代數(shù)思維運算，幾何思維直觀

劉娟娟

摘 要： 解三角形問題融合了初中平面幾何與高中三角函數(shù)等知識，是數(shù)學(xué)知識交匯的一個重要橋梁，成為高考數(shù)學(xué)試卷中的一個重要主干知識點.結(jié)合一道高考真題進行實例分析，從不同思維視角切入，總結(jié)解題規(guī)律，啟示教學(xué)學(xué)習(xí)，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞： 解三角形；三角函數(shù)；平面幾何；面積

解三角形模塊知識是高考解答題中的一個重要主干知識，該問題的解決離不開平面幾何、三角函數(shù)、平面向量等相關(guān)知識，有時還交匯融合了函數(shù)與方程、不等式、平面解析幾何等其他知識，是落實數(shù)學(xué)新課標(biāo)中“在知識交匯點處命題”的指導(dǎo)思想，成為高考命題中的一個基本考點，倍受各方關(guān)注.

1 真題呈現(xiàn)

【高考真題】 ??（2023年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷·17） 已知在△ABC中，A+B=3C，2 sin ?（A-C）= sin ?B.

（1） 求 sin ?A；

（2） 設(shè)AB=5，求AB邊上的高.

2 真題剖析

本題通過兩個小題的合理設(shè)置，以題設(shè)中的三角形三內(nèi)角的線性關(guān)系式，以及三內(nèi)角的三角函數(shù)關(guān)系式為問題背景，通過三角恒等變換公式的應(yīng)用與轉(zhuǎn)化來求解相應(yīng)角的三角函數(shù)值；并在此基礎(chǔ)上，借助三角形中一邊的長度條件，結(jié)合平面幾何圖形的性質(zhì)來確定該邊上的高.

該問題相對比較基礎(chǔ)，作為解答題的第一題，難度中等.問題的合理設(shè)置，很好地考查了考生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在具體解題時，要善于審題，巧用“定理”（三角形的內(nèi)角和定理、正弦定理等），妙借“公式”（誘導(dǎo)公式、三角恒等變換公式、三角形的面積公式等），采用有效的策略，合理化歸，巧妙轉(zhuǎn)化，優(yōu)化解題過程，提升解題效益.

3 真題破解

解析： ?（1） ??方法1 ?（三角恒等變換法1）

由于A+B=3C，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理A+B+C= π ，可得C= ?π ?4 ，

由2 sin ?（A-C）= sin ?B，可得2 sin ??A- ?π ?4 ?= sin ???3 π ?4 -A ，

展開有2 sin ?A cos ???π ?4 -2 cos ?A sin ???π ?4 = sin ??3 π ?4 ?cos ?A- cos ??3 π ?4 ?sin ?A，整理可得 sin ?A=3 cos ?A.

又 sin 2 A+ cos 2 A=1，可得 cos ?A= ?10 ?10 ， sin ?A= 3 10 ?10 .

方法2 ?（三角恒等變換法2）

由于A+B=3C，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理A+B+C= π ，可得C= ?π ?4 ，

由2 sin ?（A-C）= sin ?B，可得2 sin ?（A-C）= sin ?（A+C），

展開有2 sin ?A cos ?C-2 cos ?A sin ?C= sin ?A cos ?C+ cos ?A sin ?C，整理有 sin ?A cos ?C=3 cos ?A sin ?C，

可得 tan ?A=3 tan ?C=3 tan ???π ?4 =3，則有 sin ?A=3 cos ?A.

又 sin 2 A+ cos 2 A=1，可得 cos ?A= ?10 ?10 ， sin ?A= 3 10 ?10 .

解后反思： ?解三角形中涉及內(nèi)角的三角函數(shù)值的求解，往往離不開三角恒等變換公式的應(yīng)用.而不同視角的三角形內(nèi)角關(guān)系的變換，也為不同視角的三角恒等變換公式的應(yīng)用提供基礎(chǔ)，有效開拓邏輯推理的思維視角，殊途同歸.

（2） ??方法1 ?（三角形面積法）

由（1）得C= ?π ?4 ， cos ?A= ?10 ?10 ， sin ?A= 3 10 ?10 ，

所以 sin ?B= sin ?（A+C）= sin ?A cos ?C+ cos ?A sin ?C= 2 5 ?5 ?，

利用正弦定理，可得 AB ?sin ?C = AC ?sin ?B = BC ?sin ?A ，則有 5 ??2 ?2 ?= AC ?2 5 ?5 ?= BC ?3 10 ?10 ?，解得AC=2 10 ，BC=3 5 ，

而△ABC的面積S △ABC= 1 2 AC·BC sin ?C= 1 2 ×2 10 ×3 5 × ?2 ?2 =15，

設(shè)AB邊上的高為h，則有S △ABC= 1 2 AB·h= 1 2 ×5h=15，解得h=6，所以AB邊上的高為6.

方法2 ?（正弦定理法）

由（1）得C= ?π ?4 ， cos ?A= ?10 ?10 ， sin ?A= 3 10 ?10 ，

所以 sin ?B= sin ?（A+C）= sin ?A cos ?C+ cos ?A sin ?C= ?2 5 ?5 ，

利用正弦定理，可得 AB ?sin ?C = AC ?sin ?B = BC ?sin ?A ，則有 5 ??2 ?2 ?= AC ?2 5 ?5 ?= BC ?3 10 ?10 ?，解得AC=2 10 ，BC=3 5 ，

設(shè)AB邊上的高為h，則有h=AC sin ?A=2 10 × 3 10 ?10 =6，所以AB邊上的高為6.

方法3 ?（平面幾何法1）

由（1）得C= ?π ?4 ， tan ?A=3 tan ?C，

在△ABC中，過點B作BE⊥AC，垂足為E，過點E作EF⊥AB，垂足為F，過點C作CH⊥AB，垂足為H，

如圖1所示，設(shè)AE=x，則BE=CE=3x，在 Rt △ABE中，AB= 10 x=5，解得x= ?10 ?2 ，

利用等面積法可得EF= x×3x ?10 x = 3 2 ，

結(jié)合比例性質(zhì)可得 EF CH = AE AC = 1 4 ，所以CH=4EF=6，所以AB邊上的高為6.

方法4 ?（平面幾何法2）

由（1）得C= ?π ?4 ， tan ?A=3 tan ?C， cos ?A= ?10 ?10 ，

在△ABC中，過點B作BE⊥AC，垂足為E，過點C作CH⊥AB，垂足為H，

由于AB=5，則有AE=AB cos ?A= ?10 ?2 ，

則有BE=CE=3AE= 3 10 ?2 ，可得AC=AE+CE=2 10 ，

利用等面積法可得CH= AC×BE AB = 2 10 × 3 10 ?2 ?5 =6，所以AB邊上的高為6.

解后反思： ?求解三角形中對應(yīng)邊的長度問題，往往是借助對應(yīng)邊所在的三角形的結(jié)構(gòu)特征，從解三角形思維、平面幾何思維等角度突破.而涉及三角形中的高的長度問題，經(jīng)常用三角形的面積、三角函數(shù)的定義等來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，這些都是突破問題的關(guān)鍵所在，也是解決問題的切入點.

4 變式拓展

在“一題多解”的基礎(chǔ)上開拓并發(fā)散思維，舉一反三，靈活變通，巧妙進行“一題多變”，達到“一題多得”的目的.

變式 ??已知在△ABC中，C為鈍角， sin ?（A+B）= 3 5 ， sin ?（A-B）= 1 5 .

（1） 求證： tan ?A=2 tan ?B；

（2） 設(shè)AB=6，求AB邊上的高.

解析： ??（1） 由于 sin ?（A+B）= sin ?A cos ?B+ cos ?A sin ?B = 3 5 ，

sin ?（A-B）= sin ?A cos ?B- cos ?A sin ?B= 1 5 ，

以上兩式變形并整理可得 sin ?A cos ?B=2 cos ?A sin ?B，

兩邊同時除以 cos ?A cos ?B，可得 tan ?A=2 tan ?B.

（2） 由（1）知， tan ?A=2 tan ?B，

利用平方關(guān)系可得 cos ?（A+B）= 1- sin 2 （A+B） = 4 5 ，

則有 tan ?（A+B）= ?sin ?（A+B） ?cos ?（A+B） = 3 4 ，而 tan ?（A+B）= ?tan ?A+ tan ?B 1- tan ?A tan ?B = 3 4 ，

結(jié)合 tan ?A=2 tan ?B，整理可得2 tan 2 B+4 tan ?B-1=0，解得 tan ?B= -2+ 6 ?2 （負值 tan ?B= -2- 6 ?2 舍去），

所以 tan ?A=2 tan ?B= 6 -2，

設(shè)AB邊上的高為CD，則有AB=AD+DB= CD ?tan ?A + CD ?tan ?B = 3CD ?6 -2 =6，解得CD=2 6 -4，

所以AB邊上的高為2 6 -4.

5 教學(xué)啟示

5.1 代數(shù)思維

解三角形問題中的代數(shù)思維，是以解三角形中定理應(yīng)用實現(xiàn)三角形中邊與角的轉(zhuǎn)化，借助三角恒等變換公式加以合理應(yīng)用；以平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)運算，借助平面解析幾何思維來合理運算.

代數(shù)思維中，經(jīng)常還要綜合函數(shù)與方程、三角函數(shù)、不等式、平面解析幾何等相關(guān)知識來分析與處理.

5.2 幾何思維

解三角形問題中的幾何思維，是以解三角形的本質(zhì)出發(fā)，作出對應(yīng)的平面幾何直觀圖形，借助邊或角之間的幾何關(guān)系，結(jié)合平面幾何知識進行合理直觀想象與邏輯推理來分析與求解問題.

幾何思維中，經(jīng)常還要綜合平面向量、三角函數(shù)、平面解析幾何等相關(guān)知識來分析與處理問題.