或者容抗形式時(shí),可以分別支持TM或者TE形式的表面波[7]．近年來,對(duì)于二維電磁超表面的研究如火如荼,利用其中的阻抗超表面,就可以激勵(lì)和支持這種類型的表面波,且在全息天線的設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用[8,9]．這類倏逝波可分為倏逝駐波和倏逝行波,兩者之間的區(qū)別在于徑向波的形式為駐波還是行波．比如,TM模式的電場(chǎng)函數(shù)可分別表示為

u(r,φ,z)=Ez=Jn(kcr)(B1ncosnφ+B2nsinnφ)e-δz

(32)

(33)

在一個(gè)底部覆蓋介質(zhì)的圓柱諧振腔中,可以激勵(lì)和支持這種形式的倏逝駐波．其電場(chǎng)分布如圖8所示．其中,圖8(e)給出了縱截面上的磁場(chǎng)分布矢量圖,從中可以看出,遠(yuǎn)離介質(zhì)和空氣表面的地方,場(chǎng)逐漸衰減,因此是一種非常典型的表面波．

3 結(jié)語