例談高考復(fù)習(xí)中創(chuàng)造性數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

陳桂明 劉新春

摘 要： 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中指出：數(shù)學(xué)教育要促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維能力是高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中應(yīng)該具備的能力，也是高考數(shù)學(xué)考查的重要能力之一.本文將借助不同的案例探討在高考復(fù)習(xí)中如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提高創(chuàng)造性思維能力.

關(guān)鍵詞： 高考數(shù)學(xué)；創(chuàng)造性思維；思維品質(zhì)

創(chuàng)造性思維是一種綜合能力，是一種新的、與眾不同的思維，可以分為三個(gè)維度：發(fā)散思維、聚合思維和橫向思維.創(chuàng)造性思維既是思維的結(jié)果，也指向思維的過(guò)程.在近五年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷中，考查創(chuàng)造性思維的題目共有191題，約占22.7 % ，這些試題區(qū)分度顯著，得分率較低，考生普遍感覺(jué)解答這些試題非常困難.其實(shí)在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)特別是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，我們往往將主要精力集中在解題訓(xùn)練中，對(duì)如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維心中無(wú)數(shù)，只是將解題訓(xùn)練定位在題型識(shí)別、技能技巧上，而忽視了解題訓(xùn)練教學(xué)恰恰是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的重要載體，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的起點(diǎn)是產(chǎn)生創(chuàng)造性思維的意識(shí)，關(guān)鍵是形成創(chuàng)造性思維的方法，終極目標(biāo)是提高創(chuàng)造性思維能力.

1 發(fā)散思維

以色列研究者哈代爾構(gòu)建的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維框架——“三維度九類(lèi)型”框架表明，數(shù)學(xué)發(fā)散思維必須打破固化的思維模式，多角度分析問(wèn)題，提供多種非常規(guī)的分析思路和解決辦法，得到不同的解題策略.由問(wèn)題中已有條件和結(jié)構(gòu)以及所學(xué)知識(shí)聯(lián)想到相關(guān)的多種問(wèn)題情境和方法思想.發(fā)散思維主要有四種類(lèi)型：（1） 提供替代解決方法；（2） 有多個(gè)答案；（3） 使用不止一種途徑來(lái)解決；（4） 在數(shù)學(xué)之外發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí).相應(yīng)的在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，我們要為學(xué)生提供具有多種答案的多選題、具有多角度思考價(jià)值的問(wèn)題、能夠用多種方法分析解決的問(wèn)題、隱藏?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維碰撞，產(chǎn)生與眾不同的見(jiàn)解，并能在解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，讓數(shù)學(xué)思維向不同方向發(fā)散，提升思維品質(zhì).

問(wèn)題1 ?：設(shè)橢圓E： x2 a2 + y2 b2 =1（a＞b＞0），圓C：（x-2m）2+（y-4m）2=1（m≠0），點(diǎn)F 1，F(xiàn) 2分別為E的左、右焦點(diǎn)，線段OC的垂直平分線為l.已知E的離心率為 1 2 ，點(diǎn)F 1，F(xiàn) 2關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在圓C上，求橢圓E的方程.

分析：

思路1： ?（直譯條件）直接按照題目條件，設(shè)F 1（-c，0），F(xiàn) 2（c，0）， 求出線段OC的垂直平分線方程x+2y-5m=0，再求出點(diǎn)F 1，F(xiàn) 2關(guān)于直線l 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，代入圓的方程，但求出c的值運(yùn)算量太大.

思路2： ?觀察圖形發(fā)現(xiàn)，由于O為F 1，F(xiàn) 2的中點(diǎn)，C也是M，N的中點(diǎn)，從而M，N為圓C的直徑，可直接得到|MN|=2，求出c的值.

思路3： ?由于線段F 1F 2與MN關(guān)于直線x+2y-5m=0對(duì)稱(chēng)，故|F 1F 2|=|MN|=2，即得c=1，由離心率為 1 2 得a=2，從而求得橢圓E的方程為 x2 4 + y2 3 =1.

為什么思路3能夠快速求出橢圓方程？就是因?yàn)樗悸?找到了“題眼”——解決問(wèn)題的突破口與關(guān)鍵.機(jī)械運(yùn)用解析法把全部條件直接轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，忽視題目條件的幾何特征，缺少整體思維意識(shí)，會(huì)造成數(shù)形分離，不利于發(fā)現(xiàn)“題眼”，而仔細(xì)觀察圖形，發(fā)現(xiàn)線段MN的兩個(gè)特征：一是MN是圓C的直徑，二是|MN|=|F 1F 2|，從而豁然開(kāi)朗，得到題眼|F 1F 2|=2，輕松求出橢圓的方程.

2 聚合思維

數(shù)學(xué)聚合思維要求能從具體個(gè)別的事物中找到數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)原理；將多種類(lèi)型的知識(shí)融合起來(lái)，綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法，能從復(fù)雜的情境中快速提取數(shù)學(xué)信息進(jìn)行分析處理解決實(shí)際問(wèn)題，主要表現(xiàn)為三種類(lèi)型：（1） 識(shí)別和應(yīng)用數(shù)學(xué)原理；（2） 將多個(gè)數(shù)學(xué)概念及其概念中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法相關(guān)聯(lián)（融合）；（3） 用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題.在高三復(fù)習(xí)中，我們要重視引導(dǎo)學(xué)生從一個(gè)個(gè)孤立的數(shù)學(xué)試題中尋找數(shù)學(xué)本質(zhì)規(guī)律，從個(gè)別結(jié)論中歸納猜想一般原理.將問(wèn)題中眾多條件各自蘊(yùn)含的知識(shí)用思想方法有機(jī)串聯(lián)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系，打通條件與結(jié)論的關(guān)節(jié)，獲得解題方法.

問(wèn)題2： ?過(guò)點(diǎn)Q（1，0）作直線l（不與x軸垂直）交橢圓C： x2 9 +y2=1于M，N兩點(diǎn)，交y軸于R點(diǎn)，若RM =λMQ ，RN =μN(yùn)Q ，試判斷λ+μ是否為定值，并說(shuō)明理由.

解析： ?若直線l與x軸重合，則M（-3，0），N（3，0），R（0，0），

由題意可知，λ=- 3 4 ，μ=- 3 2 ，所以λ+μ=- 9 4 .

若直線l與x軸不重合，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）.設(shè)M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），R（0，y 3），由 y=k（x-1），

x2+9y2=9， 消去y，得（1+9k2）x2-18k2x+9k2-9=0，則Δ＞0，x 1+x 2= 18k2 1+9k2 ，x 1x 2= 9k2-9 1+9k2 ，

由RM =λMQ ，RN =μN(yùn)Q 可得λ= x 1 1-x 1 ，μ= x 2 1-x 2 ，

所以λ+μ= x 1 1-x 1 + x 2 1-x 2 = x 1+x 2-2x 1x 2 1-（x 1+x 2）+x 1x 2 = 18k2-2（9k2-9） 1+9k2-18k2+9k2-9 =- 9 4 .

回顧以上解題過(guò)程，其實(shí)不必考慮直線l與x軸重合的情況，且由題意可知，直線l的斜率一定存在，但考慮到直線l與x軸重合的特殊情形，即有利于特殊引路，發(fā)現(xiàn)解題思路，也有利于解決問(wèn)題后驗(yàn)證結(jié)果是否正確，且符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，即從特殊到一般的規(guī)律.但我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中往往缺乏問(wèn)題意識(shí)，或忽視了基本認(rèn)知規(guī)律，或淺嘗輒止，只把一些基本規(guī)律用于解題，而忽視了把基本規(guī)律應(yīng)用于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，即在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考問(wèn)題的過(guò)程中，有意識(shí)地教會(huì)學(xué)生善于運(yùn)用基本規(guī)律思考問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.

學(xué)生首先考慮到的是直線l在特殊位置的情形，教師也應(yīng)該想到從特殊橢圓到一般的情形，即對(duì)于一般橢圓，以上的結(jié)論是否成立呢？

問(wèn)題3： ?設(shè)橢圓C： x2 a2 + y2 b2 =1（a＞b＞0），直線l過(guò)點(diǎn)Q（t，0）（t≠0）與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)R，若RM =λMQ ，RN =μN(yùn)Q ，試判斷λ+μ是否為定值，并說(shuō)明理由.

分析： ?以上問(wèn)題既將特殊橢圓變?yōu)橐话銠E圓，又將原來(lái)的“Q（1，0）”變?yōu)椤癚（t，0）”，這樣思考的理由是假設(shè)一般橢圓不一定具有以上性質(zhì)，或隨著橢圓C的變化，可能引起Q點(diǎn)變化，采用原來(lái)的方法得到以下過(guò)程.

解析： ?設(shè)直線l的方程為y=k（x-t）.設(shè)M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），R（0，y 3），由 y=k（x-t），

b2x2+a2y2=a2b2， 消去y得（b2+a2k2）x2-2a2k2tx+a2k2t2-a2b2=0，

則Δ＞0，x 1+x 2= 2a2k2t b2+a2k2 ，x 1x 2= a2k2t2-a2b2 b2+a2k2 ，

因?yàn)镽M =λMQ ，RN =μN(yùn)Q 可得λ= x 1 t-x 1 ，μ= x 2 t-x 2 ，

所以λ+μ= x 1 t-x 1 + x 2 t-x 2 = t（x 1+x 2）-2x 1x 2 t-（x 1+x 2）t+x 1x 2 = ?2a2k2t2 b2+a2k2 - 2a2k2t2-2a2b2 b2+a2k2 ?t- 2a2k2t b2+a2k2 + a2k2t2-a2b2 b2+a2k2 ?= 2a2b2 2a2k2（t2-t）+（t2-a2）b2 .

若λ+μ為定值，則與斜率k的取值無(wú)關(guān)，從而t2-t=0，則t=1（t=0舍去），此時(shí)定值為 2a2 1-a2 .

以上探究既讓我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)具有一般性的結(jié)論，即一般性質(zhì).又在探究過(guò)程中，潛移默化地提升了運(yùn)算能力，學(xué)生從探究問(wèn)題的過(guò)程中增強(qiáng)了問(wèn)題意識(shí)，感受探究過(guò)程與方法，增添了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原來(lái)不是單純地做做題目，而是可以從題目背后發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的奧秘.

歸納和類(lèi)比是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的兩個(gè)重要的方法，具有類(lèi)比的眼光不難想到作為橢圓的孿生兄弟——雙曲線、拋物線是否具有類(lèi)似性質(zhì)，即：

問(wèn)題4： ?設(shè)雙曲線C： x2 a2 - y2 b2 =1（a＞0，b＞0），直線l過(guò)點(diǎn)Q（t，0）（t≠0）與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，交y軸于R點(diǎn)，若RM =λMQ ，RN =μN(yùn)Q ，試判斷λ+μ是否為定值，并說(shuō)明理由.

解析： ?設(shè)直線l的方程為y=k（x-t）.設(shè)M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），

由 y=k（x-t），

b2x2-a2y2=a2b2， 消去y，得（b2-a2k2）x2+2a2k2tx-a2k2t2-a2b2=0，

則Δ＞0，x 1+x 2=- 2a2k2t b2-a2k2 ，x 1x 2=- a2k2t2+a2b2 b2-a2k2 ，

由RM =λMQ ，RN =μN(yùn)Q 可得λ= x 1 t-x 1 ，μ= x 2 t-x 2 ，

所以λ+μ= x 1 t-x 1 + x 2 t-x 2 = t（x 1+x 2）-2x 1x 2 t-（x 1+x 2）t+x 1x 2 = - 2a2k2t2 b2-a2k2 + 2a2k2t2+2a2b2 b2-a2k2 ?t+ a2k2t b2-a2k2 - a2k2t2+a2b2 b2-a2k2 ?= 2a2b2 a2k2（t2-t）+（t2-a2）b2 .

若λ+μ為定值，則與斜率k的取值無(wú)關(guān)，從而t2-t=0，則t=1（t=0舍），此時(shí)定值為 2a2 1-a2 .

問(wèn)題5： ?設(shè)拋物線C：y2=2px（p＞0），直線l過(guò)點(diǎn)Q（t，0）（t≠0）與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)R，若RM =λMQ ，RN =μN(yùn)Q ，試判斷λ+μ是否為定值，并說(shuō)明理由.

解析： ?設(shè)直線l的方程為y=k（x-t）.設(shè)M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），

由 y=k（x-t），

y2=2px， 消去y，得k2x2-（2k2t+2p）x+k2t2=0，

則x 1+x 2= 2k2t+2p k2 ，x 1x 2=t2，

由RM =λMQ ，RN =μN(yùn)Q 可得λ= x 1 t-x 1 ，μ= x 2 t-x 2 ，

所以λ+μ= x 1 t-x 1 + x 2 t-x 2 = t（x 1+x 2）-2x 1x 2 t-（x 1+x 2）t+x 1x 2 = ?2k2t2+2pt k2 -2t2 t- 2k2t2+2pt k2 +t2 = 2p k2（1-t）-2p .

若λ+μ為定值，則t=1，此時(shí)定值為-1.

3 橫向思維

橫向思維要求學(xué)生打破思維的局限性，思考和提出新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，創(chuàng)造新的方法來(lái)解決問(wèn)題，得到新的結(jié)論，主要類(lèi)型為：（1） 提出數(shù)學(xué)問(wèn)題；（2） 探索數(shù)學(xué)方法.在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生善于聯(lián)想、質(zhì)疑、批判，掌握發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的基本方法，鼓勵(lì)學(xué)生用兩種以上的不同方法解決同一個(gè)問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)條件不充分、不完善、結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定、目標(biāo)不明確、方法不明晰的“半成品題”，讓學(xué)生補(bǔ)充條件，設(shè)計(jì)結(jié)論、尋找方法、一題多解、反思感悟、逐步提升橫向思維能力.

問(wèn)題6： ??過(guò)雙曲線 x2 a2 - y2 b2 =1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F 作雙曲線漸近線的垂線FM，垂足為M，線段FM與雙曲線交于點(diǎn)A，且滿足FA =2AM ，則雙曲線的離心率為（ ?）

A. ??2

B. ??3

C. ??5

D. ???3 +1 2

解法1： ?如圖，在 Rt △OMF中，OF=c，MF=b，

故OM=a，過(guò)點(diǎn)M，A分別作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)N，B，

結(jié)合三角形的等面積法可得MN= ab c .

又由于FA =2AH ，可得AB= 2 3 MN= 2ab 3c ，

且BF=AF sin ?∠BAF= 2 3 b· b c = 2b2 3c ，

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 c- 2b2 3c ， 2ab 3c ?，

代入雙曲線方程有 ?c- 2b2 3c ?2 a2 - ??2ab 3c ?2 b2 =1，

化簡(jiǎn)，得 ?e 3 + 2 3e ?2- ?2 3e ?2=1，解得e= 5 .

思考： ?解法1是把問(wèn)題的每一個(gè)條件一一等價(jià)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系式，思路清晰，容易想到，但運(yùn)算量大.由FA =2AH 聯(lián)想如何表示雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，想到雙曲線的定義，困難在于雙曲線的右準(zhǔn)線在哪里.由平面幾何中的射影定理容易發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)線正好經(jīng)過(guò)M點(diǎn)，這樣就獲得了幾個(gè)直角三角形，而由相似三角形的性質(zhì)，容易獲得線段之間的比例關(guān)系，因而易求得雙曲線的離心率.

解法2： ?如圖，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)A作AH垂直于直線MN，垂足為H，

易知MN即為雙曲線的右準(zhǔn)線.

由雙曲線的定義知 AF AH =e，則AH= AF e = 2AM e .

又在 Rt △FMN中， AH AM = FM OF ，即 2 e = b c ，

兩邊平方，得 4 e2 = b2 c2 = c2-a2 c2 =1- 1 e2 ，得e= 5 .

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中 華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 顏思璇，唐恒鈞.高考數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維考查研究——基于2018—2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（11）：31 35.