從通法到“秒殺”,用思維導(dǎo)圖解答中考?jí)狠S題
——以一道模考題的七種解法探究為例

陳 旭

?華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)

1 對(duì)一道上海?？荚囶}模型的解法探究

上海市中考數(shù)學(xué)命題以《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù),近幾年,試卷的第24題一般都是平面幾何和二次函數(shù)的綜合題,其中幾何部分考查相似的情況比較多,而且通常解法不唯一,蘊(yùn)涵著多種數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)模型,充分體現(xiàn)了課改理念,深入考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力[1].下面筆者以2018年上海市奉賢區(qū)一模第24題為例進(jìn)行說(shuō)明.

1.1 問(wèn)題呈現(xiàn)

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=-x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B,與y軸相交于點(diǎn)C(0,3),拋物線的頂點(diǎn)為D,連接AC,BC,DB,DC.

圖1

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)求證:△ACO∽△DBC;

(3)如果點(diǎn)E在x軸上,且位于點(diǎn)B的右側(cè),∠BCE=∠ACO,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

1.2 課堂還原

呈現(xiàn)題目后,讓學(xué)生思考并展示思路.

第(1)(2)問(wèn)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)比較基礎(chǔ),第(1)問(wèn)只需利用待定系數(shù)法即可求解.作為解決問(wèn)題的引入,第(2)問(wèn)提示學(xué)生本題重點(diǎn)涉及相似三角形的相關(guān)知識(shí),在思維上起到啟示的作用.經(jīng)過(guò)討論,得到前兩問(wèn)的思維導(dǎo)圖(如圖2所示).

圖2

第(3)問(wèn)是本題的難點(diǎn),本文重點(diǎn)研究這一問(wèn).一方面,題設(shè)條件給出∠BCE=∠ACO,這是角相等的問(wèn)題,利用該條件如何切入呢?另外一方面,從要求的問(wèn)題來(lái)看,是求點(diǎn)E的坐標(biāo),讓學(xué)生發(fā)散思維,又可以從哪些角度入手呢?觀察圖中的∠ACO,∠BCE,發(fā)現(xiàn)它們所在的兩個(gè)三角形△AOC和△BCE明顯不相似,進(jìn)一步追問(wèn)該怎么辦?學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn),首先會(huì)想到構(gòu)造兩個(gè)相似三角形,這樣就可以和第(2)問(wèn)聯(lián)系起來(lái).

經(jīng)過(guò)教師引導(dǎo)和學(xué)生討論后,得出多種處理該問(wèn)題的思路.第(3)問(wèn)的思維導(dǎo)圖如圖3所示.

圖3

1.3 解法探究

第(1)(2)問(wèn)解答如下:

所以,拋物線的解析式為y=-x2+2x+3,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4).

下面重點(diǎn)研究第(3)問(wèn),提供如下7種解法.

思路一：從構(gòu)造相似三角形的方向考慮相似模型,即利用相等角構(gòu)造相似三角形.

由于∠BCE=∠ACO,△AOC是一個(gè)含有∠ACO的直角三角形,因此只需再構(gòu)造一個(gè)含有∠BCE的直角三角形即可.基于這種思路,學(xué)生提出以下幾種構(gòu)造方法.

圖4

設(shè)E(m,0),利用兩點(diǎn)間距離公式,可得

故E(6,0).

事實(shí)上,解法1還利用了幾何中經(jīng)常使用的等面積法,成功地把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的方程問(wèn)題.此種解法比較常規(guī),屬于通法,但是計(jì)算稍顯繁瑣.

圖5

又由OB=OC,即∠CBO=45°,得∠FBG=45°.

因此FG=BG=1.

故E(6,0).

解法2主要是注意到△COB是等腰直角三角形,進(jìn)而構(gòu)造出另外一個(gè)等腰直角三角形BGF,然后利用平行線分線段成比例的基本事實(shí),快速得到OE.與解法1相比,計(jì)算量大大減少,但是輔助線的添加較為繁瑣,也需要學(xué)生能夠注意到特殊的角度.

在解法2的基礎(chǔ)上,有學(xué)生提出了解法3.

解法3：如圖6,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CB,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,易證△AOC∽△EFC.

圖6

解法3其實(shí)也是注意到了特殊的45°角,但是與解法2相比,顯然輔助線相對(duì)簡(jiǎn)單,后續(xù)的計(jì)算過(guò)程也比較簡(jiǎn)便.

同樣地,也是注意到了特殊角,有學(xué)生提出可以用如下解法來(lái)構(gòu)造相似三角形.

解法4：如圖7,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F,可得∠1=∠2=45°.

圖7

故E(6,0).

以上四種解法的共同點(diǎn)都是構(gòu)造相似三角形,前三種解法都是構(gòu)造不同的直角三角形與△AOC相似,解法4是構(gòu)造直角三角形與△EOC相似.同時(shí),解法1還使用了兩點(diǎn)間的距離公式和等面積法,解法2利用了平行線分線段成比例的基本事實(shí),解法3利用了△BEF是等腰直角三角形.相對(duì)來(lái)說(shuō),解法1的輔助線學(xué)生比較容易想到;解法4中的△ABC中含有45°角,注意到這一點(diǎn),就很容易聯(lián)想到作輔助線AF.解法3和解法4的計(jì)算過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單.

完成了上述四種解法后,有學(xué)生提出了利用圖中∠CBE=135°也可以構(gòu)造相似三角形,于是得到解法5.

解法5：如圖8,在OC上截取OF=OA=1,則CF=2.

圖8

故E(6,0).

上述解法5需要注意到∠CBE=135°,不容易想到輔助線的構(gòu)造,但是計(jì)算過(guò)程比較簡(jiǎn)便.

思路二：構(gòu)造直角三角形斜邊中線模型,即利用相等角(“秒殺”).

上述五種解法都是構(gòu)造相似三角形,有沒(méi)有更加簡(jiǎn)便快捷的方法呢?跳出構(gòu)造相似三角形這一框架,要求點(diǎn)E的坐標(biāo),在已知點(diǎn)C坐標(biāo)的情況下,可以通過(guò)求出直線CE的解析式,即先求出CE與BD的交點(diǎn)F的坐標(biāo)來(lái)得到.由于△BCD是直角三角形,因此利用第(2)問(wèn)的結(jié)論和第(3)問(wèn)的題設(shè)條件可以推出F為BD的中點(diǎn),再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo).

解法6：如圖9,設(shè)CE與BD交于點(diǎn)F.由第(2)問(wèn)結(jié)論△ACO∽△DBC,可得∠DCB=∠AOC=90°,∠CBD=∠ACO,于是∠CBD=∠BCE.

圖9

因此CF=BF.

因?yàn)椤螩BD+∠CDF=90°,∠DCF+∠BCE=90°,所以∠DCF=∠CDF,即CF=DF,從而DF=BF.

于是F(2,2).

思路三：全等模型,即利用相等角,構(gòu)造全等型(“秒殺”).

利用隱含條件∠OBC=∠OCB=45°,∠1=∠BCE可進(jìn)一步推出∠OBD=∠OCE,延長(zhǎng)BD交y軸于點(diǎn)F,構(gòu)造全等三角形,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等,將求OE的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求OF的長(zhǎng).由于直線BD的解析式非常容易得到,因此易求出點(diǎn)F的坐標(biāo),這種解法計(jì)算量也很小.

解法7：如圖10,延長(zhǎng)BD交y軸于點(diǎn)F, 和解法5一樣可證∠1=∠BCE.又由∠OBC=∠OCB=45°,可得∠OBF=∠OCE, 從而有△BOF≌△COE,可得OE=OF.由直線BD的解析式為y=-2x+6,可得F(0,6),即OF=6.故OE=6, 即E(6,0).

圖10

解法7中,得到∠OBF=∠OCE后,由于這兩個(gè)角正好都在直角三角形中,因此也可以使用三角比來(lái)得到OE=OF.

上述七種解法的輔助線構(gòu)造方法不同的一個(gè)重要原因是學(xué)生處理問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)不同,幾種相似模型的輔助線構(gòu)造方法也不同則是因?yàn)闃?gòu)造的相似三角形不同,這是很自然的過(guò)程,從本質(zhì)看,又屬于“形變質(zhì)通、殊途同歸”.輔助線通常是解決問(wèn)題的橋梁,巧妙的輔助線經(jīng)常可以“柳暗花明又一村”.

2 思考和啟迪

列夫托爾斯泰說(shuō)過(guò):“知識(shí),只有當(dāng)它是靠積極的思維得來(lái),而不是憑記憶得來(lái)的時(shí)候,才是真正的知識(shí).”因此,教師在課堂上應(yīng)把思考的權(quán)力還給學(xué)生,留給學(xué)生充分的思考時(shí)間.

對(duì)于初中的綜合題講評(píng)課,筆者認(rèn)為在教學(xué)時(shí)要注重對(duì)數(shù)學(xué)模型的抽象和提煉.“模型”是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的一種認(rèn)知策略.在教學(xué)中要充分利用“數(shù)學(xué)模型”,從不同角度去思考同一道題目的解答方法,讓學(xué)生大膽地質(zhì)疑、大膽地思考,從多角度去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.每一個(gè)條件不同的延伸方向都是一種不同的解題思路,學(xué)生在探究的過(guò)程中所獲得的會(huì)比僅僅接受一種解法更加全面.作為教師,不僅要給學(xué)生探究的機(jī)會(huì),更要及時(shí)收集和分享學(xué)生的探究成果.一題多解,溝通了各種知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,有利于形成知識(shí)系統(tǒng),同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的角度去思考同一個(gè)問(wèn)題,有利于提高思維的流暢性和變通性,提高解題能力[2].