高中數(shù)學(xué)中變式訓(xùn)練教學(xué)的實(shí)效性探析

艾焰

摘 要： 高中數(shù)學(xué)相比初中階段所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)有更強(qiáng)的理論性和邏輯性，難度也增加了很多.為取得更好的教學(xué)效果，教師經(jīng)常會(huì)使用變式訓(xùn)練這一教學(xué)方式來(lái)促使學(xué)生增強(qiáng)對(duì)知識(shí)和方法的理解，讓學(xué)生在解題過(guò)程中能迅速理清解題思路，得到正確有效的解題方法.

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué)教學(xué)；變式訓(xùn)練；實(shí)效性

1 變式訓(xùn)練的必要性

變式訓(xùn)練教學(xué)是指學(xué)生在掌握了基本知識(shí)和基本解題方法之后，在原有的問(wèn)題上進(jìn)行適當(dāng)?shù)母淖儯@種改變可以是對(duì)原問(wèn)題中的部分條件加以調(diào)整，也可以對(duì)原問(wèn)題的結(jié)論進(jìn)行調(diào)整，變成一個(gè)新的問(wèn)題.新問(wèn)題與原問(wèn)題在所用知識(shí)和解決方法上有一定的關(guān)聯(lián)和相似度，但又不完全一樣，這就對(duì)學(xué)生帶來(lái)一定的挑戰(zhàn)，好的變式訓(xùn)練能高效地培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解能力以及對(duì)問(wèn)題的解決能力，能促使學(xué)生拓展思維，增加思考的廣度和深度，極大地增強(qiáng)課堂的教學(xué)效果.

2 變式訓(xùn)練的幾點(diǎn)基本原則

2.1 明確變式訓(xùn)練的目標(biāo)

我們的課堂始終是圍繞明確的教學(xué)目標(biāo)開(kāi)展的有效活動(dòng)，所設(shè)計(jì)的變式訓(xùn)練也是為了更好地完成教學(xué)目標(biāo)而進(jìn)行的.數(shù)學(xué)課堂中的每一個(gè)例題都有明確清晰的目標(biāo)導(dǎo)向，例題對(duì)應(yīng)的變式訓(xùn)練的功能則是更加全面深入地完成這一目標(biāo).

2.2 提高學(xué)生參與變式的主動(dòng)性

變式訓(xùn)練的作用是幫助學(xué)生更全面深刻地理解某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或某種解題方法，遇到新問(wèn)題時(shí)也能輕松自如的應(yīng)對(duì).高中生面對(duì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題有很強(qiáng)的邏輯性和系統(tǒng)性，思維難度也較大，所以在進(jìn)行例題的變式時(shí)，應(yīng)積極地啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生在掌握例題的數(shù)學(xué)本質(zhì)的基礎(chǔ)上，去提出、分析并解決新問(wèn)題.在這一過(guò)程中，學(xué)生會(huì)對(duì)這一問(wèn)題所涉及的知識(shí)點(diǎn)和方法有一個(gè)全面深入的思考，并做一些預(yù)判，如何改會(huì)降低問(wèn)題的難度，如何改會(huì)加大難度，或者改動(dòng)某個(gè)條件和某數(shù)據(jù)就會(huì)變成不一樣的問(wèn)題等等.這種研判的過(guò)程正是學(xué)生主動(dòng)思考自主創(chuàng)新的過(guò)程，當(dāng)學(xué)生思考成熟后提出的變式就成了學(xué)生原創(chuàng)的數(shù)學(xué)題，這會(huì)極大提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和滿足感，刺激學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的強(qiáng)烈的愿望.所以教師一定要引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地參與到變式訓(xùn)練的研究中來(lái).

2.3 增加變式訓(xùn)練的思維廣度與深度

在教學(xué)過(guò)程中，基于每堂課的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)不同，我們對(duì)變式訓(xùn)練的要求也不同.我們有的課以概念定理為主，有的課以專題復(fù)習(xí)為主，也有的課以練習(xí)講解為主，不同的課有不同的教學(xué)任務(wù)，這就對(duì)變式訓(xùn)練提出不同的要求.比如以概念為主的新授課，做變式時(shí)應(yīng)為概念的辨析服務(wù)；而我們?cè)谝岳}講解、定理應(yīng)用為主的課堂中，所設(shè)計(jì)的變式就要求在數(shù)學(xué)思維方面有所拓展，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度多個(gè)層次去改編原有的問(wèn)題，增加課堂的邏輯思維量.這對(duì)于提高課堂的思維容量、鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力有極大的幫助.

3 變式訓(xùn)練的運(yùn)用策略

3.1 深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解

高中數(shù)學(xué)中，學(xué)生需要掌握許多抽象的數(shù)學(xué)概念，這些基本概念是高中數(shù)學(xué)的根基，它們揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)與內(nèi)涵.許多同學(xué)在初學(xué)時(shí)無(wú)法理解或者只是一知半解.這時(shí)我們需要借助變式訓(xùn)練，將抽象的數(shù)學(xué)概念借助某個(gè)對(duì)象來(lái)形象化、具體化，體現(xiàn)出概念的外延，使學(xué)生更容易接受.比如高一階段學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)時(shí)，有一個(gè)重要概念是函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)性的概念是：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，且ID.如果對(duì)于任意的x 1，x 2∈I，當(dāng)x 1＜x 2時(shí)，都有f（x 1）＜f（x 2），則稱y=f（x）在I上單調(diào)遞增.對(duì)于這個(gè)概念的掌握分為兩個(gè)方面，一是對(duì)于任意兩個(gè)字的理解，如果一味地和學(xué)生強(qiáng)調(diào)x 1，x 2是區(qū)間I上的任意兩個(gè)量，學(xué)生依然覺(jué)得很抽象不易理解，這時(shí)如果給學(xué)生一個(gè)變式：如果1，2是區(qū)間I中的兩個(gè)量，且f（1）＜f（2），能否判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增？學(xué)生經(jīng)過(guò)思考，立刻會(huì)得出否定的答案，因?yàn)楹苋菀着e出滿足條件但是在區(qū)間I上卻不是單調(diào)遞增的函數(shù).所以通過(guò)這一簡(jiǎn)單的變式，能幫助學(xué)生更好地理解任意這兩個(gè)字的內(nèi)涵.二是對(duì)“當(dāng)x 1＜x 2時(shí)，都有f（x 1）＜f（x 2）”這句話的理解，學(xué)生用自己的語(yǔ)言描述就是自變量小對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也小.這句話言簡(jiǎn)意賅，通俗易懂，但是我們需要將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式.這時(shí)再引導(dǎo)學(xué)生給出另一個(gè)變式：如果對(duì)于任意的x 1，x 2∈I，均滿足（x 1-x 2）［f（x 1）-f（x 2）］＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間I上具有單調(diào)性嗎？學(xué)生通過(guò)該變式會(huì)發(fā)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)遞增的本質(zhì)是（x 1-x 2）與［f（x 1）-f（x 2）］同號(hào)，許多學(xué)生會(huì)得出另一個(gè)變式：如果對(duì)于任意的x 1，x 2∈I，均滿足 f（x 1）-f（x 2） x 1-x 2 ＞0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增.這樣的變式訓(xùn)練能很好地幫助學(xué)生深刻地理解那些抽象的數(shù)學(xué)概念.

3.2 完善學(xué)生的知識(shí)體系

高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，對(duì)例題的變式訓(xùn)練的研究會(huì)極大地提高課堂教學(xué)效果，提升學(xué)生解決一系列問(wèn)題的能力.

比如這樣的一個(gè)問(wèn)題：已知x，y滿足x2+y2=1，求x+2y的取值范圍.這個(gè)問(wèn)題常見(jiàn)的解決方法是三角換元，令x= cos ?α，y= sin ?α，α∈ R ，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域.另一種解法是令S=x+2y，則y=- 1 2 x+ 1 2 S，學(xué)生很容易能得到當(dāng)直線與圓相切時(shí)S分別取到最大和最小值.這個(gè)問(wèn)題在做變式訓(xùn)練的時(shí)候可以引導(dǎo)學(xué)生將條件做適當(dāng)?shù)淖兓?，x2+y2=1表示的是單位圓的方程，學(xué)生自然能想到改變圓心坐標(biāo)或改變半徑得到不同的圓方程，也能想到將圓方程改為橢圓方程；再引導(dǎo)學(xué)生從另一個(gè)角度做變式訓(xùn)練改變目標(biāo)函數(shù)時(shí)，學(xué)生想到x+2y是二元一次函數(shù)，它與直線的縱截距有關(guān)系，而我們學(xué)過(guò)的能直接表示幾何量的數(shù)學(xué)表達(dá)式還有一次比一次的分式函數(shù)（它表示斜率），還有x，y一次式的平方和（它表示距離的平方）.沿著這個(gè)思路，學(xué)生很自然地想到這樣的變式訓(xùn)練.

變式1： ?已知x，y滿足x2+2y2=1，求x+2y的取值范圍.

變式2： ?已知x，y滿足x2+y2=1，求 y-2 x-3 的取值范圍.

變式3： ?已知x，y滿足x2+y2=1，求（x+1）2+（y+2）2的取值范圍.

由一個(gè)例題引出這樣的三個(gè)變式訓(xùn)練，學(xué)生對(duì)于已知二元的約束條件求二元的目標(biāo)函數(shù)的取值范圍問(wèn)題這樣的一類(lèi)型題就有了較為深刻的理解和掌握，真正做到舉一反三，使自己的數(shù)學(xué)知識(shí)以及解題方法系統(tǒng)化，取得很好的學(xué)習(xí)效果.

3.3 強(qiáng)化學(xué)生的探索性思維

高中數(shù)學(xué)中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到一些探索性的問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn).如果這類(lèi)問(wèn)題能得到有效的解決，將會(huì)極大提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.而適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練就是解決這類(lèi)問(wèn)題的行之有效的方法之一.比如我們?cè)诟呷Ⅲw幾何的復(fù)習(xí)課中，遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：

在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AE =λ AB ，λ∈［0，1］，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，是否存在λ，使得直線BD 1⊥平面B 1EF.

這是一個(gè)探索性的問(wèn)題，若存在滿足條件的λ，使得直線BD 1⊥平面B 1EF，則直線BD 1一定垂直于直線B 1F，所以直線BD 1在平面BCC 1B 1的射影BC 1與直線B 1F垂直，而在正方形BCC 1B 1中這樣的垂直關(guān)系不成立，所以不存在滿足條件的λ.在題目的分析過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)直線BD 1在平面BCC 1B 1的射影BC 1與B 1C滿足垂直關(guān)系，所以可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這一題做一個(gè)變式訓(xùn)練，將結(jié)論中的直線BD 1⊥平面B 1EF改為直線BD 1⊥平面B 1EC，則存在λ=0滿足題意.

對(duì)于探索性問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練，在改變條件或結(jié)論的過(guò)程中能逐漸揭示問(wèn)題的本質(zhì)，能有效地降低這類(lèi)問(wèn)題的難度，能有效增加學(xué)生解決這類(lèi)問(wèn)題的能力和信心.

4 結(jié)束語(yǔ)

變式訓(xùn)練的教學(xué)在高中數(shù)學(xué)中是教師們的一大法寶，通過(guò)變式訓(xùn)練，使學(xué)生能更深刻地理解數(shù)學(xué)中的概念、定理，更靈活地運(yùn)用各種解題方法，拓展解題思路.變式訓(xùn)練也能幫助學(xué)生提高知識(shí)遷移應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維能力，更加全面地提升數(shù)學(xué)的學(xué)科素養(yǎng)，是教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中不可或缺的重要方式.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 史寧中，王尚志主編.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）解讀［M］.北京：高等教育出版社，2020.

［2］ 劉軍，何志奇主編.高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)案例解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2020.